人教版数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定 课时3课件（28张)

人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
27.2.1 相似三角形的判定
相 似
知识回顾
三边成比例的两个三角形相似．
三边成比例的两三角形相似
定理
步骤
排序
计算
判断
学习目标
1.探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理.
2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.
课堂导入
A
B
C
D
E
证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
SSS，SAS，AAS，ASA，HL
课堂导入
类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
A
B
C
D
E
新知探究
知识点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？
等于！
画一画 利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，

新知探究
再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？
另外两个角对应相等！
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，

新知探究
△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
两个三角形相似！
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，

新知探究
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论呢？
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，

是！
新知探究
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
新知探究
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
∵ A′D=AB，
∴
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
新知探究
利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ 且∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
新知探究
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC，∠C= ∠C′，这两个三角形一定相似吗？
A
B
C
A′
B′
B″
C′
不一定！
应用该定理判定两个三角形相似时，相等的角必须是成比例的两边的夹角.
新知探究
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
（1） AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，
A′B′=12 cm ，B′C′=18 cm ，A′C′=24 cm．
∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
解：∵
新知探究
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
（2）∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A= ∠A′ ， ∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
跟踪训练
1.如图，已知∠A=∠D，要使△ABC ∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 .
(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
解析：已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可以添加 ????????????????=????????????????.
?
????????????????=????????????????
?
还可以添加什么条件？
2.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边AB、AC 上，若AD·AB=AC·AE，试判断△ADE与△ACB是否相似？并说明理由.
解： △ADE∽△ACB. 理由如下：
∵ AD·AB=AC·AE，∴????????????????=????????????????.
又∠A= ∠A，
∴△ADE ∽△ACB.
?
跟踪训练
随堂练习
1.如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC， ∴△ABC ∽△ADE.
A
B
C
D
E
随堂练习
2.如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
A
B
C
D
随堂练习
3.如图，在△ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似?
随堂练习
解：设经过 t s 后，△PBQ 与△ABC 相似，那么 AP=2t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t) cm.因为∠PBQ =∠ABC，所以有两种情况：
(1)当 ????????????????=???????????????? 时，△PBQ∽△ABC，
此时 10?2????10=4????20 ，
解得 t =2.5.
所以经过 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
?
随堂练习
(2)当 ????????????????=???????????????? 时，△PBQ∽△CBA，此时 4????10=10?2????20 ，
解得 t=1，
所以经过 1 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ与△ABC 相似.
?
随堂练习
对应关系不明确，勿忘分类讨论
本题是探究△PBQ 与△ABC 的相似.由于没有明确两个三角形的对应元素，所以要分情况讨论.由于∠B 是公共角，所以点B 和点 B 是对应点，要分两种情况讨论.
课堂小结
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边和夹角判定两个三角形相似
定理
注意
相等的角必须是成比例的两边的夹角
对应关系不明确，勿忘分类讨论
对接中考
1.(2017·潍坊中考)如图，在△ABC 中，AB≠AC．D、E 分别为边 AB、AC 上的点．AC=3AD，AB=3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)
解：∵∠A=∠A，????????????????=????????????????=13，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ∠AED=∠B， ∵∠A= ∠BFD
∴△FDB∽△ADE
?
A
B
C
D
E
F
∠A= ∠BFD
对接中考
2.(2017·铜仁中考)如图，已知∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴????????????????=20.417=1.2，????????????????=4840=1.2，
∴????????????????=????????????????，
∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．
?
A
B
D
E
C
对接中考
3.(2017·随州中考)在△ABC 中，AB=6，AC=5，点 D 在边 AB 上，且 AD=2，点 E 在边 AC 上，当 AE= 时，以 A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
解析：由于∠A= ∠A，故分两种情况讨论：
(1)当△AED∽△ABC 时，????????????????=???????????????? ，????????6=25 ，所以 AE = 125 ，
(2)当△ADE∽△ABC 时，????????????????=???????????????? ，????????5=26 ，所以 AE = 53.
?
对应关系不明确，分类讨论.
125 或53
?
课后作业
请完成课本后习题第2、3题.