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平谷区2019—2020学年度第二学期质量监控试卷
高二数学
第Ⅰ卷选择题（共40分）
—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1.
在复平面内，复数对应的点的坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘法法则运算化简，再求出的坐标即可．
【详解】，
复数对应的点的坐标是．
故选：．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.
抛物线的焦点到准线的距离等于（
）
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的标准方程得，求出，即得结论．
【详解】抛物线中，即，
所以焦点到准线的距离是．故选B．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的准线方程是，焦点坐标是焦点到准线的距离为．本题属于基础题．
3.
已知等差数列中那么（
）
A.
17
B.
9
C.
10
D.
24
【答案】B
【解析】
【分析】
由得到等差数列的公差，把首项和公差代入即可得到答案.
【详解】设等差数列的公差为，
，
，
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，要熟练掌握.
4.
已知直线与圆相切，那么a的值为（
）
A.
3或－1
B.
C.
－3或－7
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可知，根据圆心到直线的距离等于半径，列出等式，即可求出结果.
【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为，
又直线与圆相切，
所以,
所以或.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题.
5.
已知函数f（x）的导函数图像如图所示，那么下列说法正确的是（
）
A.
函数f(x)在上单调递减
B.
函数f（x）有三个零点
C.
当x＝0时，函数f（x）取得最大值
D.
当x＝0时，函数f（x）取得极大值
【答案】D
【解析】
【分析】
由导函数的图象判断出导函数的符号；根据导函数的符号与函数的单调性的关系判断出函数的单调性，并得出极值与最值情况．
【详解】由函数的导函数的图象，
可知时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数，
时，，函数是增函数，可得A错；
则时，函数取得极大值，但不是最大值，D对C错；
时，函数取得极小值．
由导函数图象无法判断极大值与极小值的大小，故函数零点个数无法确定，B错．
故选：．
【点睛】本题考查函数的单调性、函数的极值、最值及零点的判断，考查数形结合以及计算能力．
6.
已知数列的前n项和为，则（
）
A.
48
B.
32
C.
24
D.
8
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据数列项和前项和与项之间的关系求解即可．
【详解】数列的前项和为，，
则，
故选：．
【点睛】本题主要考查数列的项和前项和与项之间的关系，属于基础题．
7.
设函数，则f(x)是（
）
A.
有一个零点的增函数
B.
有一个零点的减函数
C.
有二个零点的增函数
D.
没有零点的减函数
【答案】A
【解析】
【分析】
求导，由导数与单调性的关系判断增减性，利用零点存在定理判断零点所在区间，结合单调性即可判断零点个数．
【详解】，则，
所以函数是定义域为上的连续的增函数，
又，，
零点存在定理可得在上存在唯一零点．
故选：．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数零点的判定定理，属于基础题．
8.
某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A.
甲
B.
乙
C.
丙
D.
丁
【答案】D
【解析】
1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;
2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;
4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.
【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9.
已知复数，那么________
【答案】
【解析】
【分析】
先根据复数的除法运算对已知复数进行化简，然后结合模长公式即可求解．
【详解】因为，
所以．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及模长的求解，属于基础试题．
10.
已知直线与直线互相垂直，那么b＝________
【答案】2
【解析】
【分析】
利用直线与直线垂直的性质能求出．
【详解】直线与直线互相垂直，
，
解得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.
已知双曲线的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为________
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线的焦距为，由已知条件即可知的值，再根据即可求出的值，进而求出结果.
【详解】设双曲线的焦距为，
由题意可知，，
所以，所以双曲线渐近线方程为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，以及双曲线的几何性质，属于基础题.
12.
已知等差数列中，，等比数列中，
，那么数列的前4项和________
【答案】320
【解析】
【分析】
先求出等差数列的通项公式，即可求出，，即可得通项，再利用等比数列前项和公式求
【详解】设等差数列的公差为，则，解得
，
，
所以，，
所以数列的公比为
，
所以.
故答案为：320
【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.
13.
已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可．
【详解】如图，
由抛物线方程，得抛物线的焦点坐标，
即双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为．
不妨取，化为一般式：．
则，即，
又，联立解得：，．
则双曲线的离心率为：
故答案为：2．
【点睛】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率与渐近线，还考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
14.
日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．
【答案】40.15
【解析】
【分析】
净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，求出水净化到纯净度为时所需费用函数的导数，即可算出结果．
【详解】净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为．
所以，
又因为，
所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元，
故答案为：40.15．
【点睛】本题考查函数的导数的实际意义，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.
已知函数
（Ⅰ）求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，计算（1），（1）的值，利用点斜式求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的单调区间，求出函数的极值和端点处函数值，比较大小求出最值即可．
【详解】，的定义域是，
（Ⅰ），
故（1），（1），
故切线方程是：，
即；
（Ⅱ），
令，解得：或，
令，解得：，
故在，递增，在递减，在，递增，
而，，，（2），
故（2），．
【点睛】本题考查了求函数的切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，是一道常规题．
16.
设是等差数列的前n项和，，________．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和的最值．
从中任选一个，补充在上面的问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设条件求出首项与公差，即可求得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的判断出数列的项的符号，即可求得的最值．
【详解】选①：
（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，解之得：，，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
数列递增数列，
．
选②：
（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，
，，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
令，故．
选③：
（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，解得，
，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
令，
故．
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算及其前项和的最值的求法，属于中档题．
17.
