专题：二次函数图像与性质重难点题型
考点一
二次函数的图像及性质
1．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x＝1；
③顶点坐标为(－1，3)；
④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的个数为( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．在函数y＝ax2－2ax－7上有A(－4，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)三点，若抛物线有最大值，则y1，y2和y3的大小关系为( A )
A．y1＜y3＜y2
B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3
D．y1＜y2＜y3
3．若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( A )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
4．二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是
k＜3且k≠0
．
5．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，求实数m的值．
解：当m＞1时，∴当x＝1时，y取得最大值，
即－(1－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝2；
当－2≤m≤1时，∵－2≤x≤1，∴当x＝m时，y取得最大值，即m2＋1＝4，解得m＝－或(不合题意，舍去)；
当m＜－2时，∵－2≤x≤1，
∴当x＝－2时，y取得最大值，即－(－2－m)2＋m2＋1＝4，
解得m＝－(不合题意，舍去)．综上，实数m的值为2或－．
考点二
二次函数的表达式的确定
1．已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是( D )
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
2．已知矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴和点A
(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为( A )
A．y=x2+8x+14
B．y=x2－8x+14
C．y=x2+4x+3
D．y=x2－4x+3
3．将抛物线y＝x2－2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线对应的函数表达式是
y＝x2－2x＋3
．
4．已知点P(－1，5)在抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4，则该抛物线的表达式为
y＝－x2－2x或y＝－x2－2x＋8
．
5．已知抛物线l：y＝ax2＋bx＋c(abc≠0)的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
(1)抛物线y＝x2－2x－3的衍生抛物线是
y＝－x2－3
，衍生直线是
y＝－x－3
；
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝－2x2＋1和y＝－2x＋1，求这条抛物线的表达式．
解：由题可知，衍生抛物线和衍生直线的两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
将y＝－2x2＋1和y＝－2x＋1联立，得
解得或
∵衍生抛物线y＝－2x2＋1的顶点为(0，1)，
∴原抛物线的顶点为(1，－1)．
设原抛物线的表达式为y＝t(x－1)2－1，
∵抛物线过(0，1)，∴1＝t(0－1)2－1，解得t＝2，
∴原抛物线的表达式为y＝2(x－1)2－1＝2x2－4x＋1．
考点三
二次函数的图像应用
1．已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D )
A．有最大值0，有最小值－2
B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值7，有最小值－2
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( D )
3．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一坐标系中，函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是( D )
4．如图1，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y=ax2+(b－1)x+c的图象可能(
A
)
图1
图2
5．如图2，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为
8
．
考点四
二次函数与方程、不等式的关系
1．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图3，下列结论正确是(
C
)
A．abc>0
B．2a+b>0
C．3a+c<0
D．ax2+bx+c－3=0有两个不相等的实数根
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4，下列结论：
①b2＞4ac，
②abc＜0，
③2a＋b－c＞0，
④a＋b＋c＜0．
其中正确的是( A )
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
图3
图4
图5
3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图5，下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m(am+b)+b≤a，
其中正确结论的个数是( B
)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是( A )
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
5．一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)求k，a，c的值；
(2)过点A(0，m)(0解：(1)∵点(1，2)在一次函数y＝kx＋4的图象上，
∴2＝k＋4，即k＝－2．
∵一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点，
∴(0，c)在一次函数y＝kx＋4的图象上，即c＝4，
∵点(1，2)也在二次函数y＝ax2＋c的图象上，
∴2＝a＋c，∴a＝－2．
(2)∵点A的坐标为(0，m)(0∴可设点B的坐标为(x0，m)，由对称性得点C的坐标为(－x0，m)，
∴BC＝2|x0|．∴BC2＝4x．
∵点B在二次函数y＝－2x2＋4的图象上，
∴－2x＋4＝m，即x＝2－，∴BC2＝4x＝8－2m．
∵OA＝m，
∴W＝OA2＋BC2＝m2－2m＋8＝(m－1)2＋7(0∴m＝1时，W有最小值，最小值为7．
※课后练习
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx－2和二次函数y=kx2+2x－4(k是常数且k≠0)的图象可能是
(
A
)
2．在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，正确的是
(
C
)
A．
B．
C．
D．
3．已知m>0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1A．x1<－1<2B．－1C．－1D．x1<－14．函数y＝ax2＋bx＋c图象如图1，下列结论正确的有( B )
①abc<0 ②
b2－4ac>0 ③
2a>b ④
(a＋c)2A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图1
图2
5．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图2所示，有以下结论：①3a－b=0；②b2－4ac>0；③5a－2b+c>0；④4b+3c>0．
其中错误的结论(
A
)
?A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)，将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为_
y＝x2－4x＋8__．
7．同一坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，则m＝5
，n＝－6
．
8．当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是__－3≤a≤1____．
9．已知二次函数y=x2－2x+3，当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是 1≤m≤2 ．?
