3.4 函数的图像专题复习学案

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函数的图像专题学案
一．学习目标
理解函数的图像的基本原理方法，对于函数图像的变换，如平移、对称、翻折等变化形式有清晰的认识；为高中数学数形结合思想打下坚实的基础。
二．基础知识
1.基本初等函数的图像
对于基本初等函数的图像，比如一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数的图像熟记于心。
2.利用五点法作图
利用五点法作图是在三角函数的图像中接触到的，是应用三角函数一个周期内的五个特殊点的位置
，设置平滑的曲线得到三角函数的图像。
3.函数图像（草图）的做法
在实际解题的过程中，需要我们对于函数的图像作出草图以帮助我们进行分析。函数草图的做法如下所述：
①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象。
4.图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。
在三角函数知识章节中作为重点。
①平移变换（左加右减，上加下减）
i
把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，
ii
把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，
iii
把函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像，
iv
把函数的图像向下平移个单位，得到函数的图像。
②伸缩变换
i
把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)
ii
把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)
iii
把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)
iv
把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)
③对称变换
i
；
ii
；
iii
；
iv
v
对于函数(),恒成立，则函数的对称轴是
④翻折变换：
i
把函数图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到轴上方，得到函数图像；
ii
保留轴右边图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数图像。
5.等价变换
例如：作出函数的图象，可对解析式等价变形；?，可看出函数的图象为半圆；
此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图。
6.函数对称的基本结论
(1)函数与的图象关于直线对称．
(2)函数与的图象关于点中心对称．
(3)若函数对定义域内任意自变量满足：，则函数的图象关于直线对称．
其中(1)(2)为两函数间的对称，(3)为函数自身的对称。
3.函数图像变换知识辨析
①函数图象的每次变换都针对自变量“”而言，如从的图象到的图象是向右平
移个单位，其中是把变成；
②明确一个函数的图象关于轴对称与两个函数的图象关于轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系；如函数的图象属于自身对称，而与的图象关于轴对称是两个函数；
③函数图象的变换问题，一定要熟练掌握图象的变换规律，特别是左、右平移变换；
④利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合，因此作出的函数图象一定要准确，体现出原函数的定义域、单调性、极值点、零点等主要性质；
三．典例分析与性质总结
题型
求解策略
研究函数性质
(1)根据已知或作出的函数图像，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．(2)从图像的对称性，分析函数的奇偶性．(3)从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．(4)从图像与轴的交点情况，分析函数的零点等．
研究方程根的个数或由方程根个数确定参数的值(范围)
构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解
研究不等式的解
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解
题型1：由图像研究函数的性质
例1：设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
画龙点睛：(1)对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系；
(2)当不等问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解。
题型2：由式定图，即由函数的解析式确定函数的图象
由函数的解析式确定函数的图像大致情况，所采取的主要方法思路是排除法；通过排除四个选项中不合理的三个，从而选择最适合的一个图像。
例2：函数的图像大致为
(　　)
有关函数图像识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断函数左右的位置，由函数的值域，判断函数图像的上下位置；（2）由函数的单调性，判断函数图像的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断函数图像的对称性；（4）由函数的周期性，判断函数图像的循环反复。
【方法归纳】
当函数的解析式已知的情况下，根据已知函数解析式分析其变化特征如单调性、奇偶性、定义域和值域等；结合简单的基本初等函数的图像特征如对称性、周期性等进行判断即可；得出结论。
画龙点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题。
题型3：由图定式，即由函数的图象去求函数的解析式
例3：已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是(　　)
A．
B．
C．
D．
【方法归纳】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及、、、时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除。
题型4：由图定图，即由函数的图象去分析函数的图像
例4：若函数（）的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（
）
点睛：
本题主要考查对数函数、指数函数、幂函数的图象的判断等基础知识,意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值，然后利用函数的单调性确定正确选项；二是利用特殊点法来判断图象。本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象；总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”，即可轻松破解。
题型5：由函数图象研究方程的根
例5：关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．
点睛：
本题主要考查了根的存在性与根的个数的判定问题，其中把方程恰有四个不相等的实数根转化为的图象与的图象有四个不同的交点，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了转化与化归的思想方法，以及数形结合思想的应用。
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象的交点的横坐标。
题型6：由图研究函数的零点
例6：若函数恰有三个不同的零点，则实数的值是(　　)．
点睛：
函数零点的几种等价形式：
函数有零点函数与轴有交点方程有根函数与的图像有交点。
对于函数的零点问题考查，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。
题型7：由图象求参数的取值范围
例7：已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的
取值范围是__________．
题型8：由图象求不等式的解
例8：设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为(　　)
例9：定义在R上的函数对任意1都有，且函数的图象关于原点对称，若，则不等式的解集是(　　)
A．
B．
C．
D．
点睛：解答本题时注意两点
（1）由题意构造函数并进一步得到函数的单调性为解不等式创造了条件；
（2）构造函数后利用函数的奇偶性进而可得到函数图象的大体形状，然后借助于图象的直观性可得不等式的解集，体现了数形结合在数学中的应用。
四．变式演练与提高
1.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．
B．
C．
D．
2.函数在区间内的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
3.如果函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是?(????)?
