人教版数学八年级上册 14.3 因式分解及同步练习备课教案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 14.3 因式分解及同步练习备课教案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 602.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-29 10:56:21 | ||
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文档简介
第十四章14.3节因式分解
一、学习目标：
1.
了解因式分解的含义及与整式乘法的区别与联系。
2.
理解提公因式法和公式法，能准确熟练地把某些多项式用提公因式法或公式法进行分解。
二、重点、难点：
重点：运用提公因式法和公式法分解因式。
难点：灵活运用因式分解解决实际问题。
【思维导图】
【例题】
知识点一：因式分解的概念
例1.
判断下列变形是不是多项式分解因式，并说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
思路分析：本题主要考查认识分解因式的意义。分解因式是把一个多项式化成几个整式的积的一种形式。这里要注意：一是要化成乘积的形式；二是所得因式应是整式。当然变形的过程应该是恒等变形。
解答过程：（1）不是。与之间不是乘积，而是和的形式。
（2）不是。原式做的是乘法运算，而不是分解因式。
（3）是。相同因式要写成幂的形式。
（4）不是。左边不是整式。
（5）不是。这种变形在时是恒等的，但右边的不是整式。如没有特殊要求，一般不这样分解。
解题后的思考：对因式分解的理解，一般从分解的“对象”和分解的“结果”两方面去理解：因式分解只针对多项式，而因式分解的结果只能是整式的积的形式。
小结：对因式分解的理解：
（1）分解因式的对象是多项式；
（2）分解因式的结果是化成整式的积的形式；
（3）分解因式的结果要彻底，要在要求的范围内分解到不能再分解为止；
（4）因式分解与整式的乘法是互逆变形。
知识点二：运用提公因式法分解因式
例2.
指出下列多项式中各项的公因式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
思路分析：找公因式时，先考虑系数的最大公因数，再考虑各项都含有的字母的最低次幂。
解答过程：（1）3与6的最大公因数是3，各项相同字母是与，而与的最低指数分别为2与4，所以公因式为。
（2）8、12与24的最大公因数是4，各项相同字母是与，而与的最低指数分别为1与2，所以公因式为。
（3）15与10的最大公因数是5，各项没有相同字母，只有相同的多项式，而的最低指数为3，所以公因式为。
（4）21与14的最大公因数为7，各项的相同字母为，因为，所以各项的相同的多项式为，而与的最低指数分别为1与2，所以公因式为。
解题后的思考：确定多项式中各项的公因式，可概括为三步：（1）定系数，即确定各项系数的最大公因数；（2）定字母（或多项式），即确定各项的相同字母（或相同多项式）；（3）定指数，即各项相同字母（或相同多项式）的指数的最低次幂。
例3.
把下列各式分解因式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
思路分析：（1）公因式为；
（2）公因式的系数是6、12、27，它们的最大公因数是3，字母及指数为，即公因式为；
（3）第一项有“”号，一般先提出“”号后再分解因式；
（4）因为，故公因式为。
解答过程：（1）；
（2）
；
（3）
（4）
解题后的思考：提公因式时要干净彻底，即一个多项式提出公因式后，剩下的因式中应该不能再含有公因式了，否则所找公因式就不正确。
一般地，提公因式后，括号里的多项式的项数应该与原多项式的项数相等，这样可以检查提公因式时，是否出现漏项。
小结：提公因式法分解因式的步骤：
（1）找出各多项式的公因式，这是提公因式法分解因式的关键；
（2）把多项式的每一项都写成公因式与另一个式子的积的形式；
（3）把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和差形式。
知识点三：运用平方差公式分解因式
例4.
把下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）
思路分析：（1）把原式变形为，可直接用平方差公式分解因式；
（2）因为，，所以原式可化为，再分解因式；
（3）先调换多项式中两项的顺序，再用平方差公式分解因式。
解答过程：
（1）
（2）
（3）
解题后的思考：不符合平方差公式形式的多项式不能用该公式分解，如（3）题中的易错误地分解为；分解要彻底，直到各因式都不能再分解为止，如（3）题，若只分解到是错误的。
例5.
分解因式。
（1）；
（2）。
思路分析：
（1）当平方差公式中的代表一个多项式时，可以把这个多项式看成一个整体，分解后，要注意合并同类项；
（2）将和分别看成一个整体，就能用平方差公式分解因式，不过要注意合并和分解要彻底。
解答过程：
（1）
；
（2）
。
解题后的思考：平方差公式中的不仅能代表单独的数或字母，还可以代表多项式。
小结：运用平方差公式分解因式时应注意以下几个问题：
（1）先把二项式写成的形式，再套用平方差公式；
（2）运用平方差公式的条件：左边的多项式只有两项，并且都可以写成平方的形式（包括系数）；左边两项符号相反；右边恰是这两个数的和与这两个数的差的积。
知识点四：运用完全平方公式分解因式
例6.
