第2课时 等式性质与不等式性质
1.若b<0,a+b>0,则a-b的值( )
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
2.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( )
A.b-a>0
B.a3+b3<0
C.a2-b2<0
D.b+a>0
3.“a+c>b+d”是“a>d,且c>b”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
4.若a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是
( )
A.ab>ac
B.ac>bc
C.a|b|>c|b|
D.a2>b2>c2
5.已知<0,则下列不等式中不正确的是( )
A.a2
B.abC.>2
D.|a|+|b|>|a+b|
6.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为 .?
7.若-108.若-29.已知-≤α<β≤,求的取值范围.
10.已知a>b>c>1,设M=a-,N=a-,P=2,试比较M,N,P的大小.
.1
参考答案
1.若b<0,a+b>0,则a-b的值( )
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
解析:∵b<0,a+b>0,∴a>-b>0,∴a-b>0.
答案:A
2.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( )
A.b-a>0
B.a3+b3<0
C.a2-b2<0
D.b+a>0
解析:由a>|b|,得-a∴a+b>0,且a-b>0.
∴b-a<0,A错,D对.
取特殊值,如a=2,b=-1,a3+b3=7>0,故B错.
而a2-b2=(a-b)(a+b)>0,∴C错.
答案:D
3.“a+c>b+d”是“a>d,且c>b”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:易得a>b,且c>d时必有a+c>b+d.
若a+c>b+d,则可能有a>d,且c>b.
答案:A
4.若a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是
( )
A.ab>ac
B.ac>bc
C.a|b|>c|b|
D.a2>b2>c2
解析:由a>b>c及a+b+c=0知a>0,c<0,?ab>ac.
答案:A
5.已知<0,则下列不等式中不正确的是( )
A.a2B.abC.>2
D.|a|+|b|>|a+b|
解析:由<0,知a<0,b<0,且<0,
即<0,则b-a<0,即b由b-a>0?b2>a2,A对;
由bab,B对;
因为-2=>0,所以C对;由a<0,b<0?|a+b|=|a|+|b|,D错.
答案:D
6.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为 .?
解析:∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1.
又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6.
答案:-1≤a-b≤6
7.若-10解析:∵-10∴0≤|a|<10.
又-10答案:-10<|a|+b<18
8.若-2解析:∵-2∴-3∴0<(c-a)(a-b)<6.
答案:0<(c-a)(a-b)<6
9.已知-≤α<β≤,求的取值范围.
解:∵-,-,
将两式相加,得-.
∵-,-≤-,
∴-.
又α<β,∴<0,故-<0.
10.已知a>b>c>1,设M=a-,N=a-,P=2,试比较M,N,P的大小.
解:因为b>c>1,所以,所以-<-,所以a-因为P-N=a+b-2-(a-)=b-2-2+1)=[()+(1-)],又a>b>c>1,所以<0,1-<0,所以P-N<0,所以P综上可知,PA组
1.已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R,则( )
A.a<0,Δ>0
B.a<0,Δ<0
C.a>0,Δ<0
D.a>0,Δ>0
2.若不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( )
A.{a|-4≤a≤4}
B.{a|-4C.{a|a≤-4,或a≥4}
D.{a|a<-4,或a>4}
3.已知不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2A.a>0,且函数y=ax2-x-c的零点为-2,1
B.a>0,且函数y=ax2-x-c的零点为2,-1
C.a<0,且函数y=ax2-x-c的零点为-2,1
D.a<0,且函数y=ax2-x-c的零点为2,-1
4.已知不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3,或x<-2},则二次函数y=2x2+mx+n的解析式是( )
A.y=2x2+2x+12
B.y=2x2-2x+12
C.y=2x2+2x-12
D.y=2x2-2x-12
5.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的集合为
( )
A.{a|0B.{a|0≤a<4}
C.{a|0D.{a|0≤a≤4}
6.若关于x的不等式(x+1)(x-3)7.若关于x的不等式组有解,则实数a的取值范围是 .?
8.若式子(k为常数)在实数集R上恒有意义,则k的取值范围是 .?
9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B.
(1)求A∪B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.
