3.2 二次函数（含答案）
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第三章 二次函数
3.2 二次函数
知识梳理
知识点1 二次函数的定义
定义：一般地，形如_______________________（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做x的二次函数。
注意 （1）二次函数中x的取值范围是全体实数，在实际问题中一定要使实际问题有意义。（2）b，c可以取任意实数，但a不能为零。
知识点2 判断二次函数的方法
看它是否是整式，若不是整式，则必不是二次函数。
若是整式，再看自变量的最高次数是否为___________。
当二次项系数用含字母的式子表示时，应特别注意二次项系数______________。
知识点3 确定二次函数中字母系数
若函数是二次函数，则根据二次函数的定义，m应满足的条件为，且___________。∴m＝－1或m＝4，且__________。∴m＝4。
注意 特别注意m＋1≠0这一条件。
考点突破
考点1 二次函数的定义
典例1 下列函数中，哪些是二次函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）。
思路导析：根据二次函数的定义进行判断。
解：（1）函数是二次函数；（2）函数，即y＝x是一次函数，故不是二次函数；（3）函数的自变量最高次数为3，故不是二次函数；（4）函数中含自变量的代数式不是整式，故不是二次函数；（5）函数，即是一次函数，故不是二次函数。
友情提示 判断一个函数是否为二次函数的方法于步骤：
先将函数进行整理，使其右边是含自变量的代数式，左边是因变量。
判断右边自变量的代数式是否为整式。
判断含自变量的项的最高次数是否为2；
判断二次项的系数是否为0。
变式1 下列函数：①；②；③；④。其中属于二次函数的有（ ）
1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
变式2 在函数式①；②；③；④中，二次函数是__________（填序号）。
典例2 若函数是二次函数，求k的值。
思路导析：根据二次函数的定义，可知且≠0。
解：由题意，得，解得，即k＝0.
友情提示 不能缺少≠0这一条件。
变式3 已知是二次函数，则a＝______________。
变式4 已知函数（m为常数）。
当m为何值时，这个函数为二次函数？
当m为何值时，这个函数为正比例函数？
考点2 二次函数的关系式
典例3 为了改善小区环境，丽苑小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另外三边用总长为40m的栅栏围住（如图所示）.若设绿化带的AB边宽为x（m），绿化带的面积为y（m2）。
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）若计划建绿化带的面积是200 m2，那么绿化带的长、宽分别为多少？
思路导析: 由AB＝x得BC＝40－2x.由“长方形的面积＝长×宽”，即可得到y与x之间的函数关系式。
解:（1）由AB＝x，得BC＝40－2x，由题意，得y＝x（40－2x）＝－2x2＋40x.
∵由0＜40－2x≤25，得7.5≤x＜20，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x，自变量x的取值范围为7.5≤x＜20；
（2）由题意，得－2x2＋40x＝200，解得x＝10.
∴40－2x＝40－2×10＝20（m）.
∴当绿化带的面积为200m2时，绿化带的长、宽分别为20m，10m。
友情提示 用函数知识解决实际问题时，应注意自变量的取值范围
变式5 如图所示，长方形ABCD的长为5cm，宽为4cm，如果将它的长和宽都减去x（cm），那么剩下的小长方形A'B'C'D'的面积为y（cm2）。
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）上述函数是什么函数？
（3）自变量x的取值范围是什么？
典例4 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明:这种冰箱的售价每降价50元，平均每天就能多售出4台。
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
思路导析: 每天的销售利润＝每台冰箱的利润×销售的台数，每台冰箱的利润＝销售价－进价。
解:（1）由题意，得y＝（2400－x－2000）（8＋）＝－x2＋24x＋3200.
即y与x之间的函数关系式为y＝－x2＋24x＋3200；
（2）由题意，令－x2＋24x＋3200＝4800.
整理，得x2－300x＋20000＝0.解得x1＝100，x2＝200.
要使百姓得到实惠，取x＝200，所以每台冰箱应降价200元。
变式6 某广告公司欲设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费每平方米800元，设矩形的一
边长为x m，所花费用为y元，则y与x的函数表达式是什么？并求自变量的取值范围。
巩固提高
1.在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. y＝ B. y＝ C. y＝k D. y＝k2 x
2.二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A. 3 B. 5 C. －3和5 D. 3和－5
3.某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A. 6厘米 B. 12厘米 C. 24厘米 D. 36厘米
4.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与滚动的时间t（s）之间的关系可用数据表示为
时间t/s 1 2 3 4 5 …
距离s/m 2 8 18 32 50 …
则s（m）与t（s）之间的函数关系式为（ ）
A. s＝2t B. s＝2t2＋2 C. s＝2t2 D. s＝2（t－1）2
5.当m＝__________时，函数y＝（m＋1）xm2＋1是二次函数.
