北师大版 数学九年级上册1.2 矩形的性质与判定（第2课时 矩形的判定）课件（共26张）

(共26张PPT)
北师大版数学九年级上册
第一章
特殊的平行四边形
1.2
矩形的性质与判定
第2课时　矩形的判定
1．会证明矩形的判定定理．
2．能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明．
3．能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
学习目标
1．矩形的四个角都是______，矩形的对角线______
．
2．菱形的判定方法有哪些？
定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
判定定理：
(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(2)四边相等的四边形是菱形．
直角
相等
回顾旧知
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
∟
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
知识模块一　探索矩形的判定方法
(一)自主探究
1．运用矩形的定义进行矩形的判定，应具备几个条件？
答：2个条件：
(1)该四边形是平行四边形；
(2)该平行四边形有一个角是直角．
探究新知
(二)合作探究
1．动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点．
思考：
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
归纳结论：对角线相等的平行四边形是矩形．
答：随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长．
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
D
B
C
A
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明:
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴
△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
又∵AB∥CD.
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
∠A=∠B=∠C=90°.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:
∵
∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=1800,∠B+∠C=1800.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
知识模块二　矩形判定定理的应用
(一)自主探究
1．对角线_______的平行四边形是矩形；有三个角是直角的________是矩形．
2．下列说法错误的是(　
　)
A．有一组对角互补的平行四边形一定是矩形
B．两条对角线相等的平行四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形一定是矩形
D．有三个角是直角的四边形一定是矩形
相等
四边形
C
(二)合作探究
已知：如图，?ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，
∴∠AFB＝90°，∴∠EFG＝∠AFB＝90°.
同理可证∠AED＝∠BGC＝∠EFG＝90°.
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
∴∠EAB＋∠ABG＝
×180°＝90°.
例
如图，在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求?ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD.
∵AO＝BO，
∴?ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
在Rt△ABC中，AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm，
∴S?ABCD＝AB·BC＝4×4＝16(cm2)．
∴BC＝
练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD　　　B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
巩固练习
A．一组对边平行且相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
2．下列说法正确的是(　
)
3．在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则它的面积是____．
D　
48
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
证明：
∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝
∠BAC，∠CAN＝
∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝
(∠BAC＋∠CAM)＝
×180°＝90°
在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
1．判定一个四边形是矩形的方法与思路是：
2.用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：
(1)有一个角是直角；(2)是平行四边形．
3．用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足
两个条件：
(1)对角线相等；
(2)是平行四边形．
总结新知
1.下列命题是真命题的是（
）
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是矩形
课堂练习
C
2.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2,
则其周长为（
）.
A.15cm
B.30cm
C.45cm
D.90cm
B
4.若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm，则该矩形的对角线长为
cm。
3.四边形ABCD中，∠A=∠B
=∠C=∠D,
则四边形ABCD是
；
矩形
5.如图，
ABCD中，∠DAC
=∠ADB,
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=
AC，OD=
BD，
∵∠DAC=∠ADB，
∴OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
6.如图，P是
ABCD的边的中点，且PB
=
PC.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠D+∠A=180°，
∵P是DA边的中点，
∴AP=PD，
在△ABP和△DCP中
AP=DP
∵
AB=PC
，
BP=PC
∴△ABP≌△DCP（SSS），
∴∠D=∠A，
∵∠D+∠A=180°，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
｛
7.如图，
ABCD的四个内角的平分线相交于点E、F、G、H.
求证：EG
=
FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC，
∴∠DAE=∠BAE=
∠DAB，∠CBG=∠ABG=
∠ABC，
∴∠BAE+∠ABG=
（∠DAB
+∠ABC
）=90°，∴∠AHB=90°，
同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°，
∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
再
见