已知椭圆的离心率为，过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆离心率和过点，再结合
，可求出，，的值，可得椭圆C的标准方程
（Ⅱ）分情况讨论直线斜率不存在与存在两种情况，当斜率存在时设:，、，联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系可得、，将
转化为，用坐标表示，将、代入，即可得的值，进而可得直线l方程.
【详解】（Ⅰ），且过点.
∴，
∴
∴椭圆的标准方程为：；
（Ⅱ）当斜率不存在时，设:，
得显然不满足条件.
当斜率存在时设:，、
联立整理得：，
∴，
因为，
所以
即：
整理得
化简：
∴直线方程为.
【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆相交求直线的方程，涉及向量垂直数量积为0，属于中档题.
18.
已知函数
（Ⅰ）若函数f(x)在x＝e处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若对所有，都有f（x），求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）
．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得（e），代入即可求解；
（Ⅱ）将问题转化为在上恒成立，令，利用导数求得的范围，即可求得的取值范围．
【详解】（Ⅰ）函数，则，
由函数在处取得极值，可得（e），
解得．经检验，符合题意.
（Ⅱ）若对所有，都有，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
在上，，函数单调递减，
所以（1），
所以．
故实数的取值范围是，．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，属于中档题．．
19.
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与
轴分别交于G、H两点，证明：为定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）运用椭圆的定义和满足椭圆方程，解方程可得，，即可得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）设，，，，，，求得直线的方程，可得的横坐标，同理可得的横坐标，结合点满足椭圆方程，化简整理可得定值．
【详解】（Ⅰ）由椭圆上一点满足，
可得，即，
且，所以，
故椭圆的方程为；
（Ⅱ）证明：因为，关于轴对称，所以可设，，，，则，，
可得直线的方程为，
令，可得的横坐标为，
同理可得的横坐标为，
所以，
因为，，
所以，，
可得为定值．
【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，以及定值问题，考查方程思想和化简运算能力，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①
从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
20.
定义首项为1，且公比为正数的等比数列为"M—数列”
（Ⅰ）已知数列是单调递增的等差数列，满足，求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知数列的前n项和为，若是和1的等差中项，证明：数列是"M－数列"；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若存在"M—数列”，对于任意正整数k，都有成立．求此时数列公比q的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知，运用等差数列的性质求得，，从而求出公差，进而可得通项公式；
（Ⅱ）由等差中项性质和数列的递推式，结合等比数列的定义和“数列”的定义，即可得证；
（Ⅲ）由“数列”的定义和等比数列的通项公式，以及构造函数，运用导数判断单调性，比较（2），（3），即可得到所求最小值．
【详解】（Ⅰ）数列是单调递增的等差数列，满足，
即为，又，解得，，
则公差为1，，；
（Ⅱ）证明：若是和1的等差中项，
则，当时，，即，
又时，，又，
两式相减可得，即，
可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，是“数列”；
（Ⅲ）因为是“数列”，
所以数列是首项为1，公比为
正数的等比数列，
设公比为，，则，因为对于任意的正整数，都有成立，
即都成立．两边取对数可得，
设，则，由可得，
当时，，递减；当时，，递增，
所以比较（2），（3）的大小．
而（2），（3），可得（2）（3）．
所以（3），即，因，所以，可得，
所以数列公比的最小值为.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及新定义数列的理解和运用，考查了转化思想的应用，还考查运算能力和推理能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题．____________________________________________________________________________________________
平谷区2019—2020学年度第二学期质量监控试卷
高二数学
第Ⅰ卷选择题（共40分）
—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1.
在复平面内，复数对应的点的坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
抛物线的焦点到准线的距离等于（
）
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
3.
已知等差数列中那么（
）
A.
17
B.
9
C.
10
D.
24
4.
已知直线与圆相切，那么a的值为（
）
A.
3或－1
B.
C.
－3或－7
D.
5.
已知函数f（x）的导函数图像如图所示，那么下列说法正确的是（
）
A.
函数f(x)在上单调递减
B.
函数f（x）有三个零点
C.
当x＝0时，函数f（x）取得最大值
D.
当x＝0时，函数f（x）取得极大值
6.
已知数列的前n项和为，则（
）
A
48
B.
32
C.
24
D.
8
7.
设函数，则f(x)（
）
A.
有一个零点的增函数
B.
有一个零点的减函数
C.
有二个零点的增函数
D.
没有零点的减函数
8.
某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A.
甲
B.
乙
C.
丙
D.
丁
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9.
已知复数，那么________
10.
已知直线与直线互相垂直，那么b＝________
11.
已知双曲线的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为________
12.
已知等差数列中，，等比数列中，
，那么数列的前4项和________
13.
已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________
14.
日常生活中饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.
已知函数
（Ⅰ）求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．
16.
设是等差数列的前n项和，，________．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和的最值．
从中任选一个，补充在上面的问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
17.
已知椭圆的离心率为，过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F2直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程.
18.
已知函数
（Ⅰ）若函数f(x)在x＝e处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若对所有，都有f（x），求实数a的取值范围．
19.
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与
轴分别交于G、H两点，证明：为定值．
20.
定义首项为1，且公比为正数等比数列为"M—数列”
（Ⅰ）已知数列是单调递增的等差数列，满足，求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知数列的前n项和为，若是和1的等差中项，证明：数列是"M－数列"；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若存在"M—数列”，对于任意正整数k，都有成立．求此时数列公比q的最小值．