6.在边长为4m的正方形中间挖去一个边长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为ym2，则y与x之间的函数关系式为_________________。
7.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝___________________。
8.如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分的面积y（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式为____________________________。
9.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x m.若花园的面积为192 m2，求x的值.
10.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销时发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数m＝162－3x，求商场每天销售这种商品的利润y（元）与每件的销售单价x（元）之间的函数关系式。
11.已知函数y＝。
（1）当m为何值时，它是正比例函数？
（2）当m为何值时，它是反比例函数？
（3）当m为何值时，它是二次函数？
体验中考
（兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
y＝3x－1 B. y＝ax2＋bx＋c C. s＝2t2－2t＋1 D.y＝x2＋
参考答案
知识梳理
知识点1:y＝a2＋bx＋c
知识点2: （2）2 （3）不为零
知识点3: m＋1≠0 m≠－1
考点突破
B 2. ②④ 3. －1
4，解:（1）由题意得，m2－3m－2＝2，且m＋1≠0，由m2－3m－2＝2，得m1＝4，m2＝－1，
由m＋1≠0，得m≠－1，所以当m＝4时，为二次函数；
（2）①当m＋1＝0，且m－1 ≠0时，即m＝－1时，为正比例函数；
②当m2－3m－2＝1，且2m≠0时，即m＝或m＝时，为正比例函数.
综上所述，当m＝－1或m＝或m＝时，为正比例函数.
5，解:（1）y＝（5－x）（4－x）＝x2－9x＋20，y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20；
（2）上述函数是二次函数；
（3）自变量 的取值范围是0＜x＜4.
6，解:y＝－800x2＋4 800x（0＜＜6）.
巩固提高
A 2. D 3. A 4. C
1 6. y＝－x2＋16（0＜x＜4） 7.a（1＋x）2
y＝（20－2t）2（0＜10） 9. x1＝12 m，x2＝16 m 10. y＝－3x2＋252.x－4 860
11，解:（1）:函数y＝是正比例函数，
∴m2＋2m－2＝1，且m＋3≠0.解得m1＝－3（舍去），m2＝1，
则m＝1时，它是正比例函数；
（2）∵函数y＝是反比例函数，
∴m2 ＋2m－2＝－1，且m＋3≠0.解得m1＝－1＋，m2＝－1－，
则m＝－1±时，它是反比例函数；
（3）∵函数y＝是二次函数，
∴m2＋2m－2＝2，且m＋3≠0.解得m1＝－1＋，m2＝－1－，
则m＝－1±时，它是二次函数.
体验中考
C
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第三章 二次函数
3.2 二次函数
知识梳理
知识点1 二次函数的定义
定义：一般地，形如_______________________（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做x的二次函数。
注意 （1）二次函数中x的取值范围是全体实数，在实际问题中一定要使实际问题有意义。（2）b，c可以取任意实数，但a不能为零。
知识点2 判断二次函数的方法
看它是否是整式，若不是整式，则必不是二次函数。
若是整式，再看自变量的最高次数是否为___________。
当二次项系数用含字母的式子表示时，应特别注意二次项系数______________。
知识点3 确定二次函数中字母系数
若函数是二次函数，则根据二次函数的定义，m应满足的条件为，且___________。∴m＝－1或m＝4，且__________。∴m＝4。
注意 特别注意m＋1≠0这一条件。
考点突破
考点1 二次函数的定义
典例1 下列函数中，哪些是二次函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）。
思路导析：根据二次函数的定义进行判断。
解：（1）函数是二次函数；（2）函数，即y＝x是一次函数，故不是二次函数；（3）函数的自变量最高次数为3，故不是二次函数；（4）函数中含自变量的代数式不是整式，故不是二次函数；（5）函数，即是一次函数，故不是二次函数。
友情提示 判断一个函数是否为二次函数的方法于步骤：
先将函数进行整理，使其右边是含自变量的代数式，左边是因变量。
判断右边自变量的代数式是否为整式。
判断含自变量的项的最高次数是否为2；
判断二次项的系数是否为0。
变式1 下列函数：①；②；③；④。其中属于二次函数的有（ ）
1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
变式2 在函数式①；②；③；④中，二次函数是__________（填序号）。
典例2 若函数是二次函数，求k的值。
思路导析：根据二次函数的定义，可知且≠0。
解：由题意，得，解得，即k＝0.
友情提示 不能缺少≠0这一条件。
变式3 已知是二次函数，则a＝______________。
变式4 已知函数（m为常数）。
当m为何值时，这个函数为二次函数？
当m为何值时，这个函数为正比例函数？
考点2 二次函数的关系式
典例3 为了改善小区环境，丽苑小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另外三边用总长为40m的栅栏围住（如图所示）.若设绿化带的AB边宽为x（m），绿化带的面积为y（m2）。
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）若计划建绿化带的面积是200 m2，那么绿化带的长、宽分别为多少？
思路导析: 由AB＝x得BC＝40－2x.由“长方形的面积＝长×宽”，即可得到y与x之间的函数关系式。
解:（1）由AB＝x，得BC＝40－2x，由题意，得y＝x（40－2x）＝－2x2＋40x.