4.已知函数，.(1)当取何值时方程有一个解？
(2)若不等式在R上恒成立，求的取值范围．
5.函数的图象是两条直线的一部分，其定义域为，则不等式的解集是(　　)
五．反思总结
函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；
④从图象与轴的交点情况，分析函数的零点等。
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解。
六．课后作业
1.为了得到函数的图像，只需将函数的图像向______平移_____个单位。
2.当时，，则的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.设是的导函数，函数的图象如图，则的图象可能是?(????)?
4.若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（
）
A
B
C
D
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析：
因为恒成立，则的图像在的上方（可以有公共点）所以，即
例2：解析：
通过研究分析函数的奇偶性与单调性，确定函数的图像；
，，∴函数为奇函数，舍去A；
∴，舍去D；
∴，当时，；
即选项C错误，故而答案为B
例3：解析：
由函数图象可知，函数为奇函数，应排除B、C；若函数图象对应解析式为，则时，，排除D，故选A.
例4：解析：
由题意可知；，所以；故而函数是单调递减的，即A选项不正确；B正确；是单调递减的，所以选项C不正确；的图像与关于轴对称，所以选项D不正确。因此答案为B。
例5：解析：
如图，作出的图象，若要使与其有4个交点，则需满足，解得.
例6：解析：
函数恰有三个不同的零点，即有三个不同的解，也就是函数与函数的图象有三个不同的交点．画出函数的图象，观察可知，
直线过或直线与的图象相切时，符合题意，实数的值是或。
例7：解析：
由题意作出函数的图象，关于关于的方程方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同的公共点，由图象可知，当时，满足题意，故答案为。
例8：解析：
答案：或（数形结合，作出函数的草图）
例9：解析：
由，可得；
令
则由题意可知，为奇函数，且在和上是减函数；
又，
由得；
结合函数的图像，可得或；
故不等式的解集为
（四．变式演练与提高）
1.解析：
∵的图象与轴分别交于，且点的纵坐标与点的横坐标均为正，∴，，故，；
又函数图象间断点的横坐标为正，∴，故，故选C.
2.解析：
函数在定义域为关于原点对称，且，则为奇函数，
图像关于原点对称，排除D；
当时，，排除C；
又，可知或0，排除A；故选B。
3.解析：
通过分析原函数的单调性趋势，函数先增后减再增最后又是减区间；对应到导函数的图像，函数的增区间对应导函数应是大于0，函数的减区间对应导函数应是小于0；通过函数变化趋势判断，本题应选择A。
4.解析：
(1)令，，画出的图象如图所示．
由图象看出，当或时，函数与的图象只有一个交点，原方程有一个解．
(2)令(t＞0)，
因为在区间上是增函数，所以
因此要使在区间上恒成立，应有，即所求的取值范围是．
5.解析：
由图可知，为奇函数，∴
∴或
（六．课后作业）
1.解析：
因此只需将函数的图像向上平移3个单位即可得到函数的图像。
2.当时，，则的取值范围是(　　)
2.解析：
∵，∴，∴，∴。
令
当时，.(如图)；而令，∴.
根据的图像特征，，且时，，
∴要使当时，成立，需.故选B.
3.解析：
依题意，导函数在上值为正值，在上值为负数，在上值为正值；
因此，原函数在单调递增，在单调递减，在单调递增；故选C
4.解析：
【分析】方法一：因为，故的图象可以由按照如下变换得到：先将的图象关于轴翻折得的图象，再将的图象向右平移一个单位得的图象，故选A．
方法二：先将的图象向左平移一个单位得的图象，再将的图象关于轴翻折得的图象，故选A．
【易错点】对函数图象的变换认识不深刻而致误。
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精品试卷·第
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