人教版数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定 课时4课件（33张)

人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
27.2.1 相似三角形的判定
相 似
知识回顾
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边和夹角判定两个三角形相似
定理
注意
相等的角必须是成比例的两边的夹角
对应关系不明确，勿忘分类讨论
学习目标
1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.
3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
课堂导入
学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 美美手上的测量工具只有一个量角器，她该怎么做呢？
新知探究
知识点1：两角分别相等的两个三角形相似
C
A
B
A'
B'
C'
与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值.
你有什么发现？
新知探究
证明：在 △ABC 的边 AB上，截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠A=∠A′，∠B=∠B′ .
证明：△A′B′C′∽△ABC.
新知探究
利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽△A'B'C'.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
新知探究
利用此定理证明两三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
新知探究
(1)平行线型：如图(1)，若 DE//BC，则△ADE∽△ABC；
(2)相交线型：如图 (2) ，若∠AED =∠B，则△AED∽△ABC；
(3)子母型：如图(3)，若∠ACD =∠B，则△ACD∽△ABC.
常见的相似三角形的类型
跟踪训练
如图，在△ABC 中，∠ABC =80°，∠A = 40°，AB 的垂直平分线分别与 AC，AB 交于点 D，E，连接 BD.
求证： △ABC∽△BDC.
解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，
∴ AD =BD，
∴ ∠ABD =∠A =40°，
∴ ∠DBC = ∠ABC -∠ABD = 40°，
∴ ∠A=∠DBC.
又∠C =∠C，
∴ △ABC ∽△BDC.
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
新知探究
知识点2：判定两个直角三角形相似
∴
例2 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8.
E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求 AD 的长.
D
A
B
C
E
∴
新知探究
判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
新知探究
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°，
.
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
目标：
新知探究
证明：设 = k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
∴
C
A
A'
B
B'
C'
由勾股定理，得
∴
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
新知探究
判定直角三角形相似的方法：
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD⊥AB，则图中的相似三角形有( )
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
跟踪训练
∠ACD =∠B，∠BCD =∠A.
△ADC∽△CDB∽△ACB.
D
1.如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AB 上，且∠ADE =60°.
求证：△ADC∽△DEB.
随堂练习
解：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠B =∠C =60°，
∴ ∠ADB =∠CAD +∠C =∠CAD+60°.
∵ ∠ADE=60°，
∴ ∠ADB =∠BDE +60°，
∴ ∠CAD =∠BDE，
∴△ADC∽△DEB.
证明两三角形相似的基本思路
若已知条件中有平行线，一般可利用平行线直接判定两三角形相似；
若已知一对等角，则找另一对等角，或证明夹这对等角的两边成比例；
若已知两边成比例，则证明这两边的夹角相等，或证明三边成比例.
随堂练习
1
2
3
随堂练习
2.如图，已知在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠ACB，延长 AD，BC 相交于点 E.
求证：(1)△ACE∽△BDE；
证明：(1)∵ ∠ACB =∠ADB，
∴ ∠ACE =∠BDE，又∠E =∠E，
∴△ACE∽△BDE.
随堂练习
2.如图，已知在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠ACB，延长 AD，BC 相交于点 E.
求证：(2)BE·CD =AB·DE.
证明：(2)∵△ACE∽△BDE，
∴ ????????????????=???????????????? ，即 ????????????????=????????????????.
又∠E =∠E，∴△EAB∽△ECD，
∴ ????????????????=???????????????? ，∴ BE·CD=AB·DE.
?
随堂练习
将等积式转化为比例式.
观察比例式中的线段是否分别在两个形状相同的三角形中(可采用三点定形法；也可在图中标出这些线段，通过观察确定)，若在两个形状相同的三角形中，可证明这两个三角形相似，若不在两个形状相同的三角形中，可利
利用相似三角形证明等积式的步骤
1
2
随堂练习
用如下方法转化：①等线段转化；②中间比转化；③添加辅助线构造相似三角形转化.
根据相似三角形对应边成比例或中间的转化得到比例式，再化为等积式.
利用相似三角形证明等积式的步骤
3
随堂练习
3.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上的一点 QP⊥AP 交 DC 于点 Q，设 BP =x，△ADQ 的面积为 y.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
随堂练习
解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠B=∠C=90°，
∴ ∠BAP +∠APB =90°.
∵ QP⊥AP，∴∠QPC +∠APB =90°，
∴ ∠BAP =∠QPC，
∴△ABP ∽△PCQ
∴ ????????????????=???????????????? ，即 44?????=????????????.∴CQ = ????(4?????)4 ，
∴ ????=12×4×4?????????=12????2?2????+8?(0?
随堂练习
(2)点 P 在何位置时，△ADQ 的面积最小？最小面积是多少？
解：(2) ∵ ????=12????2?2????+8=12?????22+6，
∴当 x =2 时，y 最小，且最小值为6，
即当点 P 是 BC 的中点时，△ADQ 的面积最小，最小面
积为6.
?
课堂小结
两角分别相等的两个三角形相似
利用两组角判定两个三角形相似
定理
公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角
常见相等角
课堂小结
直角三角形相似的判定方法
有一个锐角相等的两个直角三角形相似
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似
两组直角边成比例的两个直角三角形相似
对接中考
1.(2019·宜宾中考)如图，已知 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AC =4，BC =3，则 AD = .
解析：在Rt△ABC 中，AB= ????????2+????????2 =5.
因为 ∠CAD =∠BAC，∠ADC =∠ACB，
所以△ADC∽△ACB，所以 ????????????????=???????????????? ，即 ????????4=45 ，
所以 ????????=165.
?
165
?
2.(2015·荆州中考)如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP =∠C
B. ∠APB = ∠ABC
C. ????????????????=????????????????
D. ????????????????=????????????????
?
对接中考
D
两角
两角
边角边
边边角
∠A为公共角
对接中考
3.(2019·武汉中考节选)已知 AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点 E，分别交 AM，BN 于D，C 两点，如图.
求证：AB2 =4AD·BC.
对接中考
证明：连接 OC，OD，如图所示.
∵ AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，
∴ AM⊥AB，BN⊥AB，∴ AM//BN，
∴ ∠ADE +∠BCE = 180°.
∵ DC 切⊙O 于点E，
∴∠ODE = 12 ∠ADE，∠OCE = 12 ∠BCE，
∴ ∠ODE +∠OCE =90°，∴ ∠DOC =90°，
?
对接中考
∴ ∠AOD +∠COB = 90°.
又∠AOD+∠ADO =90°，∴ ∠ADO =∠COB.
又∠OAD =∠OBC =90°，∴△AOD∽△BCO，
∴ ????????????????=????????????????.
又OA =OB = 12AB，
∴ 12????????2=????????????????? ，即 AB2 =4AD·BC.
?
课后作业
请完成课本后习题第7题.