第一章 一元二次方程单元测试题（提优）（含解析）

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初中数学苏科版九年级上册第一章
一元二次方程
单元测试（提优）
一、单选题
1.若方程
是一元二次方程，则m的值为（??
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?±1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?–1
2.若
是方程
的一个根，设
则M与N的大小关系正确的为（?
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?不确定
3.已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1
，
x2
，
则代数式
的值是（??
）
A.?2011???????????????????????????????????B.?2012???????????????????????????????????C.?2013???????????????????????????????????D.?2014
4.关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
5.已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c-a）=0根的情况是（　　）.
A.?方程无实数根????????B.?方程有两个不相等的实数根????????C.?方程有两个相等的实数根????????D.?无法判断
6.已知
为方程
的两实根，则
的值为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.?－28???????????????????????????????????????C.?20???????????????????????????????????????D.?28
7.若a≠b，且
则
的值为（???
）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?.4???????????????????????????????????????????D.?3
8.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2
．
若设道路的宽为
，则下面所列方程正确的是（??
）
A.???????????????????????B.?
?
C.?????????????????????????????????D.?
9.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：
①方程x2+2x-8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若(x-3)(mx-n)=0是倍根方程，则n=6m或3n=2m；④若点(m，n)在反比例函数y=
的图象上，则关于x的方程mx2-3x+n=0是倍根方程。上述结论中正确的有(???
)
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
10.对于两个不相等的实数
，我们规定符号
表示
中较大的数，如
,按这个规定，方程
的解为?
(????
)
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
或-1
二、填空题
11.一元二次方程（1+3x）(x-3)=2x2+1化为一般形式为________．
12.若
是方程
的根，计算：
________．
13.如果
、
是两个不相等的实数，且满足
，
，那么代数式
=________
14.若代数式
的值为0，则x的值为________.
15.若
，其中
，则
________.
16.已知关于
的一元二次方程
有实数根，则
的取值范围是________.
17.若关于
的方程
有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则
的取值范围是________.
18.方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为________．
三、计算题
19.解下列方程：
（1）（y＋2）2－（3y－1）2＝0；
（2）5（x－3）2＝x2－9；
（3）t2－
t＋
＝0.
（4）2x2＋7x＋3＝0（配方法）.
四、综合题
20.已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求
﹣
的值.
21.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程
的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
22.阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式
的最小值.方法如下：
∵
，由
，得
；
∴代数式
的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式
的最小值.
（2）代数式
有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
23.在一元二次方程中，有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x1
，
x2
，
那么x1+x2=
，x1+x2=
(说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中，△=17，所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1
，
x2
，
那么x1+x2=
，x1+x2=
.请阅读材料回答问题:
（1）已知方程x2-3x-2=0的两根为x1、x2
，
求下列各式的值:
①x12+x22；②
；
（2）已知x1
，
x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=
成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
②求使
-2的值为整数的实数k的整数值.
24.近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．????????
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的
，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了
a%，求a的值．
25.阅读材料：各类方程的解法．
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组。求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验·各类方程附解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知，用“转化，，的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2=________，x3=________；
（2）拓展：用“转化”思想求方程
的解；
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
解：因为方程
是一元二次方程,
所以
,
,
解得
且
所以
,
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,
2.【答案】
B
【考点】一元二次方程的根
解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=-c，
则N-M=（ax0+1）2-（1-ac）
=a2x02+2ax0+1-1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=-ac+ac
=0，
∴M=N，
故答案为：B．
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=-c，作差法比较可得．
3.【答案】
D
【考点】一元二次方程的根
解：∵方程x2-4x+2=0的两根是x1
，
x2
，
∴x12+2=4x1
，
x22-4x2=-2，
∴
=
=4-1+2011
=2014.
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程的根的意义可将x1、x2分别代入原方程得：x12+2=4x1
，
x22-4x2=-2，再整体代换即可求解.
