13.2
画轴对称图形
一、教学目标
（1）知识与技能目标：能够按照要求画出简单平面图形经过一次或两次轴对称得到的图形；
（2）过程与方法目标：经历对称的变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质；
（3）情感态度与价值观：通过动手实践体会轴对称在现实生活中的应用，感受数学美，体会画轴对称图形的过程；
2、教学重难点
（1）教学重点：利用轴对称作图、关于坐标轴对称的点的坐标特点；
（2）教学难点：用坐标表示轴对称；
知识点一：画轴对称图形
1.关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点；
（3）连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分.
2.画轴对称图形的方法
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别画出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
画轴对称图形的方法简单归纳如下：
（1）找—再原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画-画各个特殊点关于对称轴的对称点；
（3）连-依次连接各对称点.
【提醒】
1.
找特殊点对画轴对称图形极为重要，除线段的端点外，线与线的交点也是画图过程中的特殊点.
2.
对称轴上任一点的对称点是它本身.
例1.已知△ABC和直线MN,求作△A’B’C’,使△A’B’C’和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）
变式1.如图，在正方形网格上有一个△ABC，请画出△ABC关于直线MN的对称图形△DEF（不写画法）．
变式2．如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
知识点二：关于坐标轴对称的点的坐标特点
点A（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；点A（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）.
【提醒】
1.
横坐标相等，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相等的两个点关于y轴对称，反之也成立.
2.点(a,b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m-a,b),关于直线y=n对称的点的坐标为（a，2n-b).
例1.已知点A坐标为(-1,3)，求：
(1)与点A关于y轴对称的点的坐标；
(2)与点A关于x轴对称的点的坐标.
例2.如图，点A的坐标（﹣1，2），则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2）
D．（2，﹣1）
变式1．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A．（4，1）
B．（﹣1，4）
C．（﹣4，﹣1）
D．（﹣1，﹣4）
变式2．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5
B．﹣3
C．3
D．1
知识点三：用坐标表示轴对称
在坐标系中画轴对称图形的方法：
（1）计算-计算对称点的坐标；
（2）描点-根据对称点的坐标描点；
（3）连接-依次连接所描各点得到轴对称图形.
【提醒】用坐标表示轴对称体现了轴对称在平面直角坐标系中的应用.用坐标表示轴对称是从数形结合的角度探究如何利用这种坐标变化规律，在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形，作一个图形关于坐标轴的轴对称图形，关键是找特殊点及其对应点的坐标.
例1.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A．（3，1）
B．（﹣3，﹣1）
C．（1，﹣3）
D．（3，﹣1）
例2．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）
B．（3，2）
C．（﹣3，﹣2）
D．（3，﹣2）
变式1．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）
（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A′B′C′的坐标．
拓展点一：画轴对称图形
例1.用两个全等的三角形，可以拼出各种不同的图形，如图①所示，已画出其中一个三角形，请你补画出一个与其全等的三角形，使图形成轴对称.
要画已知图形关于某直线对称的图形，应先确定对称轴.
拓展点二：点的坐标对称规律的应用
例1.已知点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，则a+b=
．
例2.已知点A（a，b）和点B（c，d）（d≠0）关于y轴对称，求3a+3c的值．
变式1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．
（1）求A1、A2的坐标；
拓展点三：平面直角坐标系中的轴对称作图
例1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
变式1.如图，网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A（4，3），点B（1，1），点C（4，1）．
（1）画出Rt△ABC关于y轴对称的Rt△A1B1C1，（点A、B、C的对称点分别是A1、B1、C1），直接写出A1的坐标；
（2）将Rt△ABC向下平移4个单位，得到Rt△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2），画出Rt△A2B2C2，连接A1C2，直接写出线段A1C2的长．13.2
画轴对称图形
一、教学目标
（1）知识与技能目标：能够按照要求画出简单平面图形经过一次或两次轴对称得到的图形；
（2）过程与方法目标：经历对称的变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质；
（3）情感态度与价值观：通过动手实践体会轴对称在现实生活中的应用，感受数学美，体会画轴对称图形的过程；
2、教学重难点
（1）教学重点：利用轴对称作图、关于坐标轴对称的点的坐标特点；
（2）教学难点：用坐标表示轴对称；
知识点一：画轴对称图形
1.关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点；
（3）连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分.
2.画轴对称图形的方法
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别画出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
画轴对称图形的方法简单归纳如下：
（1）找—再原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画-画各个特殊点关于对称轴的对称点；
（3）连-依次连接各对称点.
【提醒】
1.
找特殊点对画轴对称图形极为重要，除线段的端点外，线与线的交点也是画图过程中的特殊点.
2.
对称轴上任一点的对称点是它本身.
例1.已知△ABC和直线MN,求作△A’B’C’,使△A’B’C’和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）
【分析】△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要分别作出这三个顶点关于直线MN的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的对称图形△A’B’C’.
【解答】（1）如图，分别作出点A，B关于直线MN的对称点A’B’;
（3）顺次连接A’B’，B’C’，A’C’，△A’B’C’即为所求作的三角形.
【点评】作轴对称图形的关键就是作对称点，注意该题中点C的对称点就是它本身.
变式1.如图，在正方形网格上有一个△ABC，请画出△ABC关于直线MN的对称图形△DEF（不写画法）．
【分析】先利用网格确定△ABC关于直线MN对称的点，再顺次连接各点即可得到△ABC关于直线MN的对称图形．
【解答】如图所示，△DEF即为所求．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始的．
变式2．如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】（1）△ABC关于直线MN的对称图形如图所示；
（2）△ABC的面积=4×5﹣×1×4﹣×1×4﹣×5×3，
=20﹣2﹣2﹣7.5，
=8.5．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
知识点二：关于坐标轴对称的点的坐标特点
点A（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；点A（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）.
