人教版数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定 课时1课件（41张)

人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
27.2.1 相似三角形的判定
相 似
知识回顾
相似多边形
概念
相似比
性质
对应角相等
对应边成比例
学习目标
1.理解相似三角形的概念.
2.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
课堂导入
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS).
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
新知探究
知识点1：相似三角形
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为　.
　∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
，
在△ABC 和△DEF 中，如果
A
B
D
E
F
C
新知探究
用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. △ABC∽△DEF 表示顶点 A 与 D，B 与 E，C 与 F分别对应；如果仅说“△ABC与△DEF 相似” ，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们之间的对应关系.
新知探究
(1)相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形最重要的性质.
(2)相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ABC与△DEF的相似比为 k，那么△DEF与△ABC 的相似比为 ????????.
?
新知探究
(3)全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形.
(4)相似三角形具有传递性,即若△ABC∽ △DEF， △DEF∽ △OPQ，则△ABC∽ △OPQ.
如图所示，△ADB∽△ABC，下列式子不成立的是( )
A. ????????????????=????????????????
B.????????????????=????????????????
C.????????????????=????????????????
D. AB2 =AD·AC
?
跟踪训练
????????????????=????????????????=????????????????
?
C
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
新知探究
知识点2：平行线分线段成比例
如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图①
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
新知探究
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
(1) 计算 ，你有什么发现？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
新知探究
(2) 将直线 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
新知探究
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
新知探究
平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
几何语言：
若a∥b∥ c ，则 ， ，
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
新知探究
1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段.
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关.
2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置上.
新知探究
如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段.
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
新知探究
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
新知探究
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
新知探究
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
跟踪训练
如图，已知 AB//CD//EF，AF 交 BE 于点 H，下列结论中错误的是( )
A. ????????????????=????????????????
B. ????????????????=????????????????
C. ????????????????=????????????????
D. ????????????????=????????????????
?
AB//CD
AB//CD//EF
AB//CD//EF
C
新知探究
知识点3：利用平行线判定两个三角形相似的定理
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
B
C
A
D
E
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
新知探究
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
B
C
A
D
E
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
新知探究
B
C
A
D
E
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
通过度量，我发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
新知探究
B
C
A
D
E
要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ，我们需要证明什么？
新知探究
而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面得到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？
B
C
A
D
E
由前面的结论可得
，需要证明的是 ，
由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
可以将 DE 平移到BC 边上去
新知探究
证明：在 △ADE 与 △ABC 中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F.
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明：△ADE∽△ABC.
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=FC，
∴△ADE∽△ABC.
∴
新知探究
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
新知探究
三角形相似的两种常见类型：
“X ” 型
D
E
A
B
C
“A ”型
A
B
C
D
E
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图中的相似三角形共有( )
A.3对
B.5对
C.6对
D.8对
跟踪训练
C
D
A
B
E
F
G
解析：△AEG ∽△ADC ∽△CFG ∽△CBA.
C
随堂练习
1.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 BA 的延长线上，点 F 在 BC 的延长线上，连接 EF，分别交 AD，CD 于点 G，H，则下列结论错误的是( )
A. ????????????????=???????????????? B. ????????????????=????????????????
C. ????????????????=???????????????? D. ????????????????=????????????????
?
AG//BF
AE//DH
CH//BE
C
随堂练习
2.如图， l1 //l2//l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，
求 BC，BF 的长.
解： ∵ l1 //l2//l3，
∴ ????????????????=???????????????? ，????????????????=????????????????.
∵AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，
∴ 3????????=24 ，????????7.5=22+4.
解得 BC=6，BF=2.5.
?
随堂练习
利用平行线分线段成比例求线段长的思路
利用平行线分线段成比例求线段的长，需先确定图形中的平行线，由此找出线段间的比例关系，再结合待求线段与已知线段写出一个含有它们的比例式，即可求出线段的长.
随堂练习
3.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 AB=3AD，E 是 AC 的中点，DE 的延长线交 BC 延长线于点 F.求证：BC=CF.
解：如图， 过点 C 作 CG//DE，交 AB 于点 G.
∵ CG//DE，∴ ????????????????=????????????????.
∵ AE=EC，∴ AD=DG.
∵ AB=3AD，∴ BG=GD.
∵ CG//DE，∴ ????????????????=????????????????=1.
∴ BC=CF.
?
G
还有其他解法吗？
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
课堂小结
平行线分线段成比例
基本事实
推论
判定三角形相似
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
对接中考
1.(2019·淮安中考)如图，l1//l2 //l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别相交于点 A，B，C 和点 D，E，F.若 AB =3，DE =2，BC =6，则 EF = .
????????????????=????????????????
?
4
对接中考
2.(2019·海南中考)如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4.点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ //AB 交BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点.当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为( )
A. 813 B. 1513
C. 2513 D. 3213
?
B
D
C
A
Q
对接中考
解析：∵ ∠C =90°，AB =5，BC =4，∴ AC = ????????2?????????2 =3.
∵ PQ//AB，∴ ∠ABD =∠BDQ.
又∠ABD =∠QBD，∴ ∠QBD=∠BDQ，
∴ QB =QD，∴ QP =2QB.
∵ PQ//AB，∴△CPQ∽△CAB，
∴ ????????????????=????????????????=???????????????? ，即 ????????3=4?????????4=2????????5 ，
解得 QB= 2013 ，CP= 2413 ，∴ AP =CA-CP= 1513.
?
B
D
C
A
Q
对接中考
3.(2019·黄冈中考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D.过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE.
(1)求证：△DBE 是等腰三角形；
对接中考
解：(1)连接OD，如图所示.
∵ DE 是⊙O 的切线，∴ ∠ODE =90°，
∴ ∠ADO+∠BDE = 90°.
∵ ∠ACB =90°，∴ ∠CAB +∠CBA = 90°.
∵ OA =OD，∴ ∠CAB = ∠ADO，
∴ ∠BDE =∠CBA，
∴ EB =ED，
∴ △DBE是等腰三角形.
对接中考
(2)求证：△COE∽△CAB.
解：(2)∵ ∠ACB =90°，AC 是⊙O 的直径，
∴ CB是⊙O 的切线.
∵ DE 是⊙O 的切线，∴ DE =EC.
∵ EB =ED，∴ EC =EB.
又∵ OA =OC，∴ OE//AB，
∴ △COE∽△CAB.
课后作业
请完成课本后习题第4、5题.