4.【答案】
C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
解：∵关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，
∴△=22-4（m-5）×2≥0且m-5≠0，
解得：m≤5.5且m≠5，
m的最大整数解为4，
故答案为：C．
【分析】根据方程有实数根得出△≥0且m-5≠0，求出不等式的解集即可．
5.【答案】
C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，勾股定理
解：∵a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，
∴a2+b2=c2
，
∵△=4b2-4（c+a）（c-a）=4（b2-c2+a2），
∴△=0，
∴方程有两个相等的两个实数根．
选C
．
【分析】先根据勾股定理得到a2+b2=c2
，
再计算出△=4b2-4（c+a）（c-a）=4（b2-c2+a2）=0，于是根据判别式的意义判断方程根的情况
6.【答案】
D
【考点】完全平方公式及运用，一元二次方程的根与系数的关系
解：∵
为方程
的两实根，∴
，∴对所求式子进行变形有：
．
【分析】利用根与系数的关系求代数式的值时关键在于对所求代数式的变形．
7.【答案】
B
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系
解：由
得：
∴
又由
可以将a，b看做是方程
的两个根∴a+b=4，ab=1∴
故答案为B.
【分析】构造一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可。
8.【答案】D
【考点】一元二次方程的应用
解：由题意得，(
32
?
2
x
)
(
20
?
x
)
=
570
【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(32?2x)m,宽为（20-x）m，所以可得方程(
32
?
2
x
)
(
20
?
x
)
=
570
9.【答案】
D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数的性质
解：（1）解：??①
x2+2x-8=0
，(x+4)(x-2)=0,∴x1=-4,x2=2,
x1=-2x2,
不是倍根方程，不符合题意；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，x1×2x1=2，解得x12=1则x1=±1；则x1+2x1=-a,
a=-3x1=±3,
符合题意;
③若(x-3)(mx-n)=0是倍根方程，则x1=3,
x2==2x1=6,
得n=6m或x2==x1=,得3m=2n，不符合题意；
④?∵点(m，n)在反比例函数y=??的图象上，∴n=,
则mx2-3x+=0,
解得x1=,x2=.
∴是倍根方程，符合题意.
综上，?②④正确.
故答案为：D.
【分析】
①?先解方程，把两根作比较即可验证是否是倍根方程；②根据倍根方程的性质，结合根与系数的关系求出a的值验证即可；③先解方程，结合倍根方程的性质，求出m与n的关系即可验证；④?由反比例函数得出n=,再求出方程的两根，两者结合得出两根的关系即可判断是否是倍根方程.
10.【答案】
D
【考点】公式法解一元二次方程
解：当
，即
时，所求方程变形为
，
去分母得：
，即
,
解得：
经检验
是分式方程的解；
当
，即
时，所求方程变形为
，
去分母得：
代入公式得：
，
解得：
（舍去），
经检验
是分式方程的解，
综上，所求方程的解为
或-1．
故答案为：D.
【分析】分
和
两种情况将所求方程变形，求出解即可．
二、填空题
11.【答案】
x2-8x-4=0
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
解：去括号得：x-3-3x2-9x=2x2+1
整理得：x2-8x-4=0
故答案为：x2-8x-4=0
【分析】利用多项式乘以多项式的法则先去括号，再移项合并，即可得出一元二次方程的一般形式。
12.【答案】
0
【考点】一元二次方程的根
解：
是方程
的根，
，
则
，
，
所以原式
，
故答案为：0．
【分析】根据方程根的意义可得，a2-3a=-1，a2+1=3a，再整体代入计算即可。
13.【答案】2026
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：如果
m
、
n
是两个不相等的实数，且满足
m
2
?
m
=
3
，
n
2
?
n
=
3
，则
、
是关于
的一元二次方程
的两根，
∴
，
，
＝
＝
＝2×1-（-3）+2021
=2026
【分析】根据题意可得出
m
、
n
是关于
x
的一元二次方程
x
2
?
x
=
3
的两根，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值及n
2
=n+
3，分别代入可解答。
14.【答案】
【考点】分式的值为零的条件，因式分解法解一元二次方程
解：由题意可得：
，
即
，解得
或
，
∵
，即
，
∴
【分析】根据分式的意义，如果分式为0，则分子为0，分母不能为0得出
，且
，进而求解即可.