10.设函数y=x2-ax+b.
(1)若不等式y<0的解集是{x|20的解集;
(2)当b=3-a时,y≥0恒成立,求实数a的取值范围.
B组
1.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1A.
B.
C.{x|-2D.{x|x<-2,或x>1}
2.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为( )
A.-3B.-3≤k<0
C.-3≤k≤0
D.-33.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是1005x+1-元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元,则x的取值范围为( )
A.{x|x≥3}
B.
C.{x|3≤x≤10}
D.{x|1≤x≤3}
4.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是{x|-4≤x≤3}的子集,则a的取值范围是( )
A.{a|-4≤a≤1}
B.{a|-4≤a≤3}
C.{a|1≤a≤3}
D.{a|-1≤a≤3}
5.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为{x|16.若x∈R,不等式ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立,则实数a的取值范围是 .?
7.已知ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<1},求不等式cx2-bx+a>0的解集.
8.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门全年的收益y与实际电价x的函数解析式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价))
1
参考答案
A组
1.已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R,则( )
A.a<0,Δ>0
B.a<0,Δ<0
C.a>0,Δ<0
D.a>0,Δ>0
解析:由题意知,二次函数y=ax2+bx+c的图象均在x轴下方,故a<0,Δ<0.
答案:B
2.若不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( )
A.{a|-4≤a≤4}
B.{a|-4C.{a|a≤-4,或a≥4}
D.{a|a<-4,或a>4}
解析:由题意,需满足Δ=a2-16≤0,即-4≤a≤4.
答案:A
3.已知不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2A.a>0,且函数y=ax2-x-c的零点为-2,1
B.a>0,且函数y=ax2-x-c的零点为2,-1
C.a<0,且函数y=ax2-x-c的零点为-2,1
D.a<0,且函数y=ax2-x-c的零点为2,-1
解析:由y=ax2-x-c>0的解集为{x|-2答案:C
4.已知不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3,或x<-2},则二次函数y=2x2+mx+n的解析式是( )
A.y=2x2+2x+12
B.y=2x2-2x+12
C.y=2x2+2x-12
D.y=2x2-2x-12
解析:由题意知-2和3是对应方程的两个根,由根与系数的关系,得-2+3=-,-2×3=,解得m=-2,n=-12.
因此二次函数的解析式是y=2x2-2x-12.
答案:D
5.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的集合为
( )
A.{a|0B.{a|0≤a<4}
C.{a|0D.{a|0≤a≤4}
解析:当a=0时,有1<0,故A=?;
当a≠0时,若A=?,
则有?0综上所述,a∈{a|0≤a≤4}.
答案:D
6.若关于x的不等式(x+1)(x-3)解析:由题意可知,0和n是关于x的方程(x+1)(x-3)=m的两个实数根,即方程x2-2x-3-m=0的两根,由根与系数的关系可得0+n=2,解得n=2.
答案:2
7.若关于x的不等式组有解,则实数a的取值范围是 .?
解析:不等式组可化为由题意可知a2+1<2a+4,即a2-2a-3<0,解得-1答案:{a|-18.若式子(k为常数)在实数集R上恒有意义,则k的取值范围是 .?
解析:式子在实数集R上恒有意义,即kx2-6kx+(k+8)≥0对一切x∈R恒成立.
当k=0时,显然8>0恒成立;
当k≠0时,k满足
即解得0所以k的取值范围是{k|0≤k≤1}.
答案:{k|0≤k≤1}
9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B.
(1)求A∪B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.
解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5故A∪B={x|-5(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5得解得
即2x2+x-15<0,
故不等式的解集为.
10.设函数y=x2-ax+b.
(1)若不等式y<0的解集是{x|20的解集;
(2)当b=3-a时,y≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为不等式x2-ax+b<0的解集是{x|20为6x2-5x+1>0.
解不等式6x2-5x+1>0得其解集为x或x>.
(2)根据题意,y=x2-ax+3-a≥0恒成立,
则Δ=a2-4(3-a)≤0,解得-6≤a≤2.
所以实数a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.
B组
1.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1A.
B.
