北师大版九年级数学上册第一章
1.2矩形的性质与判定 同步测试
一
．
选择题
1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等
2.下列说法错误的是( )
A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形 B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.有两个角是直角的四边形是矩形
3．（2018?兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )
A.6 B.8 C.6 D.6
5．（2019?眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
6.如图,矩形ABCD中对角线AC,BD交点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AB长为( )
A.4 B.4 C.3 D.5
7.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是( )
A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
8.
如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
AB=BE
B．DE⊥DC
C．∠ADB=90°
D．CE⊥DE
9.
矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（
）
A．3cm B．4cm C．12cm D．4cm或12cm
10.
如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
二．填空题
11.
如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件
，使四边形DBCE是矩形．
12．（2019?徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC的长为
．
13.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是 厘米.?
如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F
处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.
15.
如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.
16.
矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 ．
三．解答题
17.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:
(1)△ABF≌△DEC;
(2)四边形BCEF是矩形.
18．（2018?沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是
．
19.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.过点A作AE∥BD,交CB的延长线于点E.
(1)求证:AC=AE;
(2)若∠AOB=120°,AE=8,求BC的长.
20．（2018?连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
21.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,CE∥BD,DE∥AC.
(1)证明:四边形OCED为菱形;
(2)若AC=4,求四边形CODE的周长.
22．（2019?青岛）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．北师大版九年级数学上册第一章
1.2矩形的性质与判定 同步测试
一
．
选择题
1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等
【解答】 B ∵矩形和菱形是平行四边形,∴C、D是二者都具有的性质,A是菱形具有的性质,对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质.故选B.
2.下列说法错误的是( )
A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.有两个角是直角的四边形是矩形
【解答】 D
A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;
B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等,正确,故本选项不符合题意;
C.对角线相等的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;
D.有两个角是直角的四边形不一定是矩形,可以是直角梯形,故本选项符合题意.故选D.
3．（2018?兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3．
∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，
∴△AEB≌△GED．
∴AE＝EG．
设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，
在Rt△DEG中，ED2＝GE2+GD2，x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．
故选：C．
4.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )
A.6 B.8 C.6 D.6
【解答】 A ∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,OB=OC=AC=6.
∵OB=OC,BE=EC,∴OE⊥BC.
∴EC==3.
∴BC=2EC=6.故选A.
5．（2019?眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【解答】解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝；
故选：B．
6.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AB的长为( )
A.4 B.4 C.3 D.5
【解答】 A ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=AC,OB=BD=4,AC=BD,
∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OB=4.故选A.
7.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是( )
A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
【解答】 C 要使四边形EFGH是矩形,则四边形ABCD应具备的条件是对角线互相垂直.
理由:连接AC、BD,交于点O,
由题意可得EF∥AC,且EF=AC,GH∥AC,且GH=AC,
∴EF∥GH,且EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形,
∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,
∵BD⊥AC,EF∥AC,∴EH⊥EF,∴∠HEF=90°,∴平行四边形EFGH为矩形.故选C.
8.
如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
AB=BE
B．DE⊥DC
C．∠ADB=90°
D．CE⊥DE
【答案】B；
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，
又∵AD=DE，∴BE∥BC，且BE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误．
故选B．
9.
矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（
）
A．3cm B．4cm C．12cm D．4cm或12cm
【答案】D；
【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.
10.
如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C；
【解析】当BP=AB或BP=BC时，∠APE是直角.
二．填空题
11.
如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件
，使四边形DBCE是矩形．
【答案】EB=DC．
【解析】添加EB=DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB=DC．
12．（2019?徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC的长为 16 ．
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝8．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2BO＝16．
故答案为16．
13.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是 厘米.?
【解答】 14
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AC=BD,AO=OC,OD=OB,
∴AO=OC=OD=OB,
∵矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是86厘米,
∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=86厘米,
即8OA+2AB+2BC=86厘米,
∵矩形ABCD的周长是30厘米,
∴2AB+2BC=30厘米,∴8OA=56厘米,
∴OA=7厘米,则AC=BD=2OA=14厘米.故答案为14.
14.
如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F
处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.
【答案】6；
【解析】设AB＝AF＝，BE＝EF＝3，EC＝5，则CF＝4，，解得.
15.
如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.
【答案】；
【解析】BD＝5，利用面积法，PE＋PF＝△AOD中OD边上的高＝.
16.
矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 ．
【答案】30或10；
【解析】∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠EAB=∠BEA，
∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴x?4x=36，
解得：x=3（负舍），
即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；
②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴3x?4x=36，
解得：x=（负舍），
即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；
故答案为：30或10
三．解答题
17.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:
(1)△ABF≌△DEC;
(2)四边形BCEF是矩形.
【解答】证明 (1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
在△ABF与△DEC中,∴△ABF≌△DEC(SAS).
(2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA,
∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四边形BCEF是平行四边形.
∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.
18．（2018?沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 4 ．
【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为：
AC?BD=×4×2=4．
故答案是：4．
19.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.过点A作AE∥BD,交CB的延长线于点E.
(1)求证:AC=AE;
(2)若∠AOB=120°,AE=8,求BC的长.
【解答】 (1)证明:在矩形ABCD中,AC=BD,AD∥BC,
又∵AE∥BD,∴四边形AEBD是平行四边形.
∴BD=AE,∴AC=AE.
(2)∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,
∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,∴BC=OC=AC=AE=4.
20．（2018?连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
21.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,CE∥BD,DE∥AC.
(1)证明:四边形OCED为菱形;
(2)若AC=4,求四边形CODE的周长.
【解答】 (1)证明:∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE为平行四边形,
又∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,
∴四边形CODE为菱形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD=AC,
又∵AC=4,∴OC=2,
由(1)知,四边形CODE为菱形,
∴四边形CODE的周长为4OC=4×2=8.
22．（2019?青岛）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