15.【答案】
或
【考点】分式的值，因式分解法解一元二次方程
解：∵
，
∴（x-3y）（x-2y）=0，
∴x-3y=0或x-2y=0，
即x=3y或x=2y，
∴
或
.
故答案为：2或3.
【分析】把y作为常数，将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程得出原方程的解，然后分两种情况代入分式约分得出答案.
16.【答案】
且
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程根的判别式及应用
解：∵（1-2k）x2-
x-1=0有实数根，
∴△≥0且1-2k≠0，即k+4×1×（1-2k）≥0，解得k≤
，
∴字母k的取值范围是0≤k≤
且k≠
.
故答案为0≤k≤
且k≠
.
【分析】由一元二次方程的根的判别式和定义可得关于k的不等式，解不等式即可求解.
17.【答案】3＜m≤4
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x1=2；
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x2=2+
x3=2-
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2
，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为：3＜m≤4
【分析】利用积为0的因数特点，可得出x-2=0或x2-4x+m=0，进而求出三个根，利用三角形构成条件，利用两根之和关系式，求出m的范围.
18.【答案】6-2
【考点】公式法解一元二次方程
解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2
，舍去正号；
∴两根为7和-1-2
，
∴7+（-1-2
）=6-2
．
故答案为：6-2
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解。
三、计算题
19.【答案】
（1）解：（y＋2）2－（3y－1）2＝0
∴（y＋2＋3y－1）（y＋2－3y＋1）＝0，
（∴4y＋1）（－2y＋3）＝0.
∴4y＋1＝0或－2y＋3＝0.
∴y1＝－
，y2＝
（2）解：5（x－3）2＝x2－9；
∴5（x－3）2＝（x＋3）（x－3），
移项，得5（x－3）2－（x＋3）（x－3）＝0.
∴（x－3）[5（x－3）－（x＋3）]＝0，
∴（x－3）（4x－18）＝0.
∴x－3＝0或4x－18＝0.
∴x1＝3，x2＝
（3）解：t2－
t＋
＝0.
方程两边都乘8，得8t2－4
t＋1＝0.
∵a＝8，b＝－4
，c＝1，
∴b2－4ac＝（－4
）2－4×8×1＝0.
∴t＝
＝
.
∴t1＝t2＝
.
（4）解：2x2＋7x＋3＝0（配方法）
移项，得2x2＋7x＝－3.
方程两边同除以2，得x2＋
x＝－
.
配方，得x2＋
x＋（
）2＝－
＋（
）2
，
即（x＋
）2＝
.
直接开平方，得x＋
＝±
.
∴x1＝－
，x2＝－3.
【考点】配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【解析】（1）直接用平方差公式分解因式后即可解方程；（2）先变形得到5（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）利用公式法解方程即可；（4）把二次项系数化为1后，再两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，再用直接开平方法解即可.
四、综合题
20.【答案】
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1.
∴k的取值范围为k＞﹣1
（2）解：由根与系数关系得a+b＝﹣2，a?b＝-k，
﹣
＝
＝
＝1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＝4+4k＞0，解不等式求出k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得a+b＝﹣2，a?b＝-k，代入整理后的代数式，计算即可.
21.【答案】
（1）证明：△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：当k=2时，
∴原方程化为：x2-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
∴32+42=52
，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：当BC是等腰三角形的腰时，
∴x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解，
∴25-5（2k+3）+k2+3k+2=0，
解得：k2-7k+12=0，
∴k=3或k=4，
若k=3时，
则方程为：x2-9x+20=0，
∴x=4或x=5，满足三角形三边关系，
此时周长为14；
若k=4时，
则方程：x2-11x+30=0，
∴x=5或x=6，满足三角形三边关系，
此时周长为16；
当BC是等腰三角形的底边时，
此时方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意，
综上所述，△ABC的周长为14或16.
