第2课时 充要条件
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
充要条件的判断
1.在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＝b，q：ac＝bc；
(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
2．已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
知识点二
充要条件的证明
3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点(0,0)的充要条件是b＝0.
4．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
知识点三
充要条件的应用
5.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：A?B，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
8．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0
B．ab＞0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2＞0
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
2．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．集合“M∩N＝N”是“M∪N＝M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(探究题)如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
7．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
8．(易错题)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．
9．设条件p：|x|≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．
三、解答题
10．设命题p：x∈；命题q：x∈[a，a＋1]，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)下列命题中是真命题的是( )
A．x>2且y>3是x＋y>5的充要条件
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的充要条件
D．三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
2．设m∈N
，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
3．(学科素养—逻辑推理)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
第2课时 充要条件
必备知识基础练
1．解析：(1)因为a＝b?ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．
(2)因为a＋5是无理数?a是无理数，并且a是无理数?a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(3)因为a2＋b2＝0?a＝b＝0，并且a＝b＝0?a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(4)因为A∩B＝A?A?B??UA??UB，并且?UB??UA?B?A?A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
2.
解析：作出“?”图，如右图所示，
可知：p?q，r?q，q?s，s?r.
(1)p?q?s?r，且r?q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s?r?q，q?s，∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q?s；s?r；r?q.
3．证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx.
当x＝0时，y＝0.
所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点(0,0)．
②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点(0,0)，
所以0＝0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像过原点(0,0)的充要条件是b＝0.
4．证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，
所以ac<0.
充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．
5．解析：解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
答案：A
6．解析：充分性：当a＝3时，A＝{1,3}，B＝{1,2,3}，可以推出A?B，故充分性成立；必要性：若A?B，则{1，a}?{1,2,3}，可得a＝2或a＝3，故必要性不成立．所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．
答案：A
7．解析：由A∪B＝B，得A?B或A＝B；反之，由A?B，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．
答案：D
8．解析：a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.
答案：D
关键能力综合练
1．解析：函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2，故选A.
答案：A
2．解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.
答案：A
3．解析：不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，解得x>或x<－1，所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>，所以“x>”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要条件．
答案：A
4．解析：M∩N＝N?N?M?M∪N＝M.
答案：C
5．解析：若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p?q；反之x＋y>2
?x>1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以q
?p.因此p是q的充分不必要条件．故选A.
答案：A
6．解析：由条件，知C?B?A，即A，但A?D，故选A.
答案：A
7．答案：充要
8．解析：由题意可知：1≤x≤2?x≤m，反之不成立，所以m≥2，即m的最小值为2.
答案：2
9．解析：条件p：|x|≤m，可得：－m≤x≤m.条件q：－1≤x≤4，
若p是q的充分条件，则－m≥－1，且m≤4，解得0＜m≤1，
则m最大值为1，
p是q的必要条件，则－m≤－1且m≥4，解得m≥4，
则m的最小值为4，
故答案为：1,4.
答案：1 4
10．解析：设A＝，B＝[a，a＋1]，
由p是q的充分不必要条件，可知A?B，
∴或
解得0≤a≤，
故所求实数a的取值范围是.
学科素养升级练
1．解析：对于A，因为由x>2且y>3?x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件．故A错误；对于B，因为由x>1?|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以x>1是|x|>0的充分不必要条件．故B正确；对于C，因为由b2－4ac<0不能推出ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R(a>0时解集为?)，而由ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R?b2－4ac<0，所以b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的必要不充分条件．故C错误；对于D，由三角形的三边满足勾股定理?此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形?该三角形的三边满足勾股定理，故D正确．
答案：BD
2．解析：x＝＝2±，因为x是整数，
即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N
，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．
答案：3或4
3．证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，
∴等式成立．
总之，当xy≥0时，
|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．第1课时 充分条件、必要条件
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
命题的结构形式
1.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q.
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac>bc时，a>b；
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
知识点二
充分条件与必要条件的判定
2.判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．
①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”；
③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0.
3．判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
(1)p：α为锐角，q：α＝45°.
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图像与x轴有交点．
知识点三
充分条件与必要条件的应用
4.“－2
1或x<－1”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．既是充分条件，也是必要条件
5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
6．已知p：5x－1>a，q：x>1，若q是p的必要条件，则实数
a的取值范围是________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分又不必要条件
D．无法判断
2．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知实数a，b，则“b”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．既是充分条件也是必要条件
6．(易错题)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞)
D．(－∞，－3]
二、填空题
7．“a和b都是偶数”是“a＋b也是偶数”的________条件．
8．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为________．
9．(探究题)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件的，用序号填空．
(1)a，b都为0的必要条件是________；
(2)使a，b都不为0的充分条件是________．
三、解答题
10．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)若“x2＋3x－4<0”是“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”的充分不必要条件，则实数k可以是( )
A．－8
B．－5
C．1
D．4
2．已知集合A＝(－1,3)，B＝(－1，m＋1)，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(2，＋∞)
D．(－2,2)
3．(学科素养—逻辑推理)已知集合A＝，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
第1课时 充分条件、必要条件
必备知识基础练
1．解析：(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论．
(3)若ac>bc，则a>b，是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论．
(4)若一个点在角的平分线上，则该点到这个角的两边的距离相等，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．
2．解析：①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p?q，所以p是q的充分条件．
②由a＋b>0不能推出ab>0，故p不是q的充分条件．
③因为a>b>1?a2>b2>0，所以p是q的充分条件．
答案：①③
3．解析：(1)由于q?p，故p是q的必要条件；由于p/q，故p不是q的充分条件．
(2)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图像与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图像与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．
4．解析：∵－2＜x＜1?x＞1或x＜－1，
且x＞1或x＜－1?－2＜x＜1.
∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分条件，也不必要条件．
答案：C
5．解析：由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
答案：必要 充分
6．解析：由5x－1>a，得x>，要使q是p的必要条件，需有≥1，解得a≥4.故当a≥4时，q是p的必要条件．
答案：[4，＋∞)
关键能力综合练
1．解析：这句话的意思中，“好人”?“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．选A.
答案：A
2．解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.
答案：B
3．解析：若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a答案：A
4．解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
5．解析：当b0，所以>；反之，若b＝1，a＝－1，则>，即1>－1，但b答案：A
6．解析：令A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，∵q是p的充分不必要条件，∴B?A，∴a≥1.
答案：A
7．解析：当a和b都是偶数时，则a＋b也是偶数；当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．故填“充分不必要”．
答案：充分不必要
8．解析：
因为A是B的充分条件，所以A?B，
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥3}．
答案：{a|a≤－3或a≥3}
9．解析：①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
答案：(1)①② (2)③
10．解析：在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定得出a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，＝2>1；当a＝2，b＝－1时，＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
学科素养升级练
1．解析：“x2＋3x－4<0”
?－4“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”
?xk＋3.
∵
“x2＋3x－4<0”是“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”的充分不必要条件，
∴3≤k，或－4≥k＋3，解得：k≥3，或k≤－7，
则实数k可以是AD.
故选AD.
答案：AD
2．解析：因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，
所以A?B，所以3≤m＋1，即m≥2.
答案：A
3．解析：先化简集合A，
由y＝x2－x＋1，配方，得y＝2＋.
因为x∈，所以y∈.
所以A＝.
因为B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，
命题p是命题q的充分条件，所以A?B.
所以m＋1≤或m－1≥2，
解得m≤－或m≥3.
故实数m的取值范围是∪[3，＋∞)．