人教版数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 课时1课件（36张)
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 课时1课件（36张) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-27 22:00:48 | ||
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文档简介
人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
27.2.3 相似三角形应用举例
相 似
知识回顾
相似三角形的性质
对应线段
周长
面积
等于相似比
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
学习目标
1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度.
2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
课堂导入
上海中心大厦
乐山大佛
怎样测量这些非常高大的物体的高度？
新知探究
知识点1：利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
新知探究
例4 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出OA的长？
金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和.
新知探究
解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，
∴△ABO ∽△DEF.
∴ ，
∴
=134 (m).
因此金字塔的高度为 134 m.
新知探究
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
1.利用影子测量物体的高度：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
新知探究
测量出参照物的高度 DF；
测量出太阳光下参照物的影长 EF 和被测物体的影长 BC；
计算出被测物体的高度 AC.
1
2
3
测量方法
新知探究
运用此测量方法时，要符合下列两个条件：
(1)被测物体的底部能够到达；
(2)由于影子长随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长.
新知探究
例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距地面 1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了?
新知探究
分析：如图，设观察者眼睛的位置为点 F，画出观察者的水平视线 FG，分别交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA 与 FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 时的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角.由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到.
新知探究
当距离小于 8 m 时，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的
位置点 E 与两棵树的顶端A，C 恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB//CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH=8 (m).
新知探究
2.借助标杆测量物体的高度：
利用标杆与被测物体平行构造相似三角形.
测量出标杆的长度 FC、观测者眼睛到地面的高度 AB；
让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛 A、标杆的顶端 F 和被测物体的顶端 E 恰好在一条直线上，
测量方法
1
2
新知探究
测量出观测者的脚距标杆底端的水平距离 BC 和距被测物体底端的水平距离 BD；
根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 DE.
3
新知探究
利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体的底部必须可到达.
新知探究
如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点 P 处水平放一平面镜，光线从点 A 发出经平面镜反射后刚好照到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知AB⊥BD，CD ⊥ BD，测得 AB = 2 米，BP = 3 米，PD = 12 米，求该城墙 CD 的高度.
反射角与入射角相等
新知探究
解：如图，由题意可得∠APE = ∠CPE，
∴ ∠APB = ∠CPD.
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABP = ∠CDP =90°，∴ △ABP∽△CDP，
∴ ????????????????=????????????????.
∵ AB = 2 米，BP = 3 米，PD = 12 米，
∴ 2????????=312 ，∴ CD = 8 米.
?
E
新知探究
利用平面镜的反射，根据“反射角等于入射角”构造相似三角形.
3.利用平面镜的反射测量物体的高度：
新知探究
在观测者与被测物体之间的地面上平放一面平面镜，在平面镜上做一个标记 E；
测出观测者眼睛到地面的高度 CD；
观测者看着平面镜来回走动，直至看到被测物体顶端在平面镜中的像与平面镜上的标记重合，此时测出平面镜
测量方法
2
1
3
新知探究
上的标记位置到观测者脚底的水平距离 DE 及到被测物
体底端的水平距离 BE；
根据“两角分别相等的两个三角形相似”推导出两个 三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 AB.
4
新知探究
测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且平面镜要水平放置.
跟踪训练
如图，身高是 1.6 m 的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为 1.2 m 和 9 m，则旗杆的高度为 m .
D
E
A
B
C
12
????????????????=???????????????? →????.????????????=????.????????
?
随堂练习
1.如图，小明在打网球时，使球恰好能过网(DE)，而且落在距离网底端(点E) 4 m 的点 A 处，则球拍击球的高度 h 为 .
1.5m
解析：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
即 ????????????????=????????????????.∴ 0.8h=44+3.5 ，
∴ h = 1.5 m.
?
随堂练习
2.如图，小明为了测量高楼 MN 的高度，在离 N 点20米的 A 处放了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退1.5米到 C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的 M 点，已知小明的眼睛(点 B)到地面的高度 BC 是1.6 米，则大楼 MN 的高度(精确到0.1 米)约是( )
A.18.75米 B.18.8米
C.21.3米 D.19米
B
N
C
A
M
随堂练习
解析：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C=∠MNA=90°，
∵∠BAC=∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴????????????????=????????????????，即1.6????????=1.520，
∴MN=1.6×20÷1.5≈21.3(米)，
答：楼房MN的高度为21.3米．
?
B
N
C
A
M
随堂练习
3.如图所示，在离某建筑物 3 m 的 B 处有一棵树 AB， 1.4 m 长的竹竿 ????′????′垂直于地面，影长 ????′???? 为 2 m.同一时刻，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在建筑物的墙上，墙上的影高 CD 为 2 m，求这棵树的高度.