C.{x|-2D.{x|x<-2,或x>1}
解析:由题意得解得故不等式为2x2+x-1<0,其解集为.
答案:A
2.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为( )
A.-3B.-3≤k<0
C.-3≤k≤0
D.-3解析:∵2kx2+kx-<0为一元二次不等式,
∴k≠0.
∵2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,
∴解得-3答案:D
3.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是1005x+1-元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元,则x的取值范围为( )
A.{x|x≥3}
B.
C.{x|3≤x≤10}
D.{x|1≤x≤3}
解析:根据题意,得200≥3
000,
整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元,x的取值范围是{x|3≤x≤10}.
答案:C
4.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是{x|-4≤x≤3}的子集,则a的取值范围是( )
A.{a|-4≤a≤1}
B.{a|-4≤a≤3}
C.{a|1≤a≤3}
D.{a|-1≤a≤3}
解析:原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1},此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a},此时只要a≤3即可,即1综上可得-4≤a≤3.
答案:B
5.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为{x|1解析:由题意可知1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根,且m>1,a>0,∴解得m=2,∴m的值为2.
答案:2
6.若x∈R,不等式ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析:不等式ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立,
?(a+2)x2+4x+3≥0恒成立
??a≥-,
故所求实数a的取值范围是.
答案:
7.已知ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<1},求不等式cx2-bx+a>0的解集.
解:∵不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<1},
∴a<0,x=3,x=1是方程ax2+bx+c=0的根,
即
∴b=-4a,c=3a.
∴cx2-bx+a>0变形为3ax2+4ax+a>0.
∵a<0,
∴3x2+4x+1<0,
∴-1∴不等式的解集是.
8.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门全年的收益y与实际电价x的函数解析式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价))
解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,
依题意知,用电量增至+a,电力部门的收益为y=(+a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意,有
整理得
解此不等式,得0.6≤x≤0.75.
即电价最低定为0.6元/千瓦时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%第1课时 等式、不等式与比较大小
课后训练巩固提升
1.下列说法正确的是( )
A.某人月收入x不高于5
000元可表示为“x<5
000”
B.小明的身高为x,小亮的身高为y,则小明比小亮矮表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
答案:C
2.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20
000元,设请木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是( )
A.5x+4y<200
B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200
D.5x+4y≤200
解析:由题意,x,y满足的不等关系为500x+400y≤20
000,即5x+4y≤200.
答案:D
3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a=±1
B.a=1
C.a=-1
D.a=0
答案:B
4.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>xy.其中恒成立的不等式的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,
∴a2+3>2a,即①正确;
∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴②错误;
∵x2+y2-xy=y2≥0,
∴③错误,选B.
答案:B
5.若a+b>a+b,则a,b必须满足的条件是( )
A.a>b>0
B.aC.a>b
D.a≥0,b≥0,且a≠b
解析:a+b-(a+b)=(a-b)()=()()2,又a+b>a+b,则a,b必须满足的条件是a≥0,b≥0,且a≠b.
答案:D
6.用“>”“<”或“=”填空:
(1)已知x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则x y;?
(2)已知a>b>0,则 ?.
解析:(1)∵x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=-7<0,
∴x(2)∵<0,
∴.
答案:(1)< (2)>
7.若x∈R,则的大小关系为 .?
解析:∵≤0,
∴.
答案:
8.一辆汽车原来每天行驶x
km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km,那么在8天内它的行程就超过2
200
km,写成不等式为 ;如果它每天行驶的路程比原来少12
km,那么它原来行驶8天的路程就要花9天多的时间,用不等式表示为 .?
解析:如果该汽车每天行驶的路程比原来多19
km,那么在8天内它的行程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天内它的行程就超过2
200
km”可以用不等式8(x+19)>2
200来表示;如果它每天行驶的路程比原来少12
km,那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为,因此,不等关系“它原来行驶8天的路程现在就要花9天多的时间”可以用不等式>9来表示.
答案:8(x+19)>2
200 >9
9.用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18
m,靠墙的一边长为x
m.