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理
【解析】（1）根据整式的混合运算法则算出方程根的判别式的值为1，由该值大于0得出无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将k=2代入关于x的一元二次方程
，
利用因式分解法求解得出方程的两个根，得出三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判断出
△ABC是直角三角形
；
（3）分类讨论：
当BC是等腰三角形的腰时，
x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解，
将x=5代入即可求出k的值，将k的值再代入方程求出方程的两根，从而得出三条线段的长度，进而根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法即可算出答案；
当BC是等腰三角形的底边时，
此时方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意，
综上所述即可得出答案。
22.【答案】
（1）解：∵
，由
，
得
；
∴代数式
的最小值是
（2）解：
，
∵
，
∴
，
∴代数式
有最大值，最大值为32
【考点】偶次幂的非负性，配方法的应用
【解析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可.
23.【答案】
（1）解：∵x2-3x-2=0，△=(-3)2-4×(-2)=17＞0，∴x1+x2=3，x1?x2=-2
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1?x2=32-2×(-2)=9+4=13；
②
=
=-
（2）解：∵方程有两个实数根，
∴△=(-4k)2-4?4k(k+1)＞0；
∴k＜0，x1+x2=1，x1?x2=
，
①∵(2x1-x2)(x1-2x2)=2x12-5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)-9x1x2=2(x1+x2)2-9x1x2
，
∴2-9?
=?
，
解得：k=
，与k＜0矛盾；
∴不存在k的值，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-
成立.
②
-2=
=
=
=
=
=
.
∵
-2=
的值为整数，
∴k+1=±1或±2或±4，
又∵k＜0，
∴k=-2或-3或-5
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】（1）①利用韦达定理可求出
x1+x2和x1?x2的值，
再利用配方法将x12+x22转化为
(x1+x2)2-2x1?x2
，
然后整体代入即可；②先通分，将代数式转化为含x1+x2和x1?x2的形式，然后整体代入可求值。
（2）①利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再求出x1+x2和x1?x2的值，然后将等式的左边转化为含x1+x2和x1?x2
，
然后整体代入建立关于k的方程，解方程求出k的值，再根据k的取值范围可作出判断；②先通分将原代数式转化为含x1+x2和x1?x2
，
然后整体代入可得到关于k的方程，再根据此代数式的值为整数，可得到k+1=±1或±2或±4，
解方程求出符合题意的k的值。
24.【答案】
（1）解：设今年年初猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，
解得：x≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元
（2）解：设5月20日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）×
（1+a%）+40×
（1+a%）=40（1+
a%），
令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×
（1+y）+40×
（1+y）=40（1+
y），
整理得：5y2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20；
答：a的值为20
【考点】一元二次方程的应用
【解析】（1）由题意可得不等关系：今年5月20日购买2.5千克猪肉的价格100，根据这个不等关系列不等式即可求解；
（2）由题意可得相等关系：5月21日出售的储备猪肉的销售总额+5月21日出售的非储备猪肉的销售总额=两种猪肉销售的总金额，根据相等关系列方程即可求解。
25.【答案】
（1）-2；1
（2）解：
∵
，
∴x≥0，
∴x2-2x-3=0，
即（x-3）（x+1）=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
经检验x=3是原方程的解，
∴原方程的解为：x=3.
【考点】一元二次方程的应用
解：（1）∵x3+x2-2x=0，
∴x（x+2）（x-1）=0，
解得：x1=0，x2=-2，x3=1，
故答案为：-2，1.
【分析】（1）先将原方程分解因式，从而得出答案.
（2）根据题意可得x≥0，再将式子两边平方，转化为一元二次方程，解之即可得出答案.
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精品试卷·第
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