人教B版（2019）高中数学 必修第一册同步训练 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系word版含答案

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
一元二次方程的解集
1.一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　)
A.2＝1
B.2＝1
C.2＝
D.2＝
2．方程x－3＋2＝0的解集为(　　)
A.
B．{2,1}
C．{4,1}
D．{，1}
3．一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是(　　)
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
4．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A．k≤2
B．k≤0
C．k<2
D．k<0
知识点二
一元二次方程根与系数的关系
5.(1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　)
A．－2或3
B．3
C．－2
D．－3或2
(2)已知：方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．
6．已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
(1)x＋x；
(2)＋.
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．已知A＝{x|x2－x－12＝0}，B＝{x|x2－3x－28＝0}，则A∩B，A∪B分别为(　　)
A．{4}，{－3,4,7}
B．{－4}，{－3，－4,7}
C．?，{－3,4,7}
D．?，{－3,4，－4,7}
2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)
A．－1
B．1
C．－2或2
D．－3或1
3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　　)
A．4
B．－4
C．3
D．－3
4．已知关于x的方程mx2－5x＋2＝0的解集为空集，则实数m的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D．?
5．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
6．(探究题)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是(　　)
A．2
B．－1
C．2或－1
D．不存在
二、填空题
7．(易错题)方程x＋2－3＝0的解集为________．
8．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是________．
9．已知关于x的方程x2－3x＋m＋2＝0的两根异号，则实数m的取值范围为________．
三、解答题
10．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选)方程(x－1)2＝t－2(t为常数)的解集可能为(　　)
A．?
B．{1}
C．{－1,1}
D．{1－，1＋}
2．(情境命题—学术情境)欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝.则该方程的一个正根是(　　)
A．AC的长
B．AD的长
C．BC的长
D．CD的长
3．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
必备知识基础练
1．解析：方程配方后得2＝1.故选B.
答案：B
2．解析：设＝y，则y≥0，且原方程可变为y2－3y＋2＝0，因此可得y＝2或y＝1，从而＝2或＝1，所以原方程的解集为{4,1}．
答案：C
3．解析：(x＋1)(x－3)＝2x－5，整理得x2－2x－3＝2x－5，
则x2－4x＋2＝0，(x－2)2＝2，
解得x1＝2＋＞3，x2＝2－＞0，
故有两个正根，且有一根大于3.
故选D.
答案：D
4．解析：已知方程有两个不相等的实数根，则有Δ＝(－2)2－4×1×(k－1)>0，解得k<2.故选C.
答案：C
5．解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，
解得m＝3或m＝－2.
∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2.
∴m＝－2.
(2)设x1，x2为方程的两个根，则
∵|x1－x2|＝1，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝1，∴2－2(k＋3)＝1，解得k＝9或k＝－3.
检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．
答案：(1)C　(2)－3或9
6．解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)＋＝＝＝3.
关键能力综合练
1．解析：因为A＝{x|(x＋3)(x－4)＝0}＝{－3,4}，B＝{x|x2－3x－28＝0}＝{x|(x＋4)(x－7)＝0}＝{－4,7}，所以A∩B＝?，A∪B＝{－3,4，－4,7}．故选D.
答案：D
2．解析：原一元二次方程可变为x2＋(a＋1)x＝0，若方程有两个相等的实数根，则有Δ＝(a＋1)2＝0，解得a＝－1.故选A.
答案：A
3．解析：∵x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，
∴x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，又x1＋x2－3x1x2＝5，
则－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.故选A.
答案：A
4．解析：由已知方程的解集为空集，可知m≠0，方程为一元二次方程，Δ＝(－5)2－4×m×2＝25－8m<0，即m>.故选B.
答案：B
5．解析：∵a＝1，b＝2，c＝m－2，关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝22－4(m－2)＝12－4m≥0，
∴m≤3.
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m＝2或3.
∴2＋3＝5.
故选B.
答案：B
6．解析：∵关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴
解得m＞－1且m≠0.
∵x1，x2是方程mx2－(m＋2)x＋＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∵＋＝4m，∴＝4m
，∴m＝2或－1，
∵m＞－1，∴m＝2.故选A.
答案：A
7．解析：设＝y，则y≥0，且原方程可变为y2＋2y－5＝0，因此可知y＝－1＋或y＝－1－(舍去)．从而＝－1＋，即x＝5－2，所以原方程的解集为{5－2}．
答案：{5－2}
8．解析：因为关于x的一元二次方程有实数根，所以Δ＝22－4(m－5)×2＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤且m≠5，所以m的最大整数解为4.
答案：4
9．解析：由方程x2－3x＋m＋2＝0的两根异号及方程两根的积与方程系数的关系可得解得m<－2，即{m|m<－2}．
答案：{m|m<－2}
10．解析：(1)∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，
解得k≤.
(2)由根与系数的关系可得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3，
∵x＋x＝11，
∴2k2－6k＋3＝11，
解得k＝4或k＝－1，
∵k≤，
∴k＝－1.
学科素养升级练
1．解析：当t－2<0时，即t<2时，方程的解集为?，当t－2＝0时，即t＝2时，方程的解集为{1}，当t－2>0时，即t>2时，方程的解集为{1－，1＋}．综上方程的解集为?或{1}或{1－，1＋}．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：设AD＝x，根据勾股定理得2＝b2＋2，
整理得x2＋ax＝b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选B.
答案：B
3．解析：由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2,3,4,5,6,7，故2≤x<8.
答案：[2,8)