(1)若要求菜园的面积不小于110
m2,试用不等式组表示其中的不等关系;
(2)若矩形的长、宽都不能超过11
m,试求x满足的不等关系.
解:(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x
m,而墙长为18
m,所以0所以菜园的面积S=x·,依题意有S≥110,即x≥110,故该题中的不等关系可用不等式组表示为
(2)因为矩形的另一边长15-≤11,所以x≥8,又010.(1)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小;
(2)已知a∈R,且a≠1,比较a+2与的大小.
解:(1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b).
因为a>0,b>0,且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,
所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,
即a3+b3>a2b+ab2.
(2)(a+2)-.
因为a2+a+1=>0,所以当a>1时,>0,即a+2>;
当a<1时,<0,即a+2<.
故当a>1时,a+2>;
当a<1时,a+2<.
1第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
A组
1.已知集合M={x|x2-3x-4≥0},N={x|1A.{x|1B.{x|1C.{x|-1D.{x|-1≤x≤5}
2.如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为( )
A.{x|x>3,或x<-2}
B.{x|x>2,或x<-3}
C.{x|-2D.{x|-33.不等式≥1的解集是( )
A.
B.
C.
D.{x|x<2}
4.已知00的解集为( )
A.
B.{x|x>a}
C.
D.
5.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( )
A.{x|x<-n,或x>m}
B.{x|-nC.{x|x<-m,或x>n}
D.{x|-m6.不等式x(4-x)≤5的解集是 .?
7.式子有意义时,x的取值集合是 .?
8.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1,或x>4},则实数a= .?
9.解下列不等式.
(1)4x2+4x+1>0; (2)x2+25≤10x;
(3)2x2-4x+7≥0.
10.已知实数a满足不等式-30.
B组
1.设x满足不等式组则点P(x+2,x-2)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.下面四个不等式的解集为R的是( )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+5>0
C.x2+6x+10>0
D.2x2-3x+4<0
3.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( )
A.{x|x<5a,或x>-a}
B.{x|x>5a,或x<-a}
C.{x|-aD.{x|5a4.不等式>0的解集是( )
A.{x|-2B.{x|x>2}
C.{x|-22}
D.{x|x<-2,或x>1}
5.不等式组-16.关于x的不等式x(x-a2-1)≤0的解集是 .?
7.已知y=-3x2+a(6-a)x+3,解x=1时关于a的不等式y≥0.
8.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0(a<1).
2
参考答案
A组
1.已知集合M={x|x2-3x-4≥0},N={x|1A.{x|1B.{x|1C.{x|-1D.{x|-1≤x≤5}
解析:∵x2-3x-4≥0,∴(x+1)(x-4)≥0,
∴x≥4或x≤-1,∴M={x|x≥4,或x≤-1},
∴?RM={x|-1∴(?RM)∩N={x|1答案:A
2.如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为( )
A.{x|x>3,或x<-2}
B.{x|x>2,或x<-3}
C.{x|-2D.{x|-3解析:由已知得a(x+2)(x-3)>0,
∵a<0,
∴(x+2)(x-3)<0,
∴-2答案:C
3.不等式≥1的解集是( )
A.
B.
C.
D.{x|x<2}
解析:≥1?-1≥0?≥0?≤0?解得≤x<2.
答案:B
4.已知00的解集为( )
A.
B.{x|x>a}
C.
D.
解析:方程的两根为x1=a,x2=,∵0a.
相应的二次函数图象开口向上,故原不等式的解集为.
答案:A
5.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( )
A.{x|x<-n,或x>m}
B.{x|-nC.{x|x<-m,或x>n}
D.{x|-m解析:方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,
∵m+n>0,
∴m>-n,结合函数y=(m-x)(n+x)的图象,得原不等式的解集是{x|-n答案:B
6.不等式x(4-x)≤5的解集是 .?
解析:x(4-x)≤5?x2-4x+5≥0,因为Δ=(-4)2-4×5<0,所以方程x2-4x+5=0无实根,结合y=x2-4x+5的图象得原不等式的解集为实数集R.
答案:R
7.式子有意义时,x的取值集合是 .?
解析:要使式子有意义,则2-x-x2≥0.