【提醒】
1.
横坐标相等，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相等的两个点关于y轴对称，反之也成立.
2.点(a,b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m-a,b),关于直线y=n对称的点的坐标为（a，2n-b).
例1.已知点A坐标为(-1,3)，求：
(1)与点A关于y轴对称的点的坐标；
(2)与点A关于x轴对称的点的坐标.
【分析】关于x轴对称的点的坐标特点是纵坐标互为相反数，横坐标相等；关于y轴对称的点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相等.
【解答】（1)与点A关于y轴对称的点的坐标为(1,3).
(2)
与点A关于x轴对称的点的坐标为(-1，-3).
【点评】求一个点关于坐标轴的对称点，关键是要掌掘关于坐标轴对称的点的坐标特点.
例2.如图，点A的坐标（﹣1，2），则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2）
D．（2，﹣1）
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．
【解答】点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：（1，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
变式1．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A．（4，1）
B．（﹣1，4）
C．（﹣4，﹣1）
D．（﹣1，﹣4）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
【解答】∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标是：（4，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
变式2．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5
B．﹣3
C．3
D．1
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3、1﹣n=2，
解得：m=2、n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
知识点三：用坐标表示轴对称
在坐标系中画轴对称图形的方法：
（1）计算-计算对称点的坐标；
（2）描点-根据对称点的坐标描点；
（3）连接-依次连接所描各点得到轴对称图形.
【提醒】用坐标表示轴对称体现了轴对称在平面直角坐标系中的应用.用坐标表示轴对称是从数形结合的角度探究如何利用这种坐标变化规律，在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形，作一个图形关于坐标轴的轴对称图形，关键是找特殊点及其对应点的坐标.
例1.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A．（3，1）
B．（﹣3，﹣1）
C．（1，﹣3）
D．（3，﹣1）
【分析】根据A点坐标，可得C点坐标，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【解答】由A点坐标，得C（﹣3，1）．
由翻折，得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，关于y轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等．
例2．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）
B．（3，2）
C．（﹣3，﹣2）
D．（3，﹣2）
【分析】让点A的横坐标为原来横坐标的相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标．
【解答】∵A的坐标为（﹣3，2），
∴A关于y轴的对应点的坐标为（3，2）．
故选：B．
【点评】考查图形的对称变换；用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
变式1．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）
（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点A′B′C′的坐标．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1），然后描点；
（2）由（1）可得到三个对应点的坐标．
【解答】（1）如图，
（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了关坐标与图形﹣对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．
拓展点一：画轴对称图形
例1.用两个全等的三角形，可以拼出各种不同的图形，如图①所示，已画出其中一个三角形，请你补画出一个与其全等的三角形，使图形成轴对称.
要画已知图形关于某直线对称的图形，应先确定对称轴.
【解答】解法一：以其中一条直角边为对称轴(如图②所示).
解法二以斜边为对称轴(如图③所示).
【点评】对称轴的方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化，解决此类型题关键在于确定对称轴，画出原图形上各关键点关于对称轴的对称点，然后连接各对称点，得到的图形即为原图形关于该直线对称的图形.
例2.如图所示，一轴对称图形画了它的一半，请你以图中方格线的对角线为对称轴画出它的另一半.
【解答】如图所示.
拓展点二：点的坐标对称规律的应用
例1.已知点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，则a+b=
．
【分析】首先根据关于y轴对称点的坐标特点可得2a+b=﹣8，b=﹣2，再解方程可得a、b的值，进而得到答案．
【解答】∵点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，
∴2a+b=﹣8，b=﹣2，
解得：a=﹣3，
则a+b=﹣3﹣2=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
例2.已知点A（a，b）和点B（c，d）（d≠0）关于y轴对称，求3a+3c的值．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a+c=0，b=d，再代入即可．
【解答】∵点
A与点B关于y
轴对称，所以a+c=0，b=d，
∴3a+3c=3（a+c）+2×=0+2=2．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化趋势．
变式1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．
（1）求A1、A2的坐标；
【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值，从而得到点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”写出点A1的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”写出点A2的坐标；
【解答】（1）解：∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，
∴，
解得，
所以，A（8，3），
所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
拓展点三：平面直角坐标系中的轴对称作图
例1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）先作出△ABC关于x轴的对称顶点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
（2）根据△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位，即可得到△A2B2C2，进而写出顶点A2，B2，C2的坐标．
【解答】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．
【点评】本题主要考查了利用平移变换以及轴对称变换进行作图，解题时注意：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
变式1.如图，网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A（4，3），点B（1，1），点C（4，1）．
（1）画出Rt△ABC关于y轴对称的Rt△A1B1C1，（点A、B、C的对称点分别是A1、B1、C1），直接写出A1的坐标；
（2）将Rt△ABC向下平移4个单位，得到Rt△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2），画出Rt△A2B2C2，连接A1C2，直接写出线段A1C2的长．
【分析】（1）根据Rt△ABC关于y轴对称的得到Rt△A1B1C1，进行作图即可；
（2）根据Rt△ABC向下平移4个单位得到Rt△A2B2C2，进行作图即可；再根据线段长进行计算即可．
【解答】（1）如图所示：Rt△A1B1C1即为所求，A1的坐标为（﹣4，3）；
（2）如图所示：Rt△A2B2C2即为所求，A1C2的长=．
【点评】本题主要考查了利用对称变换以及平移变换进行作图，解题时注意：对称作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多．确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
