人教版数学八年级上册 第十四章单元复习 整式的乘法与因式分解复习课及综合提高练习（word版，含答案）

第十四章
整式的乘法与因式分解综合提高复习
一、学习目标：
1.
复习总结本章所学知识，包括幂的运算、整式的乘除、乘法公式及因式分解。
2.
归纳数学思想和数学方法，主要有整体思想、逆向思维和数形结合思想。
二、重点、难点：
重点：知识和方法的总结。
难点：实事求是地分析问题，灵活使用公式。
【思维导图】
【典型例题】
知识点一：幂的运算性质
例1.
计算：
思路分析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除。
解答过程：
解题后的思考：，易错误地认为，得出错误结论为0。
小结：幂的运算是整式乘除的基础，应熟练、准确的掌握其运算法则。而准确掌握幂的运算法则的关键是要理解法则的来源。
知识点二：整式的运算
例2.
计算：，其中，。
思路分析：观察式子结构，确定运算顺序，应先去小括号，然后合并整理，最后计算除法。
解答过程：
当，时，
原式=
解题后的思考：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序，二要熟练、正确地运用运算法则。
例3.
已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式。
思路分析：由于这个多项式乘等于，那么这个多项式就等于，从而转化为多项式除以单项式的运算。
解答过程：
所以，这个多项式为。
解题后的思考：多项式与单项式的运算，有加、减、乘、除、乘方、开方时，应先进行乘方、开方运算。
小结：整式的乘除法是学习分式乘除、二次根式的基础，必须熟练掌握。
知识点三：乘法公式的运用
例4.
已知，，求的值。
思路分析：解决本题的关键是把用含有的式子表示出来，由，再把已知代入即可得出。
解答过程：因为，，
所以，
解题后的思考：平方差公式和完全平方公式的各种变形也是很常用的，同学们也应熟练掌握。
例5.
已知代数式，你能把它化为（其中为常数）的形式吗？进一步的，你能求出这个代数式的最小值吗？此时的值又是多少？
思路分析：可以把题中的加上9得，把题中的加上4得，当然，还得注意恒等变形。
解答过程：
因为，，
所以，这个代数式的最小值为7，此时，。
解题后的思考：将多项式经过配方、变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质解题是常见的方法。
小结：除了平方差公式和完全平方公式外，还有许多其他的乘法公式，比如立方和公式、立方差公式。这些公式的各种变形、逆向使用都很常见，同学们应尽量掌握。
知识点四：因式分解
例6.
因式分解：
（1）
（2）
（3）
思路分析：
（1）中把化为，或者将化为，从而便于提取公因式；
（2）中把看作一个整体，再分解因式；
（3）除将化为－的形式外，还要明确运用提公因式法分解因式时，要提取相同字母的最低次幂。
解答过程：（1）
（2）
（3）
解题后的思考：此题是提公因式法及公式法的综合应用，一般需先提取公因式，然后再运用公式，其中（1）提取公因式后应用平方差公式；（2）（3）提取公因式后应用完全平方公式。要注意指数的奇偶性。
例7.
已知分别为的三边，试证明。
思路分析：本题中，已知为的三边，可想到利用三角形的三边关系，因为不等式的左边符合平方差公式的特点，可想到因式分解。
解答过程：
因为，为的三边
所以，，，，
即。
解题后的思考：要判断一个多项式的符号，经常采用的办法就是将其因式分解，从而把多项式符号的判断“分而治之”，只要判断每个因式的符号即可。
小结：将多项式变形为因式分解的形式，在以后很多类型的题中都会遇到，比如多项式的符号判断、方程的根、分式的运算、无理式的化简等。
知识点五：数学思想方法
1.
整体思想
例8.
若是完全平方式，求的值。
思路分析：利用配方法及整体换元法分解因式，从而求出的值。
解答过程：
设，则原式变形为
要使为完全平方式，则。
解题后的思考：整体思想也是一种重要的数学思想方法，它要求我们在研究数学问题时，不要只着眼于它的局部特征，而要把注意力放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻地分析，从宏观整体的角度来认识问题，整体代入或整体求解，该思想方法的运用可以使某些复杂的问题简单化。
2.
