3.3.1 二次函数y=ax2的图象和性质（含答案）

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第三章 二次函数
3.3 二次函数的图象于性质
第1课时
知识梳理
知识点1 二次函数y＝x2的图象及其性质
作二次函数y＝x2图象的步骤：
（1）列表:
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
（2）在平面直角坐标系中描点；
（3）连线:用光滑的曲线将这7个点连接起来，便得到y＝x2的图象.
2.二次函数y＝x2的性质：
二次函数y＝x2的图象是一条____________，它的开口_____________，且关于_________对称.
对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的_________，它是图象的______________。
当x＞0时，y的值随x值的增大而_____________；当x＜0时，y的值随x值的增大而__________。
知识点2 二次函数y＝－x2的图象及其性质
如图所示，二次函数y＝－x2的图象是一条______________，它的开口____________，且关于_________对称。
对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的____________，它是图象的_____________。
当x＞0时，y的值随x值的增大而___________；当x＜0时，y的值随x值的增大而____________。
考点突破
考点1 作二次函数y＝ax2的图象
典例1 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y＝3x2与y＝－3x2的图象。
思路导析: 按照先列表、再描点、后连线的顺序依次作出y＝3x2和y＝－3x2的图象.注意二者图象关于x轴成轴对称图形，并关于点（0，0）成中心对称图形。
解:（1）列表:
x －2 －1 0 1 2
y＝3x2 12 3 0 3 12
－3x2 －12 －3 0 －3 －12
（2）在平面直角坐标系中描点；
（3）用平滑的曲线连接各点，得到如图所示的y＝3x2与y＝－3x2的图象.
变式1 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象，然后根据图象回答下列问题:
（1）这两个图象关于哪个点成中心对称？
（2）由y＝x2的图象如何能得到y＝－x2的图象？
考点2 二次函数y＝ax2图象的性质
典例2 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y＝3x2与y＝x2的图象，然后回答下列问题:
（1）y＝3x2与y＝x2的图象有何区别？你能由此总结出一个规律性的特征吗？
（2）它们的对称轴、顶点坐标及开口方向如何？
（3）试说出它们各自的性质及y值随x值的变化特征。
思路导析: 用列表、描点、连线的方法作出二次函数y＝3x2和y＝x2的图象，再依据图象回答上述各个问题。
解:列表:
x … －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 …
y＝3x2 … 12
3 0 3
12 …
y＝x2 … 4
1 0 1
4 …
根据上表描点、连线，作出二次函数y＝3x2与y＝x2的图象（如图所示）.
（1）由图象可以看出，y＝3x2与y＝x2的图象只有开口的大小不相同，y＝x2比y＝3x2的开口要大一些.由此我们可以猜想:对于抛物线y＝a1x2与y＝a2x2，当｜a1｜＞| a2｜时，y＝a1x2的开口比y＝a2x2的开口小一些；
（2）由图象可以看出，y＝3x2与y＝x2的对称轴均为y轴，顶点坐标均为（0，0），开口方向均向上；
（3）抛物线y＝3x2与y＝x2都是开口向上，以y轴为对称轴的抛物线，在x＜0时，y的值均随x值的增大而减小；在x＞0时，y的值均随x值的增大而增大。
友情提示 对于二次函数y＝ax2，a的绝对值越大，抛物线的开口反而越小。
变式2 在同一平面直角坐标系中作二次函数y＝－x2与y＝－x2的图象，然后回答下列问题:
（1）它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
（2）请描述一下在对称轴的左侧函数值的变化情况。
巩固提高
1.下列有关抛物线y＝x2和y＝－x2的关系的说法中，错误的是（ ）
A.抛物线y＝x2与y＝－x2有共同的顶点和对称轴
B.抛物线y＝x2与y＝－x2关于x轴对称
C.抛物线y＝x2与y＝－x2的形状相同，开口方向相反
D.点A（－2，4）在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
2.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
3.如果抛物线y＝（m－1）x2的开口向上，那么m的取值范围是________________。
4.抛物线y＝－x2的顶点是___________，对称轴是_________，开口向________，顶点是抛物线的最________（填“高”或“低”）点.
5.抛物线y＝x2的顶点是___________，对称轴是___________，开口向_________，顶点是抛物线的最
___________（填“高”或“低”）点。
6.若点A（2，m）在抛物线y＝x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是_____________。
7.作二次函数y＝－x2的图象，并解答下列问题:
（1）若A（1，y1），B（2，y2）是抛物线y＝－x2上两点，则y1________（填“＞”“＜”或“＝”）y2；
（2）当x_________时，y随x的增大而增大，当x＝0时，y取最________值，这个值是_________。
（3）若点C（m，－4）在抛物线y＝－x2上，求m的值。
8.画出二次函数y＝－x2的图象，并根据图象解答下列问题:
（1）当x＝时，y的值是多少？
（2）当y＝－2时，x的值是多少？
（3）当x＞0时，y随x的增大如何变化？当x＜0时，y随x的增大如何变化？
（4）当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
9.已知点A（1，a）在抛物线y＝x2上。
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
体验中考
1.（2019·益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A. y＝4x B. y＝－4x C. y＝x－4 D.y＝x2
2.（2018·广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）。
参考答案
知识梳理
知识点1： 2.抛物线 向上 y轴 顶点 最低点 增大 减小
知识点2: 抛物线 向下 y轴 顶点 最高点 减小 增大
考点突破
1，解:图象略
（1）这两个图象关于坐标原点成中心对称；
（2）将二次函数y＝x2的图象绕坐标原点旋转180?，或沿x轴翻折，可得到二次函数y＝－x2的图象。
2，解:图象略.
（1）它们的开口方向均向下，对称轴均为y轴，顶点坐标均为（0，0）；
（2）在对称轴的左侧，它们的函数值均随 值的增大而增大.
巩固提高
1. D 2. C 3. m＞1 4. （0，0） y轴 下 高
5. （0，0） у轴 上 低 6. （－2，4）
7图象略. （1）＞ （2）＜0 （3）±2
8，解:图象如图所示:
（1）当 x＝时，y＝－;
（2）当y＝－2时，＝±；
（3）当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大；
（4）当x＝0时， y有最大值，最大值为0.
9，解:（1）A（1，1）；
（2）存在.这样的点P有四个，
即P 1（，0）， P2 （－， 0）， P3（2， 0），P 4（1，0）.
体验中考
1.B
2，增大 解析:∵二次函数y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时， y随x的增大而增大.
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