10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+(b﹣1)x+c＞0．
其中正确的结论有
①③④
．
11．已知抛物线y=－x2+mx过点(
8，0
)．
(1)求m的值；
(2)如图，在抛物线内作矩形ABCD，
使点C，D落在抛物线上，点A，B落
在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，
求L的最大值．
解：(1)由条件可得－×82+8m=0，
解得m=4．
(2)∵m=4，∴抛物线的表达式为y=－x2+4x．
∵抛物线和矩形都是轴对称图形，
∴点A与点B，点C与点D都关于抛物线的对称轴x=4对称，
设点A(n，0)，则点D
(n，－n
2+4n)，点B(8－n，0)，
AB=8－2n．
∴L=2(－n
2+4n)+2(8－2n)=－n2+4n+16=－(n－2)2+20，
∴L的最大值为20．
12．已知二次函数y＝(x－m)2＋m，当2m－3≤x≤2m时，y的最小值是1．求m的值．
解：若2m则在x＝2m时，y取得最小值1，即有y＝(2m－m)2＋m＝1．解得m1＝－2，m2＝(不合题意，舍去)；
若2m－3≤m≤2m，即0≤m≤3时，
则x＝m时，y的最小值是1，此时m＝1；
若2m－3>m，即m>3时，
则x＝2m－3时y取得最小值1，此时(2m－3－m)2＋m＝1，
此方程无实数根；
综上所述，m的值为1或－2．专题：二次函数图像与性质重难点题型
考点一
二次函数的图像及性质
1．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x＝1；
③顶点坐标为(－1，3)；
④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的个数为(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．在函数y＝ax2－2ax－7上有A(－4，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)三点，若抛物线有最大值，则y1，y2和y3的大小关系为(
)
A．y1＜y3＜y2
B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3
D．y1＜y2＜y3
3．若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(
)
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
4．二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是
．
5．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，求实数m的值．
考点二
二次函数的表达式的确定
1．已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是(
)
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
2．已知矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴和点A
(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为(
)
A．y=x2+8x+14
B．y=x2－8x+14
C．y=x2+4x+3
D．y=x2－4x+3
3．将抛物线y＝x2－2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线对应的函数表达式是
．
4．已知点P(－1，5)在抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4，则该抛物线的表达式为
．
5．已知抛物线l：y＝ax2＋bx＋c(abc≠0)的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
(1)抛物线y＝x2－2x－3的衍生抛物线是
，衍生直线是
；
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝－2x2＋1和y＝－2x＋1，求这条抛物线的表达式．
考点三
二次函数的图像应用
1．已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是(
)
A．有最大值0，有最小值－2
B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值7，有最小值－2
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(
)
3．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一坐标系中，函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是(
)
4．如图1，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y=ax2+(b－1)x+c的图象可能(
)
图1
图2
5．如图2，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为
．
考点四
二次函数与方程、不等式的关系
1．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图3，下列结论正确是(
)
A．abc>0
B．2a+b>0
C．3a+c<0
D．ax2+bx+c－3=0有两个不相等的实数根
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4，下列结论：
①b2＞4ac，
②abc＜0，
③2a＋b－c＞0，
④a＋b＋c＜0．
其中正确的是(
)
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
图3
图4
图5
3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图5，下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m(am+b)+b≤a，
其中正确结论的个数是(
)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是(
)
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
5．一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)求k，a，c的值；
(2)过点A(0，m)(0※课后练习
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx－2和二次函数y=kx2+2x－4(k是常数且k≠0)的图象可能是(
)
2．在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知m>0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1 )
A．x1<－1<2B．－1C．－1D．x1<－14．函数y＝ax2＋bx＋c图象如图1，下列结论正确的有(
)
①abc<0 ②
b2－4ac>0 ③
2a>b ④
(a＋c)2A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图1
图2
5．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图2所示，有以下结论：①3a－b=0；②b2－4ac>0；③5a－2b+c>0；④4b+3c>0．
其中错误的结论(
)
?A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)，将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为
．
7．同一坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，则m＝
，n＝
．
8．当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是
．
9．已知二次函数y=x2－2x+3，当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是
．?
10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+(b﹣1)x+c＞0．
其中正确的结论有
．
11．已知抛物线y=－x2+mx过点(
8，0
)．
(1)求m的值；
(2)如图，在抛物线内作矩形ABCD，使点C，D落在抛物线上，点A，B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．
12．已知二次函数y＝(x－m)2＋m，当2m－3≤x≤2m时，y的最小值是1．求m的值．