∵由0＜40－2x≤25，得7.5≤x＜20，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x，自变量x的取值范围为7.5≤x＜20；
（2）由题意，得－2x2＋40x＝200，解得x＝10.
∴40－2x＝40－2×10＝20（m）.
∴当绿化带的面积为200m2时，绿化带的长、宽分别为20m，10m。
友情提示 用函数知识解决实际问题时，应注意自变量的取值范围
变式5 如图所示，长方形ABCD的长为5cm，宽为4cm，如果将它的长和宽都减去x（cm），那么剩下的小长方形A'B'C'D'的面积为y（cm2）。
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）上述函数是什么函数？
（3）自变量x的取值范围是什么？
典例4 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明:这种冰箱的售价每降价50元，平均每天就能多售出4台。
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
思路导析: 每天的销售利润＝每台冰箱的利润×销售的台数，每台冰箱的利润＝销售价－进价。
解:（1）由题意，得y＝（2400－x－2000）（8＋）＝－x2＋24x＋3200.
即y与x之间的函数关系式为y＝－x2＋24x＋3200；
（2）由题意，令－x2＋24x＋3200＝4800.
整理，得x2－300x＋20000＝0.解得x1＝100，x2＝200.
要使百姓得到实惠，取x＝200，所以每台冰箱应降价200元。
变式6 某广告公司欲设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费每平方米800元，设矩形的一
边长为x m，所花费用为y元，则y与x的函数表达式是什么？并求自变量的取值范围。
巩固提高
1.在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. y＝ B. y＝ C. y＝k D. y＝k2 x
2.二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A. 3 B. 5 C. －3和5 D. 3和－5
3.某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A. 6厘米 B. 12厘米 C. 24厘米 D. 36厘米
4.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与滚动的时间t（s）之间的关系可用数据表示为
时间t/s 1 2 3 4 5 …
距离s/m 2 8 18 32 50 …
则s（m）与t（s）之间的函数关系式为（ ）
A. s＝2t B. s＝2t2＋2 C. s＝2t2 D. s＝2（t－1）2
5.当m＝__________时，函数y＝（m＋1）xm2＋1是二次函数.
6.在边长为4m的正方形中间挖去一个边长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为ym2，则y与x之间的函数关系式为_________________。
7.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝___________________。
8.如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分的面积y（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式为____________________________。
9.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x m.若花园的面积为192 m2，求x的值.
10.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销时发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数m＝162－3x，求商场每天销售这种商品的利润y（元）与每件的销售单价x（元）之间的函数关系式。
11.已知函数y＝。
（1）当m为何值时，它是正比例函数？
（2）当m为何值时，它是反比例函数？
（3）当m为何值时，它是二次函数？
体验中考
（兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
y＝3x－1 B. y＝ax2＋bx＋c C. s＝2t2－2t＋1 D.y＝x2＋
参考答案
知识梳理
知识点1:y＝a2＋bx＋c
知识点2: （2）2 （3）不为零
知识点3: m＋1≠0 m≠－1
考点突破
B 2. ②④ 3. －1
4，解:（1）由题意得，m2－3m－2＝2，且m＋1≠0，由m2－3m－2＝2，得m1＝4，m2＝－1，
由m＋1≠0，得m≠－1，所以当m＝4时，为二次函数；
（2）①当m＋1＝0，且m－1 ≠0时，即m＝－1时，为正比例函数；
②当m2－3m－2＝1，且2m≠0时，即m＝或m＝时，为正比例函数.
综上所述，当m＝－1或m＝或m＝时，为正比例函数.
5，解:（1）y＝（5－x）（4－x）＝x2－9x＋20，y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20；
（2）上述函数是二次函数；
（3）自变量 的取值范围是0＜x＜4.
6，解:y＝－800x2＋4 800x（0＜＜6）.
巩固提高
A 2. D 3. A 4. C
1 6. y＝－x2＋16（0＜x＜4） 7.a（1＋x）2
y＝（20－2t）2（0＜10） 9. x1＝12 m，x2＝16 m 10. y＝－3x2＋252.x－4 860
11，解:（1）:函数y＝是正比例函数，
∴m2＋2m－2＝1，且m＋3≠0.解得m1＝－3（舍去），m2＝1，
则m＝1时，它是正比例函数；
（2）∵函数y＝是反比例函数，
∴m2 ＋2m－2＝－1，且m＋3≠0.解得m1＝－1＋，m2＝－1－，
则m＝－1±时，它是反比例函数；
（3）∵函数y＝是二次函数，
∴m2＋2m－2＝2，且m＋3≠0.解得m1＝－1＋，m2＝－1－，
则m＝－1±时，它是二次函数.
体验中考
C
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