人教版数学九年级下册27.2.2 相似三角形的性质课件（32张)

人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
27.2.2 相似三角形的性质
相 似
知识回顾
相似三角形的判定方法有哪几种？
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
定义法：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
知识回顾
两角分别相等的两个三角形相似.
一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定方法有哪几种？
学习目标
1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.
2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.
课堂导入
三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？
高
中线
角平分线
周长
面积
如果两个三角形相似，那么对应的这些要素有什么关系呢？
新知探究
知识点1：相似三角形对应线段的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
新知探究
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
如图，分别作 △ABC 和 △A'B' C' 的对应高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴
相似三角形对应高的比等于相似比.
新知探究
如图，分别作 △ABC 和 △A' B' C' 的中线 AD 和 A' D' ．
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴
则
∵△ABC ∽△A′B′C′，
相似三角形对应中线的比等于相似比.
∴∠B＝∠B' ， ，
新知探究
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
如图，分别作 △ABC 和 △A'B'C' 的角平分线 AD 和 A'D' ．
则∠DAB =∠D'A'B'.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
新知探究
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.
新知探究
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
新知探究
相似三角形周长的性质：
相似三角形周长的比等于相似比.
跟踪训练
1.已知△ABC∽△DEF，且相似比为4:3，若△ABC 中 BC 边上的中线 AM =8，则△DEF 中 EF 边上的中线 DN 的长度为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
????????????????=????????
?
本题源自《教材帮》
2.如图，在△ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则△EOD 的周长：△BOC的周长为( )
A.1:2 B.2:3
C.1:3 D.1:4
A
解析：∵BE，CD 是△ABC 的两条中线， ∴ DE 是△ABC 的中位线，
∴DE//BC，????????????????=12 ，∴△EOD∽△BOC，
∴△EOD 的周长：△BOC 的周长=1:2.
?
跟踪训练
本题源自《教材帮》
新知探究
知识点2：相似三角形面积的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
新知探究
由前面的结论，我们有
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
新知探究
相似三角形面积的性质：
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似三角形面积的比等于相似比的平方，不要与其周长的比等于相似比混淆.
新知探究
例3 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求△DEF 的边 EF 上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
新知探究
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∴
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 EC 交对角线 BD 于点 F，若 S△DEC=3，则S△BCF= .
跟踪训练
本题源自《教材帮》
解析：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD =BC，
∴△DEF∽△BCF，∴????????????????=???????????????? .
∵点E是边 AD的中点， ∴DE=AE= 12AD= 12?BC，
∴ ????????????????=????????????????=12，∴ ????????????????=13 ，∴ ????△????????????????△????????????=????????????????=13.
又 S△DEC=3，∴S△DEF =1.
∵ ????△????????????????△????????????=????????????????2=14 ，∴ S△BCF=4.
?
跟踪训练
本题源自《教材帮》
①直接用面积公式；
②利用相似三角形的性质；
③利用等底或等高；
④割补法.
跟踪训练
解决面积问题的常用方法
随堂练习
1. 判断：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的 5 倍. ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9 倍. ( )
√
×
随堂练习
2.如果两个相似三角形的相似比是3：2，它们的周长差为8，那么较大的三角形的周长为 .
解析：设较大的三角形的周长为 x，
则较小的三角形的周长为 x-8.
∵这两个相似三角形的相似比为3 ：2，
∴这两个三角形的周长比为 3：2.
∴ ?????????8=32 ，∴x=24.
?
24
本题源自《教材帮》
随堂练习
3.如图，在△ABC 中，DE//BC，AH⊥BC 于点 H，与 DE 交于点 G.若 ????????????????=35 ，则 ????????????????=， ????????????????=.
?
解析： ∵ DE//BC，∴△ADE ∽△ABC，
∴ ????????????????=????????????????=35 ，∴ ????????????????=32.
∵ DE//BC，
∴△ADG∽△ABH，∴ ????????????????=????????????????=35.
?
32
?
35
?
本题源自《教材帮》
课堂小结
相似三角形的性质
对应线段
周长
面积
等于相似比
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
对接中考
1.(2019·沈阳中考)已知△ABC∽△ A'B'C' ，AD 和 A'D'是它们的对应中线，若 AD =10，A'D' =6，则△ABC 与△A'B'C' 的周长比是( )
A.3:5 B.9:25 C.5:3 D.25:9
解析： ∵△ABC∽△ A'B'C' ，AD 和A'D' 是它们的对应中线，AD=10， A'D' =6，∴△ABC 与△ A'B'C' 的相似比为 AD： A'D' =10：6=5：3，△ABC 与△ A'B'C' 的周长比为5：3.
C
本题源自《教材帮》
对接中考
2.(2019·巴中中考)如图，已知平行四边形 ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD=1：3，连接 EF 交 DC 于点 G，则 S△DEG：S△CFG=( )
A.2：3 B.3：2
C.9：4 D.4：9
本题源自《教材帮》
对接中考
解析：设 DE=x，则 AD =3x.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC，BC =AD =3x.
又点 F 是 BC 的中点， ∴ CF = 12BC= 32????.
∵ AD//BC，∴△DEG∽△CFG，
∴ ????△????????????????△????????????=????????????????2=????32????2=49.
?
本题源自《教材帮》
对接中考
解析：①当 AE：ED = 2：3时，AE：AD = 2：5.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC，
∴ AE：BC =2：5. ∵△AEF∽△CBF，
∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
3.(2019·凉山州中考)在平行四边形 ABCD 中，E 是AD 上一点，且点 E 将 AD 分为2：3的两部分，连接 BE，AC 相交于 F，则 S△AEF：S△CBF = .
对接中考
解析：②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
4：25 或 9：25
3.(2019·凉山州中考)在平行四边形 ABCD 中，E 是AD 上一点，且点 E 将 AD 分为2：3的两部分，连接 BE，AC 相交于 F，则 S△AEF：S△CBF = .
注意AE：ED要分两种情况讨论.
课后作业
请完成课本后习题第6题.