苏科版七年级数学上册 第2章 有理数培优提高学案（Word版 无答案）

有理数培优提高
Eg1：【概念新定义】：
a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是＝，已知a1＝5，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2020等于（　　）
A．
B．
C．
D．5
【跟踪练习1】：定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此
=
．
A.
B.
C.4
D.
Eg2：【运算新定义】：
1.在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“?”如下：当a≥b时，a?b=b2；当a＜b时，a?b=a．则当x=2时，（1?x）?x﹣（3?x）的值为　_________　．（“?”和“﹣”仍为实数运算中的乘号和减号）
　
【跟踪练习1】：叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，请你计算=　_________　．
【跟踪练习2】：正整数1到n的连乘积，用n!表示，这是我们还没学过的新运算（高中称为阶乘），这种运算规定：1！=1，2！=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，…，n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×3×2×1．在这种规定下，请你计算=　_________　．
【跟踪练习3】：定义新运算“?”，a?b=a－4b，则12?（－1）=__________。
2．计算机中常用的十六进制是逢16进l的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示C+F=1B．19－F=A，18÷4=6，则A×B=
(
)
A．72．
B．6E
．
C．5F
．
D．B0．
【跟踪练习】：定义一种运算：k是正整数，且k≥2，[x]表示非负实数x的整数部分，例如[1.6]=1，[0.3]=0．若a1=1，则a2020=　_________　．
　
Eg3：【周期性规律问题】：
【例】：观察下列算式：
31=3
32=9
33=27
34=81
35=243
36=729
37=2187
……
根据上述算式中的规律，你认为32020的末位数字是
【跟踪练习1】：将正整数按如图所示的位詈顺序排列:根据排列规律,则2020应在(
)
A位置
B位置
C位置
D位置
【跟踪练习2】：如图，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字“2008”在（　　）
A．射线OA上
B．射线OB
上
C．射线OD上　　
D．射线OF
上
【跟踪练习3】：将正整数1，2，3，4……按以下方式排列
1
4
→
5
8
→
9
12
→
……
↓
↑
↓
↑
↓
↑
2
→
3
6
→
7
10
→
11
根据排例规律，从2019到2020的箭头依次为
A．↓
→
B．→
↓
C．↑
→
D．
→
↑
【跟踪练习4】：如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第20次“移位”后，则他所处顶点的编号为
．
【跟踪练习5】：．等边三角形纸板ABC
在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为1，则翻转2014次后，点C所对应的数是（　　）
A．2011
B．2012
C．2013
D．2014
【跟踪练习6】：如下图所示?,?在?1000?个“〇”中依次填入一列数字?,,,…,?使得其中任意四个相邻“〇”中所填数字之和都等于?10,已知=5,
则=__
_.
Eg4：【其他类规律问题】：
【例1】：一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分如图，
则这串珠子被盒子遮住的部分有
颗.
【跟踪练习】：填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　　）A.
38
B.
52
C.
66
D.
74
【例2】：.将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行
1
第2行
2
3
4
第3行
9
8
7
6
5
第4行
10
11
12
13
14
15
16
第5行
25
24
23
22
21
20
19
18
17
…则2020在第
行第
个（从左往右数）
【跟踪练习1】：正整数按如图的规律排列，请写出第20行，第20列的数字
【跟踪练习2】：．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第8个图中共有点的个数是………………………（
）
A．109
B．85
C．72
D．66
★【跟踪练习3】：
观察表l，寻找规律．表2是从表l中截取的一部分，其中，，的值分别为
。
表1
表2
1
2
3
4
……
2
4
6
8
……
3
6
9
12
……
4
8
12
16
……
……
……
……
……
……
16
20
b
c
30
【跟踪练习4】：在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，如图给出了部分速算过程．
（1）根据前3个“列竖式”的速算方法，可得a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　，d＝　
　，e＝　
　，f＝　
　；
（2）根据前3个“列竖式”的速算方法，在速算“31×”时，给出了部分过程如图所示．则这个两位数可能为　
　．
【例3】：德国数学家洛萨提出了一个猜想：如果n为奇数
,我们计算3n+1；如果n为偶数，我们除以2，不断重复这样的运算，经过有限步骤后一定可以得到1．例如，n=5时，经过上述运算，依次得到一列数5，16，8，4，2，1.(
注：计算到1结束)，若n=12，得到一列数的和为
；若小明同学对某个整数n，按照上述运算，得到一列数，已知第八个数为1，则整数n的所有可能取值中，最小的值为
．
【跟踪练习】：.有依次排列的3个数:6,2,8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串:6,-4,2,6,8，这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:6,-10,-4,6,2,4,6,2,8，继续依次操作下去，则从数串6,2,8开始操作第2
015次以后所产生的新数串的所有数之和是
.
【例4】：一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）x3=3，（2）x5=1，（3）x76＞x77，（4）x103＜x104，（5）x2018＞x2019其中，正确结论的个数是（　　）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【跟踪练习】：如图，在数轴上，A1、P两点表示的数分别为1、2，A1、A2关于O对称，A2、A3关于点P对称，A3、A4关于点O对称，A4、A5关于点P对称…依次规律，则点A15表示的数是　　　　　　．
　
Eg5：【流程图类找规律】：
在图示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x=　
　．
【跟踪练习1】：如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为3时，则输出的结果为
.