即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.
故x的取值集合是{x|-2≤x≤1}.
答案:{x|-2≤x≤1}
8.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1,或x>4},则实数a= .?
解析:>0等价于(x-a)(x+1)>0,而解集为{x|x<-1,或x>4},从而a=4.
答案:4
9.解下列不等式.
(1)4x2+4x+1>0; (2)x2+25≤10x;
(3)2x2-4x+7≥0.
解:(1)因为4x2+4x+1=(2x+1)2>0,
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2-10x+25≤0,即(x-5)2≤0,故原不等式的解集为{x|x=5}.
(3)因为Δ=-40<0,所以方程2x2-4x+7=0无实根,而函数y=2x2-4x+7的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
10.已知实数a满足不等式-30.
解:方程(x-a)(x+1)=0的两根为-1,a.
①当a<-1,即-3-1};
②当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1};
③当a>-1,即-1a}.
B组
1.设x满足不等式组则点P(x+2,x-2)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:原不等式组可变形为
∴原不等式组的解集为{x|x<-6}.
∴x+2<0,且x-2<0,
∴点P(x+2,x-2)在第三象限.
答案:C
2.下面四个不等式的解集为R的是( )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+5>0
C.x2+6x+10>0
D.2x2-3x+4<0
解析:利用“Δ”判断,在不等式x2+6x+10>0中,Δ=62-40<0,故不等式x2+6x+10>0的解集为R,故选C.
答案:C
3.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是( )
A.{x|x<5a,或x>-a}
B.{x|x>5a,或x<-a}
C.{x|-aD.{x|5a解析:方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a.
∵2a+1<0,∴a<-.
∴-a>5a,结合y=x2-4ax-5a2的图象,得原不等式的解集是{x|x<5a,或x>-a}.故选A.
答案:A
4.不等式>0的解集是( )
A.{x|-2B.{x|x>2}
C.{x|-22}
D.{x|x<-2,或x>1}
解析:>0?(x-1)(x2-4)>0?(x-1)(x-2)(x+2)>0.
设y=(x-1)(x-2)(x+2),则y的三个零点是-2,1,2.
其示意图如图,
故原不等式的解集为{x|-22}.故选C.
答案:C
5.不等式组-1解析:原不等式组等价于
即
由①得x(x+2)>0,解得x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1.
故原不等式组的解集为{x|-3≤x<-2,或0答案:{x|-3≤x<-2,或06.关于x的不等式x(x-a2-1)≤0的解集是 .?
解析:方程x(x-a2-1)=0的两根为0,a2+1,且a2+1>0,故不等式x(x-a2-1)≤0的解集是{x|0≤x≤a2+1}.
答案:{x|0≤x≤a2+1}
7.已知y=-3x2+a(6-a)x+3,解x=1时关于a的不等式y≥0.
解:当x=1时,y=-3+a(6-a)+3=a(6-a).
∵y≥0,
∴a(6-a)≥0,a(a-6)≤0,方程a(a-6)=0有两个不等实根a1=0,a2=6,由y=a(a-6)的图象,得不等式y≥0的解集为{a|0≤a≤6}.
8.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0(a<1).
解:当a=0时,原不等式化为x-2<0,解集为{x|x<2}.
当a<0时,原不等式化为(x-2)<0,
这时两根的大小顺序为2>,所以解集为.
当00,这时两根的大小顺序为2<,
所以原不等式的解集为.
综上所述,当a=0时,解集为{x|x<2};
当a<0时,解集为;
当01.下列不等式的证明过程正确的是( )
A.若a,b∈R,则≥2=2
B.若x>0,则x-1+≥2=2
C.若x<0,则x+≤2=4
D.若a,b∈R,且ab<0,则=-≤-2=-2
2.已知a>0,b>0,则中最小的是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知m=a+(a>2),n=(2-x)(2+x)(-2A.m>n
B.m≥n
C.m=n
D.m≤n
4.已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy有( )
A.最大值25
B.最大值50
C.最小值25
D.最小值50
5.已知a>0,b>0,则+2的最小值是( )
A.2
B.2
C.4
D.5
6.若x>0,y>0,且xy=10,则的最小值为 .?
