人教版
九年级数学上册
23.1
图形的旋转
同步培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
2.
如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是
( )
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
3.
如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④
4.
把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为
( )
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
5.
如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是( )
A．(－1，2)
B．(1，4)
C．(3，2)
D．(－1，0)
6.
如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( )
图7－ZT－1
A．(－1，2＋)
B．(－，3)
C．(－，2＋)
D．(－3，)
7.
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为( )
A．(，1)
B．(，－1)
C．(2，1)
D．(0，2)
8.
如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )
A．4
B．2
C．6
D．2
9.
如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )
A．90°－α
B．α
C．180°－α
D．2α
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题（本大题共6道小题）
11.
如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.
12.
如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2
，BC＝.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．
13.
一副三角尺如图21－K－5放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．
图21－K－5
14.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10
cm，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6
cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________
cm.
15.
如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.
16.
如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．
三、解答题（本大题共4道小题）
17.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′.
(1)求∠DAD′的度数；
(2)当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E.
18.
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长．
19.
如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
20.
将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.
(1)如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；
(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．人教版
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23.1
图形的旋转
同步培优训练-讲评卷
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】D [解析]
平行四边形绕其对角线的交点旋转能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故A错误；矩形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故B错误；菱形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°，故C错误；正方形绕其对角线的交点旋转，能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是90°.故选D.
2.
如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是
( )
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】B [解析]
旋转中心到对应点的距离相等．
3.
如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变换得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】D [解析]
先将△ABC绕着B′C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B′C′的中点旋转180°，即可得到△A′B′C′；先将△ABC沿着B′C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B′C′的垂直平分线翻折，即可得到△A′B′C′.故选D.
4.
把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为
( )
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
【答案】C
5.
如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是( )
A．(－1，2)
B．(1，4)
C．(3，2)
D．(－1，0)
【答案】C
6.
如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( )
图7－ZT－1
A．(－1，2＋)
B．(－，3)
C．(－，2＋)
D．(－3，)
【答案】B [解析]
如图，过点B′作B′H⊥y轴于点H.
由题意得，OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°，
∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，
∴OH＝3，∴B′(－，3)．
7.
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为( )
A．(，1)
B．(，－1)
C．(2，1)
D．(0，2)
【答案】A [解析]
如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，
∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.
∵点A的坐标为(1，)，∴AE＝1，OE＝，
∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝OA′＝1，OF＝，∴A′(，1)．
故选A.
8.
如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )
A．4
B．2
C．6
D．2
【答案】D [解析]
由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝2
.
∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝＝2
.故选D.
9.
如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )
A．90°－α
B．α
C．180°－α
D．2α
【答案】C [解析]
由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠C＋∠ADB＝180°.
由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B [解析]
连接PC.
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4.
根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB＝4.
∵P是A′B′的中点，∴PC＝A′B′＝2.
∵M是BC的中点，∴CM＝BC＝1.
又∵PM≤PC＋CM，
即PM≤3，
∴PM的最大值为3(此时点P，C，M共线)．
故选B.
二、填空题（本大题共6道小题）
11.
如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.
【答案】20 [解析]
∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.
12.
如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2
，BC＝.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．
【答案】5 [解析]
由勾股定理，得AC＝＝5.过点C作CE⊥AB′于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝.又AB′＝AB＝2
，∴AE＝EB′＝，∴CE垂直平分AB′，∴B′C＝AC＝5.
13.
一副三角尺如图21－K－5放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．
图21－K－5
【答案】15°或60° [解析]
分情况讨论：
①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，
∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；
②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.
故答案为15°或60°.
14.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10
cm，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6
cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________
cm.
【答案】(10－2
) [解析]
如图，过点A作AG⊥DE于点G.由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠AED＝∠ADG＝45°，
∴∠AFD＝∠AED＋∠CAE＝60°.
在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3
(cm)．
在Rt△AFG中，GF＝＝(cm)，AF＝2FG＝2
(cm)，
∴CF＝AC－AF＝(10－2
)cm.
15.
如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.
【答案】 [解析]
∵α＋β＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE＝AB＝3，AF＝AC＝2，∴EF＝＝.
16.
如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．
【答案】9＋3
[解析]
将y＝1代入y＝－x，解得x＝－.
∴AB＝，OA＝2，且直线y＝－x与x轴所夹的锐角是30°.
由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O8O10＝O10O12＝2＋＋1＝3＋.
∴OO12＝6×(3＋)＝18＋6
.
∴点O12的纵坐标＝OO12＝9＋3
.
三、解答题（本大题共4道小题）
17.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′.
(1)求∠DAD′的度数；
(2)当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E.
【答案】
解：(1)∵将△ABD绕点A逆时针旋转，得到△ACD′，
∴∠DAD′＝∠BAC.
∵∠BAC＝90°，∴∠DAD′＝90°.
(2)证明：∵△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°.
∵∠DAE＝45°，
∴∠D′AE＝∠DAD′－∠DAE＝90°－45°＝45°，
∴∠D′AE＝∠DAE.
在△AED与△AED′中，
∴△AED≌△AED′(SAS)，
∴DE＝D′E.
18.
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长．
【答案】
解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF，连接DF.由旋转的性质，得CE＝CF，AF＝BE＝2，∠ACF＝∠BCE，∠CAF＝∠B＝45°.
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠DCF＝∠ACD＋∠ACF＝∠ACD＋∠BCE＝∠ACB－∠DCE＝90°－45°＝45°，∴∠DCE＝∠DCF.
在△CDE和△CDF中，
∴△CDE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF.
∵∠DAF＝∠BAC＋∠CAF＝45°＋45°＝90°，
∴△ADF是直角三角形，∴DF2＝AD2＋AF2，∴DE2＝AD2＋BE2＝32＋22＝13，
∴DE＝.
19.
如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
【答案】
解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A(如图)．连接PP′，由旋转的性质知△BPP′为等边三角形，AP′＝PC＝1，
∴PP′＝PB＝，∠BPP′＝∠BP′P＝60°.
在△APP′中，∵AP′2＋PP′2＝12＋()2＝22＝PA2，
∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°，
∴∠BP′A＝∠BP′P＋∠AP′P＝60°＋90°＝150°，
∴∠BPC＝∠BP′A＝150°.
在Rt△APP′中，∵PA＝2，AP′＝1，
∴∠APP′＝30°.
又∵∠BPP′＝60°，
∴∠APB＝90°，
∴在Rt△ABP中，AB＝＝＝，
即等边三角形ABC的边长为.
20.
将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.
(1)如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；
(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
【答案】
解：(1)证明：连接EG，AF，则EG＝AF.
由旋转的性质可得EG＝BD，∴AF＝BD.
又∵AD＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BCD.
∴FD＝CD.
(2)分两种情况：①若点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边，如图(a)．
∵GC＝GB，
∴∠GCB＝∠GBC，∴∠GCD＝∠GBA.
又CD＝BA，∴△GCD≌△GBA，
∴DG＝AG.
又∵AG＝AD，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.
②若点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边，如图(b)．
同理，△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°.此时α＝300°.
综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.