逆向思维
例9.
计算：
（1）
（2）
（3）
思路分析：（1）题应巧妙地逆用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，在计算高指数幂中可起到简化作用；
（2）题应逆用完全平方公式，简化解题过程；
（3）题应逆用平方差公式进行计算。
解答过程：（1）
（2）
（3）
解题后的思考：逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维方式。数学定义、公式总是双向的，公式从等式左边到等式右边或从等式右边到等式左边，这样的转换正是由正向思维到逆向思维的体现。
在本章中逆向思维的方法应用较多，幂的运算法则、两个乘法公式等都可以逆用。运用该方法，可以使繁琐的问题简单化、直接化，大大地简化解题步骤，减少错误，达到简化计算的目的。
3.
数形结合思想
例10.
如图，在边长为的正方形中剪去边长为的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式：____________________。
思路分析：本题是一道数形结合题，通过图形的面积计算，验证乘法公式，从左图中的阴影部分可知其面积是大小两个正方形的面积差；从右图中，根据梯形的上下底及高也可算出面积。由于两个图形阴影部分的面积相等，可得出结论。
解答过程：在左图中，阴影部分的面积为大小正方形的面积差，即；
在右图中，根据梯形的面积公式，阴影部分面积为。
所以，验证了平方差公式。
解题后的思考：数形结合思想是一种重要的数学思想，同学们应在解题时不断体会。
小结：数学习题多种多样，但问题的分析方法、采用的数学方法及其蕴含的数学思想是比较稳定的。问题的分析方法主要有综合法、分析法、类比归纳法等，数学方法主要有待定系数法、换元法、消元法、配方法等，数学思想主要有数形结合、分类讨论、方程与函数、化归与转化等。我们在学习的过程中要注意归纳总结。
【方法技巧】
本章所学的幂的运算法则容易出错。了解知识的来龙去脉，然后在理解的基础上记忆这些法则，是解决问题的科学方法。其实，这也是学习其他知识的好方法。
本章学习的法则、乘法公式可以正用、逆用、变形用，总之我们要灵活运用知识。其实，我们学习其他公式、法则的时候也要研究其是否可以逆用、变形用。
【同步练习】（答题时间：45分钟）
一、选择题：
1.
下列计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
下列计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
化简的结果是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
下列因式分解中，结果正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
若，则为（
）
A.
5
B.
6
C.
奇数
D.
偶数
6.
下列四个等式：
①；
②；
③；
④，其中正确的有（
）
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
7.
若是一个完全平方式，则的值为（
）
A.
1或5
B.
1
C.
7或
D.
8.
若将分解成，则的值为（
）
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
二、填空题：
9.
___________。
10.
分解因式__________________。
11.
分解因式__________________。
12.
把多项式分解因式的结果是__________________。
13.
若，则_________。
14.
已知，，且，则的值等于__________________。
15.
观察下列算式：
；
；
；
……
则第个式子可表示为______________________。
三、解答题：
16.
计算：
17.
若一个三角形的三边满足，求出这个三角形的形状及三边长。
18.
解方程：
19.
把下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
20.
若，求证：。
21.
阅读材料并解答问题：
我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：，就可以用图（1）和图（2）的面积表示。
（1）
（2）
（3）
（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式；
（2）请画出一个几何图形，使它的面积能表示：。
【练习答案】
一、选择题：
1.
D
2.
C
3.
A
4.
A
5.
C
6.
A
7.
C
8.
B
二、填空题：
9.
10.
11.
12.
13.
8
14.
1
15.
三、解答题：
16.
解：
17.
解：因为，
所以，
即，
所以，，这个三角形是边长为1的等边三角形。
18.
解：原方程变形为
所以，，
19.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
20.
证明：因为，
所以，
令
①
则
②
把①②代入中得
=右边
所以，原式成立。
21.
（1）
（2）如图