【跟踪练习2】：如图是一个“数字转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）
（1）当小明分别输入3，时，输出的结果分别是：
，
．
（2）当输入的数字为
时（写出两个即可），其输出结果是0
．
（3）你认为这个“数字转换器”不可能输出的数是：
．
★【跟踪练习3】：.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:
(1)若J1、J=2分别输入1，则输出结果为1;
(2)若J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2;
(3)若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍.
试问:(1)若J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少?
(2)若J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少?
(3)若J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少?17．计算：
Eg6：【实际问题】：
【例1】：一只蚂蚁从地面开始爬树，它每天不停地往上爬，不幸的是，它每天白天能往上爬3米，可是一到夜里就要滑下2米，但是蚂蚁还是坚持往上爬，这棵树高是20米，蚂蚁从清晨开始从地面往上爬，它需要几天才能爬到树的最高处？（　　）
A．
17天
B．
18天
C．
19天
D．
20天
【跟踪练习】：一只蚂蚁从地面开始爬树，它每天不停地往上爬，不幸的是，它每天白天能往上爬5米，可是一到夜里就要滑下3米，但是蚂蚁还是坚持往上爬，这棵树高是50米，蚂蚁从清晨开始从地面往上爬，它需要
天才能爬到树的最高处
　
【例2】：不法商贩使用“八两称”坑害消费者，用这种称称东西，小吴以2.0元/kg的价格从不法商贩处买了8kg香蕉，那么他被商贩坑了　_________　元钱．
【跟踪练习1】：“六?一”儿童节期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20，连环送”的活动，即顾客购物满100元，就可以获赠商场购物券20元，不足100元的部分不赠券，并且购物可以用现金，也可以用购物券．如果你有340元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计为　_________　元．
★【跟踪练习2】：老财主临终前将全部银元分给他的四个儿子．老大分得全部银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老二分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老三分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老四分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；余下的银元又分成4等份，四个儿子各得一份，多出的1枚银元给了丫环．问老财主至少要有多少块银元才够分．
　
【跟踪练习3】：．股民小杨上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）：
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
+220
+142
－080
－252
+130
（1）星期三收盘时，该股票涨或跌了多少元？
（2）本周内该股票的最高价是每股多少元？最底价是每股多少元？
（3）已知小杨了15‰的手续费，卖出时还需要付成交额的15‰的手续费和1‰的交易税如果小杨在星期五收盘前将全部股票卖出，则他的收益情况如何?
【跟踪练习4】：小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”。每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由.
Eg7：【类比推理类问题】：
【例】：为了求的值，可令，则
,因此，，所以.
即.
仿照以上的过程，计算:
=
.
【跟踪练习1】：阅读下面一段：计算1+5+52+53…+599+5100
观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
解：设S=1+5+52+53…+599+5100，①
则5S=5+52+…+5100+5101，②
由②﹣①得4S=5101﹣1，则S=．
上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．
下面请你观察算式1++++…+是否具备上述规律？若是，请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果．
【跟踪练习2】：观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：
（1）猜想并写出：=　_________　；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①=　_________　；
②=　_________　．
（3）探究并计算：．
Eg8：【阅读理解类问题】：
【例】：在解决数学问题的过程中，我们常用到
“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题.
【提出问题】三个有理数满足，求的值.
【解决问题】[来m]
解:由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①都是正数，即时，则;
②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则
.
综上所述，值为3或-1.
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:
(1)三个有理数满足，求的值;
(2)若为三个不为0的有理数，且，求的值.
【跟踪练习1】：我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点分别表示数，那么.利用此结论，回答下列问题:
数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是
，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是
;
(2)数轴上表示和-1的两点之间的距离是
，如果=2，那么的值为
;[来
(3)写出表示的几何意义:
,该式的最小值为
;
(4)求的最小值.
．
【跟踪练习2】：阅读：已知点
A、B
在数轴上分别表示有理数、，A、B
两点之间的距离
表示为|AB|=||．
理解：
（1）数轴上表示
2和3的两点之间的距离是；
（2）数轴上表示
x
和5的两点
A
和
B
之间的距离是；
（3）代数式|x3|+|x+5|最小值是．
应用：如图，一条公路经过某个科技园区，该园区内有三家公司A、B、C分别位于公路的两侧，现要在园区内建一个公交站点H，已知AB=2000m,BC=3000m,问公交站点H建在图中何处，才能使得站点H到四个公司路程之和最短？最短路程是多少？请你仿照上面列式计算。
k.Com]
Eg9：【其他类问题】：
【例】：如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动.贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负.如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，若没有左右移动则记为0；第二个数表示上下方向，若没有上下移动则记为0.那么图中（9分）
(1）A→D（
，
），C→B（
，
）,D→
（－3，＋2）；
(2）若贝贝的行走路线为A→B→D→C，请计算贝贝走过的路程；
(
3）若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋2，－1），（－1，＋3），
（－2，－1），请在上图中标出妮妮的位置E点.
(4)在(3)中贝贝若每走1m需消耗2.5焦耳的能量,
则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗多少焦耳的能量?
【跟踪练习1】：为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为　_________　．
　
【跟踪练习2】：已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，
求的值。
【跟踪练习3】：若|x|=2，y2=9，且x＞0，y＜0，则x+y=　_________　．