7.若x>0,y>0,且x+4y=20,则xy的最大值是 .?
8.已知a>3,则的最小值为 .?
9.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
10.已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥.
1
参考答案
1.下列不等式的证明过程正确的是( )
A.若a,b∈R,则≥2=2
B.若x>0,则x-1+≥2=2
C.若x<0,则x+≤2=4
D.若a,b∈R,且ab<0,则=-≤-2=-2
答案:D
2.已知a>0,b>0,则中最小的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:(方法一)特殊值法.
令a=4,b=2,则=3,.
故最小.
(方法二),由,可知最小.
答案:D
3.已知m=a+(a>2),n=(2-x)(2+x)(-2A.m>n
B.m≥n
C.m=n
D.m≤n
解析:∵m=(a-2)++2≥2+2=4,
n=(2-x)(2+x)≤=4,
∴m≥n.
答案:B
4.已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy有( )
A.最大值25
B.最大值50
C.最小值25
D.最小值50
解析:∵x>0,y>0,x+y=10,
∴x+y≥2,
∴xy≤=25,当且仅当x=y=5时取“=”,
∴xy有最大值25.
答案:A
5.已知a>0,b>0,则+2的最小值是( )
A.2
B.2
C.4
D.5
解析:+2+2≥2=4,
当且仅当时,取“=”,即a=b=1时,原式取得最小值4.
答案:C
6.若x>0,y>0,且xy=10,则的最小值为 .?
解析:∵x>0,y>0,且xy=10,
∴y=,
∴≥2,
当且仅当x=2,y=5时,取等号.
答案:2
7.若x>0,y>0,且x+4y=20,则xy的最大值是 .?
解析:∵20=x+4y≥2=4,
∴≤5?xy≤25.
等号成立的条件是x=4y=10,即x=10,y=.
∴xy的最大值是25.
答案:25
8.已知a>3,则的最小值为 .?
解析:∵a>3,∴a-3>0,
∴≥2=1,
当且仅当,即a=11时,取等号.
答案:1
9.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
证明:∵a,b,c都是正数,∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0,
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时等号成立.
10.已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥.
证明:a2+b2≥2ab,①
b2+c2≥2bc,②
c2+a2≥2ac,③
a2+b2+c2=a2+b2+c2,④
由①+②+③+④,得3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,
即a2+b2+c2≥.第2课时 基本不等式的实际应用
A组
1.当x<0时,y=+4x的最大值为( )
A.-4
B.-8
C.-8
D.-16
2.函数y=的最大值为( )
A.
B.
C.
D.1
3.当a>0时,关于代数式,下列说法正确的是( )
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最小值也有最大值
D.无最小值也无最大值
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N
),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
5.若对x>0,y>0,有(x+2y)≥m恒成立,则m的取值范围是( )
A.m≤8
B.m>8
C.m<0
D.m≤4
6.若函数y=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a= .?
7.已知a>0,b>0,=2,则a+2b的最小值为 .?
8.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上 和 .?
9.(1)求函数y=+4x的最小值;
(2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;
(3)已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值.
10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4
000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
B组
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.
B.≤1
C.≥2
D.a2+b2≥8
2.已知x,y>0,x+y=1,若4xyA.t>1
B.t<1
C.t<2
D.t>2
3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是
( )
A.
B.
C.5
D.6
4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )
A.1
B.3
C.6
D.12
5.函数y=(x>-1)的图象的最低点坐标是 .?
6.设a>1,b>0,若a+b=2,则的最小值为 .?
7.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.
8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?
2
参考答案
A组
1.当x<0时,y=+4x的最大值为( )
A.-4
B.-8
C.-8
D.-16
解析:∵x<0,∴-x>0,
∴y=-≤-2=-8.
答案:C
2.函数y=的最大值为( )
A.
B.
C.
D.1
解析:当x=0时,y=0;当x>0时,x+1≥2>0,则y≤,当且仅当x=1时,等号成立.
故函数y=的最大值为.