?
随堂练习
解：如图，过点 C 作 CE//AD 交 AB 于点 E，则 AE = CD = 2 m.
由题意，知 AD//????′????，则 EC//????′????.
∴ ∠BCE =∠B'BA'.
又∠????′????′????=∠EBC=90°，
∴ △????′????????′?∽△BCE，
∴????′????′????????=????′???????????? ，即 1.4????????=23 ，
解得 EB =2.1 m，
∴AB =EB +AE =2.1+2=4.1(m)，即这棵树的高度为 4.1 m.
?
E
课堂小结
测量物体的高度
利用影子测量物体的高度
借助标杆测量物体的高度
利用平面镜的反射测量物体的高度
对接中考
1.(2018·长春中考)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？
意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈= 10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为( )
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
15尺
1.5尺
0.5尺
????15=1.50.5→x = 45
?
B
对接中考
2.(2020·天水中考)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已知标杆 BE 高 1.5 m，测得 AB = 1.2 m，BC = 12.8 m，则建筑物 CD 的高是( )
A．17.5 m B．17 m
C．16.5 m D．18 m
对接中考
解析：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//DC，
∴△ABE∽△ACD，∴????????????????=????????????????，
∵AB=1.2m，BC=12.8m，
∴AC=AB+BC=14m，
∴1.214=1.5????????，
解得DC=17.5，即建筑物CD的高是17.5m.
?
对接中考
3.(2019·荆门中考)如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E(O，A，
B，C，D 在同一条直线上)，测得
AC = 2 m，BD = 2.1 m，如果小明
眼睛距地面高度 BF，DG 为1.6 m，
试确定楼的高度 OE.
对接中考
解：如图，设点 E 关于直线 AO 的对称点为 M，
延长GC，FA，易知GC，FA 相交于点 M.
连接 GF 并延长交 OE 于点 H，则 GH//OD，
∴△MAC∽△MFG，
∴ ????????????????=????????????????=????????????????.
由题意易知，GF = DB，MO = OE，FB = OH，
∴ ????????????????=????????????????=????????????????+????????=????????????????+???????? ，
?
对接中考
又 BF = 1.6 m，AC = 2 m，BD = 2.1 m，
∴ ????????????????+1.6=22.1 ，
解得 OE = 32 m.
答：楼的高度 OE 为32 m.
?
课后作业
请完成课本后习题第9、10题.
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
27.2.3 相似三角形应用举例
相 似
知识回顾
相似三角形的性质
对应线段
周长
面积
等于相似比
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
学习目标
1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度.
2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
课堂导入
上海中心大厦
乐山大佛
怎样测量这些非常高大的物体的高度？
新知探究
知识点1：利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
新知探究
例4 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
怎样测出OA的长？
金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和.
新知探究
解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，
∴△ABO ∽△DEF.
∴ ，
∴
=134 (m).
因此金字塔的高度为 134 m.
新知探究
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
1.利用影子测量物体的高度：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
新知探究
测量出参照物的高度 DF；
测量出太阳光下参照物的影长 EF 和被测物体的影长 BC；
计算出被测物体的高度 AC.
1
2
3
测量方法
新知探究
运用此测量方法时，要符合下列两个条件：
(1)被测物体的底部能够到达；
(2)由于影子长随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长.
新知探究
例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距地面 1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了?
新知探究
分析：如图，设观察者眼睛的位置为点 F，画出观察者的水平视线 FG，分别交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA 与 FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 时的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角.由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到.
新知探究
当距离小于 8 m 时，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的
位置点 E 与两棵树的顶端A，C 恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB//CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH=8 (m).
新知探究
2.借助标杆测量物体的高度：
利用标杆与被测物体平行构造相似三角形.
测量出标杆的长度 FC、观测者眼睛到地面的高度 AB；
让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛 A、标杆的顶端 F 和被测物体的顶端 E 恰好在一条直线上，
测量方法
1
2
新知探究
测量出观测者的脚距标杆底端的水平距离 BC 和距被测物体底端的水平距离 BD；
根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 DE.
3
新知探究
利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体的底部必须可到达.
新知探究
如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点 P 处水平放一平面镜，光线从点 A 发出经平面镜反射后刚好照到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知AB⊥BD，CD ⊥ BD，测得 AB = 2 米，BP = 3 米，PD = 12 米，求该城墙 CD 的高度.
反射角与入射角相等
新知探究
解：如图，由题意可得∠APE = ∠CPE，
∴ ∠APB = ∠CPD.
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABP = ∠CDP =90°，∴ △ABP∽△CDP，
∴ ????????????????=????????????????.
