3.2 二次函数(含答案)

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名称 3.2 二次函数(含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 鲁教版
科目 数学
更新时间 2020-09-27 13:49:50

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第三章 二次函数
3.2 二次函数
知识梳理
知识点1 二次函数的定义
定义:一般地,形如_______________________(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做x的二次函数。
注意 (1)二次函数中x的取值范围是全体实数,在实际问题中一定要使实际问题有意义。(2)b,c可以取任意实数,但a不能为零。
知识点2 判断二次函数的方法
看它是否是整式,若不是整式,则必不是二次函数。
若是整式,再看自变量的最高次数是否为___________。
当二次项系数用含字母的式子表示时,应特别注意二次项系数______________。
知识点3 确定二次函数中字母系数
若函数是二次函数,则根据二次函数的定义,m应满足的条件为,且___________。∴m=-1或m=4,且__________。∴m=4。
注意 特别注意m+1≠0这一条件。
考点突破
考点1 二次函数的定义
典例1 下列函数中,哪些是二次函数?
(1);(2);(3);(4);
(5)。
思路导析:根据二次函数的定义进行判断。
解:(1)函数是二次函数;(2)函数,即y=x是一次函数,故不是二次函数;(3)函数的自变量最高次数为3,故不是二次函数;(4)函数中含自变量的代数式不是整式,故不是二次函数;(5)函数,即是一次函数,故不是二次函数。
友情提示 判断一个函数是否为二次函数的方法于步骤:
先将函数进行整理,使其右边是含自变量的代数式,左边是因变量。
判断右边自变量的代数式是否为整式。
判断含自变量的项的最高次数是否为2;
判断二次项的系数是否为0。
变式1 下列函数:①;②;③;④。其中属于二次函数的有( )
1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
变式2 在函数式①;②;③;④中,二次函数是__________(填序号)。
典例2 若函数是二次函数,求k的值。
思路导析:根据二次函数的定义,可知且≠0。
解:由题意,得,解得,即k=0.
友情提示 不能缺少≠0这一条件。
变式3 已知是二次函数,则a=______________。
变式4 已知函数(m为常数)。
当m为何值时,这个函数为二次函数?
当m为何值时,这个函数为正比例函数?
考点2 二次函数的关系式
典例3 为了改善小区环境,丽苑小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另外三边用总长为40m的栅栏围住(如图所示).若设绿化带的AB边宽为x(m),绿化带的面积为y(m2)。
(1)求y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)若计划建绿化带的面积是200 m2,那么绿化带的长、宽分别为多少?
思路导析: 由AB=x得BC=40-2x.由“长方形的面积=长×宽”,即可得到y与x之间的函数关系式。
解:(1)由AB=x,得BC=40-2x,由题意,得y=x(40-2x)=-2x2+40x.
∵由0<40-2x≤25,得7.5≤x<20,
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x,自变量x的取值范围为7.5≤x<20;
(2)由题意,得-2x2+40x=200,解得x=10.
∴40-2x=40-2×10=20(m).
∴当绿化带的面积为200m2时,绿化带的长、宽分别为20m,10m。
友情提示 用函数知识解决实际问题时,应注意自变量的取值范围
变式5 如图所示,长方形ABCD的长为5cm,宽为4cm,如果将它的长和宽都减去x(cm),那么剩下的小长方形A'B'C'D'的面积为y(cm2)。
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)上述函数是什么函数?
(3)自变量x的取值范围是什么?
典例4 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施调查表明:这种冰箱的售价每降价50元,平均每天就能多售出4台。
(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
思路导析: 每天的销售利润=每台冰箱的利润×销售的台数,每台冰箱的利润=销售价-进价。
解:(1)由题意,得y=(2400-x-2000)(8+)=-x2+24x+3200.
即y与x之间的函数关系式为y=-x2+24x+3200;
(2)由题意,令-x2+24x+3200=4800.
整理,得x2-300x+20000=0.解得x1=100,x2=200.
要使百姓得到实惠,取x=200,所以每台冰箱应降价200元。
变式6 某广告公司欲设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费每平方米800元,设矩形的一
边长为x m,所花费用为y元,则y与x的函数表达式是什么?并求自变量的取值范围。
巩固提高
1.在下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是( )
A. y= B. y= C. y=k D. y=k2 x
2.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是( )
A. 3 B. 5 C. -3和5 D. 3和-5
3.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为( )
A. 6厘米 B. 12厘米 C. 24厘米 D. 36厘米
4.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与滚动的时间t(s)之间的关系可用数据表示为
时间t/s 1 2 3 4 5 …
距离s/m 2 8 18 32 50 …
则s(m)与t(s)之间的函数关系式为( )
A. s=2t B. s=2t2+2 C. s=2t2 D. s=2(t-1)2
5.当m=__________时,函数y=(m+1)xm2+1是二次函数.
6.在边长为4m的正方形中间挖去一个边长为xm的小正方形,剩下的四方框形的面积为ym2,则y与x之间的函数关系式为_________________。
7.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=___________________。
8.如图所示,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm,AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合,让△ABC以2 cm/s的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数关系式为____________________________。
9.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x m.若花园的面积为192 m2,求x的值.
10.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销时发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售单价x(元)满足一次函数m=162-3x,求商场每天销售这种商品的利润y(元)与每件的销售单价x(元)之间的函数关系式。
11.已知函数y=。
(1)当m为何值时,它是正比例函数?
(2)当m为何值时,它是反比例函数?
(3)当m为何值时,它是二次函数?
体验中考
(兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )
y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D.y=x2+
参考答案
知识梳理
知识点1:y=a2+bx+c
知识点2: (2)2 (3)不为零
知识点3: m+1≠0 m≠-1
考点突破
B 2. ②④ 3. -1
4,解:(1)由题意得,m2-3m-2=2,且m+1≠0,由m2-3m-2=2,得m1=4,m2=-1,
由m+1≠0,得m≠-1,所以当m=4时,为二次函数;
(2)①当m+1=0,且m-1 ≠0时,即m=-1时,为正比例函数;
②当m2-3m-2=1,且2m≠0时,即m=或m=时,为正比例函数.
综上所述,当m=-1或m=或m=时,为正比例函数.
5,解:(1)y=(5-x)(4-x)=x2-9x+20,y与x的函数关系式为y=x2-9x+20;
(2)上述函数是二次函数;
(3)自变量 的取值范围是0<x<4.
6,解:y=-800x2+4 800x(0<<6).
巩固提高
A 2. D 3. A 4. C
1 6. y=-x2+16(0<x<4) 7.a(1+x)2
y=(20-2t)2(0<10) 9. x1=12 m,x2=16 m 10. y=-3x2+252.x-4 860
11,解:(1):函数y=是正比例函数,
∴m2+2m-2=1,且m+3≠0.解得m1=-3(舍去),m2=1,
则m=1时,它是正比例函数;
(2)∵函数y=是反比例函数,
∴m2 +2m-2=-1,且m+3≠0.解得m1=-1+,m2=-1-,
则m=-1±时,它是反比例函数;
(3)∵函数y=是二次函数,
∴m2+2m-2=2,且m+3≠0.解得m1=-1+,m2=-1-,
则m=-1±时,它是二次函数.
体验中考
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