人教B版（2019）高中数学 必修第一册同步训练 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定word版含答案

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
全称量词命题的否定
1.写出下列命题的否定．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.
2．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
知识点二
存在量词命题的否定
3.写出下列命题的否定．
(1)有些四边形有外接圆；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1<0.
4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)有的素数是偶数；
(2)?x∈R，x2＋x＋<0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0
D．?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
3．已知命题p：?x>0，(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)
A．?x≤0，(x＋1)ex≤1
B．?x＞0，(x＋1)ex≤1
C．?x＞0，(x＋1)ex≤1
D．?x≤0，(x＋1)ex≤1
4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)
A．命题綈p是真命题
B．命题p是存在量词命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
5．下列四个命题中的真命题为(　　)
A．?x∈Z,1＜4x＜3
B．?x∈Z,5x＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2＞0
6．(易错题)命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
D．存在x∈R，x3－x2＋1>0
二、填空题
7．命题p：?x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．
8．若命题“?x∈R，x2＋x＋a－1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
9．(探究题)已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为________．若命题是真命题，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)菱形是平行四边形；
(2)?x≥0，x2>0；
(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°.
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)已知命题“?x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围可以是(　　)
A．a<1
B．0≤a≤4
C．1≤a≤3
D．02．给出下列命题：
①?x∈R，x2>0；
②?x∈R，x2＋x＋1≤0；
③?x<3，函数y＝有意义；
④?a∈?RQ，b∈?RQ，使得a＋b∈Q.
其中是真命题的个数为________．
3．(情境命题—学术情境)已知命题p：?x∈R，函数y＝－x2－2x＋m的值不小于0，命题q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
1．2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识基础练
1．解析：(1)存在一个矩形不是平行四边形；
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1<0.
2．解析：(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．
(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．
(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．
3．解析：(1)所有的四边形都没有外接圆；
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1≥0.
4．解析：(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．
(2)题中命题的否定为“?x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.
(3)题中命题的否定为“?x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.
关键能力综合练
1．解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x3＋x≥0的否定为x3＋x<0，所以D错误，C正确．
答案：C
2．解析：量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.
答案：B
3．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p为?x＞0，(x＋1)ex≤1.故选B.
答案：B
4．解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.
答案：C
5．解析：1＜4x＜3，＜x＜，这样的整数x不存在，故A为假命题；5x＋1＝0，x＝－?Z，故B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝2＋＞0，故选D.
答案：D
6．∵命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称量词命题，其否定是对应的存在量词命题，∴否定命题为：存在x∈R，x3－x2＋1>0.故选D.
答案：D
7．解析：命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“?x∈R，x2＋3x＋2≥0”．
答案：?x∈R，x2＋3x＋2≥0
8．解析：依题意可得“?x∈R，x2＋x＋a－1≥0”为真命题，所以2＋a－≥0恒成立，所以a≥.
答案：
9．解析：因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1<0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图像易知：Δ＝a2－4>0，
解得a<－2或a>2.
所以实数a的取值范围是a<－2或a>2.
若命题是真命题，知Δ≤0，
则a2－4≤0，得－2≤a≤2.
答案：{a|a<－2或a>2}　{a|－2≤a≤2}
10．解析：(1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题．
(2)题中命题的否定为“?x≥0，x2≤0”，这个命题为真命题．
(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．
学科素养升级练
1．解析：∵命题“?x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“?x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝(a－2)2<4，则－2答案：CD
2．解析：①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝2＋≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．
答案：1
3．解析：因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“?x∈R，函数y＝－x2－2x＋m的值小于0”为真命题．
则y＝－x2－2x＋m<0对任意x∈R恒成立．
所以Δ＝4＋4m<0，所以m<－1.
若命题q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
所以m<－1且m≥－2，
所以m的取值范围为[－2，－1)．