∵ AB = 2 米，BP = 3 米，PD = 12 米，
∴ 2????????=312 ，∴ CD = 8 米.
?
E
新知探究
利用平面镜的反射，根据“反射角等于入射角”构造相似三角形.
3.利用平面镜的反射测量物体的高度：
新知探究
在观测者与被测物体之间的地面上平放一面平面镜，在平面镜上做一个标记 E；
测出观测者眼睛到地面的高度 CD；
观测者看着平面镜来回走动，直至看到被测物体顶端在平面镜中的像与平面镜上的标记重合，此时测出平面镜
测量方法
2
1
3
新知探究
上的标记位置到观测者脚底的水平距离 DE 及到被测物
体底端的水平距离 BE；
根据“两角分别相等的两个三角形相似”推导出两个 三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 AB.
4
新知探究
测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且平面镜要水平放置.
跟踪训练
如图，身高是 1.6 m 的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为 1.2 m 和 9 m，则旗杆的高度为 m .
D
E
A
B
C
12
????????????????=???????????????? →????.????????????=????.????????
?
随堂练习
1.如图，小明在打网球时，使球恰好能过网(DE)，而且落在距离网底端(点E) 4 m 的点 A 处，则球拍击球的高度 h 为 .
1.5m
解析：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
即 ????????????????=????????????????.∴ 0.8h=44+3.5 ，
∴ h = 1.5 m.
?
随堂练习
2.如图，小明为了测量高楼 MN 的高度，在离 N 点20米的 A 处放了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退1.5米到 C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的 M 点，已知小明的眼睛(点 B)到地面的高度 BC 是1.6 米，则大楼 MN 的高度(精确到0.1 米)约是( )
A.18.75米 B.18.8米
C.21.3米 D.19米
B
N
C
A
M
随堂练习
解析：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C=∠MNA=90°，
∵∠BAC=∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴????????????????=????????????????，即1.6????????=1.520，
∴MN=1.6×20÷1.5≈21.3(米)，
答：楼房MN的高度为21.3米．
?
B
N
C
A
M
随堂练习
3.如图所示，在离某建筑物 3 m 的 B 处有一棵树 AB， 1.4 m 长的竹竿 ????′????′垂直于地面，影长 ????′???? 为 2 m.同一时刻，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在建筑物的墙上，墙上的影高 CD 为 2 m，求这棵树的高度.
?
随堂练习
解：如图，过点 C 作 CE//AD 交 AB 于点 E，则 AE = CD = 2 m.
由题意，知 AD//????′????，则 EC//????′????.
∴ ∠BCE =∠B'BA'.
又∠????′????′????=∠EBC=90°，
∴ △????′????????′?∽△BCE，
∴????′????′????????=????′???????????? ，即 1.4????????=23 ，
解得 EB =2.1 m，
∴AB =EB +AE =2.1+2=4.1(m)，即这棵树的高度为 4.1 m.
?
E
课堂小结
测量物体的高度
利用影子测量物体的高度
借助标杆测量物体的高度
利用平面镜的反射测量物体的高度
对接中考
1.(2018·长春中考)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？
意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈= 10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为( )
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
15尺
1.5尺
0.5尺
????15=1.50.5→x = 45
?
B
对接中考
2.(2020·天水中考)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已知标杆 BE 高 1.5 m，测得 AB = 1.2 m，BC = 12.8 m，则建筑物 CD 的高是( )
A．17.5 m B．17 m
C．16.5 m D．18 m
对接中考
解析：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//DC，
∴△ABE∽△ACD，∴????????????????=????????????????，
∵AB=1.2m，BC=12.8m，
∴AC=AB+BC=14m，
∴1.214=1.5????????，
解得DC=17.5，即建筑物CD的高是17.5m.
?
对接中考
3.(2019·荆门中考)如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E(O，A，
B，C，D 在同一条直线上)，测得
AC = 2 m，BD = 2.1 m，如果小明
眼睛距地面高度 BF，DG 为1.6 m，
试确定楼的高度 OE.
对接中考
解：如图，设点 E 关于直线 AO 的对称点为 M，
延长GC，FA，易知GC，FA 相交于点 M.
连接 GF 并延长交 OE 于点 H，则 GH//OD，
∴△MAC∽△MFG，
∴ ????????????????=????????????????=????????????????.
由题意易知，GF = DB，MO = OE，FB = OH，
∴ ????????????????=????????????????=????????????????+????????=????????????????+???????? ，
?
对接中考
又 BF = 1.6 m，AC = 2 m，BD = 2.1 m，
∴ ????????????????+1.6=22.1 ，
解得 OE = 32 m.
答：楼的高度 OE 为32 m.
?
课后作业
请完成课本后习题第9、10题.