答案:B
3.当a>0时,关于代数式,下列说法正确的是( )
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最小值也有最大值
D.无最小值也无最大值
解析:∵a>0,
∴=1,当且仅当a=,即a=1时,取等号,故a>0,代数式有最大值1,没有最小值.
答案:A
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N
),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:由题意可知,=-+12≤-2+12,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.
答案:C
5.若对x>0,y>0,有(x+2y)≥m恒成立,则m的取值范围是( )
A.m≤8
B.m>8
C.m<0
D.m≤4
解析:∵(x+2y)=2++2≥4+2=8,∴m≤8.
答案:A
6.若函数y=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a= .?
解析:y=x+=x-2++2.
∵x>2,∴x-2>0.
∴y=x-2++2≥2+2=4,
当且仅当x-2=,即x=3时,“=”成立.
又y在x=a处取最小值,∴a=3.
答案:3
7.已知a>0,b>0,=2,则a+2b的最小值为 .?
解析:∵a>0,b>0,=2,
∴a+2b=(a+2b)5+≥(5+4)=,当且仅当,且=2,即a=b=时,取等号,∴a+2b的最小值为.
答案:
8.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上 和 .?
解析:设两数为x,y,即4x+9y=60,
=×(13+12)=,
当且仅当,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.
答案:6 4
9.(1)求函数y=+4x的最小值;
(2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;
(3)已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值.
解:(1)∵x>,4x-5>0,
∴y=+4x=+(4x-5)+5≥7,
当且仅当4x-5=,即x=时,取等号.
∴y的最小值为7.
(2)∵x>0,a>2x,
∴y=x(a-2x)=·2x·(a-2x)≤,
当且仅当x=时取等号,∴y的最大值为.
(3)方法一:∵=1,
∴x+y=(x+y)=10+.
∵x>0,y>0,∴≥2=6.
当且仅当,即y=3x时,取等号.
又=1,∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
方法二:由=1,得x=.
∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.
∵y>9,∴y-9>0,
∴y-9++10≥2+10=16,
当且仅当y-9=,即y=12时,取等号.
又=1,∴x=4.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4
000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4
000,得a=.
则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4
000+(8x+20)·+160
=80+4
160(x>1).
(2)80+4
160≥80×2+4
160
=1
600+4
160=5
760.
当且仅当2,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.
所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.
B组
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.
B.≤1
C.≥2
D.a2+b2≥8
解析:4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,故,选项A,C不成立;
≥1,选项B不成立;
a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.
答案:D
2.已知x,y>0,x+y=1,若4xyA.t>1
B.t<1
C.t<2
D.t>2
解析:由基本不等式,得4xy≤4·=1,当且仅当x=y=时,等号成立,所以4xy的最大值为1,则t>1.
因此实数t的取值范围是t>1.
答案:A
3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是
( )
A.
B.
C.5
D.6
解析:由x+3y=5xy可得=1,所以3x+4y=(3x+4y)+2=5,当且仅当x=1,y=时,取等号.
故3x+4y的最小值是5.
答案:C
4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )
A.1
B.3
C.6
D.12
解析:∵x2+2xy-3=0,∴y=,
∴2x+y=2x+≥2=3.
当且仅当,即x=1时,取等号.
答案:B
5.函数y=(x>-1)的图象的最低点坐标是 .?
解析:由题意得,y==(x+1)+≥2,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐标为(0,2).
答案:(0,2)
6.设a>1,b>0,若a+b=2,则的最小值为 .?
解析:由a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0,
则[(a-1)+b]=3+≥3+2=3+2,
当且仅当,且a+b=2,即a=3-,b=-1时取得最小值3+2.
答案:3+2
7.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.
解:∵x+y=(x+y)=a+b+≥a+b+2=()2,∴()2=18.
又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.
8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?
解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为×150%+×50%,
所以年销售收入为
·Q=(32Q+3)+x.
所以年利润
W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x=(32Q+3-x)=(x≥0).
(2)令x+1=t(t≥1),则W==50-.
因为t≥1,所以≥2=8,即W≤42,当且仅当,即t=8时,W有最大值42,此时x=7.
故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元