把下列各式分解因式
（1）；
（2）；
（3）。
思路分析：（1）把原式化成的形式，适合完全平方公式的形式，相当于公式中的，相当于公式中的，可直接用公式分解；
（2）有公因式，因此要先提取公因式，再把另一个因式用完全平方公式分解；
（3）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解。
解答过程：
（1）
；
（2）
；
（3）
。
解题后的思考：因式分解时，要注意二次或二次以上的多项式能否再分解，如（2）中的要分解成，然后再分解为，否则就是分解不彻底。
小结：应用完全平方公式分解因式时应注意以下几个问题：
（1）要符合完全平方公式的特征：左边是三项式，首末两项是两数的平方和的形式，中间的一项是两个数的积的2倍；右边是这两个数的和或差的平方；
（2）用完全平方公式分解三项式时，一般先按公式的形式改写成三项式，确定相当于公式中的，再写出分解后的式子，是两数和还是差的形式，关键看改写后的三项式中前的符号。
知识点五：运用因式分解解题
例7.
解方程：
思路分析：本题如果直接去做，将会很麻烦，并且容易出现错误，通过观察方程的结构特征，我们可以用提公因式法进行简便计算。
解答过程：
所以，，，
解题后的思考：解方程运用整式运算法则进行解答，既麻烦又易出错，为了避免这些问题，我们根据题目的特点，应用因式分解改变了运算顺序，从而达到了简化运算的目的。
【方法技巧】
1.
学习本讲知识，要对比整式乘法运算进行，掌握二者之间的区别与联系，才能更好地掌握因式分解的实质。要运用比较、类比的学习方法记忆、理解因式分解，还要多加练习以达到巩固、熟练知识的目的。
2.
对多项式进行因式分解时，有公因式的应先提取公因式，之后再用公式法进行分解，而且要分解到不能再分解为止。
【同步练习】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1.
把多项式分解因式，所得结果是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
下列因式分解错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
下列变形是因式分解的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
分解因式时，应提取的公因式是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
若多项式能在整数范围内分解因式，则可取的整数值有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
二、填空题
6.
分解因式：_______________。
7.
分解因式：_______________，
8.
因式分解：_______________，
9.
分解因式：_______________，
10.
若能被60与70之间的两个整数整除，则这两个数是____________。
11.
读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题。
（1）上述分解因式的方法是______________，共应用了_______次；
（2）若分解，则需应用上述方法_______次，结果是____________；
（3）分解因式：（为正整数）=_____________。
三、解答题
12.
计算
（1）。
13.
把下列多项式分解因式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
一、选择题
1.
C
2.
D
3.
D
4.
D
5.
D
提示：设，其中为整数将右边展开，并比较系数，得
因为，
所以，可取、、共6个值。
二、填空题
6.
7.
8.
9.
10.
63和65
提示：
11.
（1）提公因式法，2；（2）2004，；（3）
三、解答题
12.
解：
13.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
一、学习目标：
1.
了解因式分解的含义及与整式乘法的区别与联系。
2.
理解提公因式法和公式法，能准确熟练地把某些多项式用提公因式法或公式法进行分解。
二、重点、难点：
重点：运用提公因式法和公式法分解因式。
难点：灵活运用因式分解解决实际问题。
【思维导图】
【例题】
知识点一：因式分解的概念
例1.
判断下列变形是不是多项式分解因式，并说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
思路分析：本题主要考查认识分解因式的意义。分解因式是把一个多项式化成几个整式的积的一种形式。这里要注意：一是要化成乘积的形式；二是所得因式应是整式。当然变形的过程应该是恒等变形。
解答过程：（1）不是。与之间不是乘积，而是和的形式。
（2）不是。原式做的是乘法运算，而不是分解因式。
（3）是。相同因式要写成幂的形式。
（4）不是。左边不是整式。
（5）不是。这种变形在时是恒等的，但右边的不是整式。如没有特殊要求，一般不这样分解。
解题后的思考：对因式分解的理解，一般从分解的“对象”和分解的“结果”两方面去理解：因式分解只针对多项式，而因式分解的结果只能是整式的积的形式。
小结：对因式分解的理解：
（1）分解因式的对象是多项式；
（2）分解因式的结果是化成整式的积的形式；
（3）分解因式的结果要彻底，要在要求的范围内分解到不能再分解为止；
（4）因式分解与整式的乘法是互逆变形。
知识点二：运用提公因式法分解因式
例2.
指出下列多项式中各项的公因式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
思路分析：找公因式时，先考虑系数的最大公因数，再考虑各项都含有的字母的最低次幂。
解答过程：（1）3与6的最大公因数是3，各项相同字母是与，而与的最低指数分别为2与4，所以公因式为。
（2）8、12与24的最大公因数是4，各项相同字母是与，而与的最低指数分别为1与2，所以公因式为。
（3）15与10的最大公因数是5，各项没有相同字母，只有相同的多项式，而的最低指数为3，所以公因式为。
（4）21与14的最大公因数为7，各项的相同字母为，因为，所以各项的相同的多项式为，而与的最低指数分别为1与2，所以公因式为。
解题后的思考：确定多项式中各项的公因式，可概括为三步：（1）定系数，即确定各项系数的最大公因数；（2）定字母（或多项式），即确定各项的相同字母（或相同多项式）；（3）定指数，即各项相同字母（或相同多项式）的指数的最低次幂。
例3.
