北师大版 数学九年级上册：2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
北师大版数学九年级上册
第二章
一元二次方程
2.5
一元二次方程的根与系数的关系
1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．
2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数．
3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值．
学习目标
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是
2．一元二次方程3x2－6x＝0的两个根是
x1＝___，x2＝____．
3．一元二次方程x2－6x＋9＝0的两个根是
__________．
0
2
x1＝x2＝3
回顾旧知
知识模块一　探索一元二次方程的根与系数的关系
(一)自主探究
1．一元二次方程x2－2x＋1＝0的两个根是x1＝____
，
x2＝____
，x1＋x2＝____
，x1·x2＝____
．
2．一元二次方程x2－2
x－1＝0
的两个根为
x1＝_______
，x2＝
_______
，
x1＋x2＝
_______
，
x1·x2＝____．
－1
1
1
1
2
探究新知
3．一元二次方程2x2－3x＋1＝0的两个根为
x1＝_____，
x2＝_____；
x1＋x2＝
_____；
x1·x2＝
_____.
1
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中
x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
x2－2x－5＝0
2x2－3x＋1＝0
6x2＋x－2＝0
1
1
2
－4
－3
－4
－5
2.归纳总结：一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知
能得出以下结果：
证一证：
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2
+
7x
+
6
=
0;
解：这里
a
=
1
,
b
=
7
,
c
=
6.
Δ
=
b2
-
4ac
=
72
–
4
×
1
×
6
=
25
>
0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么
x1
+
x2
=
-7
,
x1
x2
=
6.
知识模块二　一元二次方程根与系数关系定理的应用
(一)自主探究
例
（2）2x2
-
3x
-
2
=
0.
解：这里
a
=
2
,
b
=
-3
,
c
=
-2.
Δ=
b2
-
4ac
=
（-
3）2
–
4
×
2
×
(-2)
=
25
>
0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么
x1
+
x2
=
,
x1
x2
=
-1
.
(二)合作探究
1.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根是x1，由根与系数的关系，得：
2x1＝
∴x1＝
又∵x1＋2＝
∴k＝－7.
∴方程的另一个根是
x1＝
k＝－7.
例
2．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的
解：根据根与系数的关系可知：
(1)平方和；(2)倒数和．
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和x2，则(x1＋x2)－x1·
x2
＝(　　)
A．－10　　　B．10　　　C．2　　　D．－2
2．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为________．
C
2015
1．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8
2．若α，β是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则
α2＋β2的值为(　　)
A．10
B．9
C．7
D．5
C
A
课堂练习
3．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为____．
4．(易错题)已知x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k＝____．
24
1
5.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（-2）2-4（m-1）≥0，
整理得：4-4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2=2，x1?x2=m-1，x12+x22=6x1x2，
∴（x1+x2）2-2x1?x2=6x1?x2，
即4=8（m-1），
解得：m
=
．
∵m
=
＜2，
∴符合条件的m的值为
．
6.已知在关于x的分式方程
=2①和一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k）+x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
根与系数的关系
（韦达定理）
内
容
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么
应
用
总结新知
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用x1+x2=－
时，
注意“－
”不要漏写。
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1
,
x2
,
那么,
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
再
见