把下列各式分解因式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
思路分析：（1）公因式为；
（2）公因式的系数是6、12、27，它们的最大公因数是3，字母及指数为，即公因式为；
（3）第一项有“”号，一般先提出“”号后再分解因式；
（4）因为，故公因式为。
解答过程：（1）；
（2）
；
（3）
（4）
解题后的思考：提公因式时要干净彻底，即一个多项式提出公因式后，剩下的因式中应该不能再含有公因式了，否则所找公因式就不正确。
一般地，提公因式后，括号里的多项式的项数应该与原多项式的项数相等，这样可以检查提公因式时，是否出现漏项。
小结：提公因式法分解因式的步骤：
（1）找出各多项式的公因式，这是提公因式法分解因式的关键；
（2）把多项式的每一项都写成公因式与另一个式子的积的形式；
（3）把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和差形式。
知识点三：运用平方差公式分解因式
例4.
把下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）
思路分析：（1）把原式变形为，可直接用平方差公式分解因式；
（2）因为，，所以原式可化为，再分解因式；
（3）先调换多项式中两项的顺序，再用平方差公式分解因式。
解答过程：
（1）
（2）
（3）
解题后的思考：不符合平方差公式形式的多项式不能用该公式分解，如（3）题中的易错误地分解为；分解要彻底，直到各因式都不能再分解为止，如（3）题，若只分解到是错误的。
例5.
分解因式。
（1）；
（2）。
思路分析：
（1）当平方差公式中的代表一个多项式时，可以把这个多项式看成一个整体，分解后，要注意合并同类项；
（2）将和分别看成一个整体，就能用平方差公式分解因式，不过要注意合并和分解要彻底。
解答过程：
（1）
；
（2）
。
解题后的思考：平方差公式中的不仅能代表单独的数或字母，还可以代表多项式。
小结：运用平方差公式分解因式时应注意以下几个问题：
（1）先把二项式写成的形式，再套用平方差公式；
（2）运用平方差公式的条件：左边的多项式只有两项，并且都可以写成平方的形式（包括系数）；左边两项符号相反；右边恰是这两个数的和与这两个数的差的积。
知识点四：运用完全平方公式分解因式
例6.
把下列各式分解因式
（1）；
（2）；
（3）。
思路分析：（1）把原式化成的形式，适合完全平方公式的形式，相当于公式中的，相当于公式中的，可直接用公式分解；
（2）有公因式，因此要先提取公因式，再把另一个因式用完全平方公式分解；
（3）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解。
解答过程：
（1）
；
（2）
；
（3）
。
解题后的思考：因式分解时，要注意二次或二次以上的多项式能否再分解，如（2）中的要分解成，然后再分解为，否则就是分解不彻底。
小结：应用完全平方公式分解因式时应注意以下几个问题：
（1）要符合完全平方公式的特征：左边是三项式，首末两项是两数的平方和的形式，中间的一项是两个数的积的2倍；右边是这两个数的和或差的平方；
（2）用完全平方公式分解三项式时，一般先按公式的形式改写成三项式，确定相当于公式中的，再写出分解后的式子，是两数和还是差的形式，关键看改写后的三项式中前的符号。
知识点五：运用因式分解解题
例7.
解方程：
思路分析：本题如果直接去做，将会很麻烦，并且容易出现错误，通过观察方程的结构特征，我们可以用提公因式法进行简便计算。
解答过程：
所以，，，
解题后的思考：解方程运用整式运算法则进行解答，既麻烦又易出错，为了避免这些问题，我们根据题目的特点，应用因式分解改变了运算顺序，从而达到了简化运算的目的。
【方法技巧】
1.
学习本讲知识，要对比整式乘法运算进行，掌握二者之间的区别与联系，才能更好地掌握因式分解的实质。要运用比较、类比的学习方法记忆、理解因式分解，还要多加练习以达到巩固、熟练知识的目的。
2.
对多项式进行因式分解时，有公因式的应先提取公因式，之后再用公式法进行分解，而且要分解到不能再分解为止。
【同步练习】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1.
把多项式分解因式，所得结果是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
下列因式分解错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
下列变形是因式分解的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
分解因式时，应提取的公因式是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
若多项式能在整数范围内分解因式，则可取的整数值有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
二、填空题
6.
分解因式：_______________。
7.
分解因式：_______________，
8.
因式分解：_______________，
9.
分解因式：_______________，
10.
若能被60与70之间的两个整数整除，则这两个数是____________。
11.
读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题。
（1）上述分解因式的方法是______________，共应用了_______次；
（2）若分解，则需应用上述方法_______次，结果是____________；
（3）分解因式：（为正整数）=_____________。
三、解答题
12.
计算
（1）。
13.
把下列多项式分解因式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
一、选择题
1.
C
2.
D
3.
D
4.
D
5.
D
提示：设，其中为整数将右边展开，并比较系数，得
因为，
所以，可取、、共6个值。
二、填空题
6.
7.
8.
9.
10.
63和65
提示：
11.
（1）提公因式法，2；（2）2004，；（3）
三、解答题
12.
解：
13.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）