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2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质学案含解析(2份打包）新人教A版必修第一册

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名称	2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质学案含解析(2份打包）新人教A版必修第一册
格式	zip
文件大小	425.0KB
资源类型	教案
版本资源	人教A版（2019）
科目	数学
更新时间	2020-09-28 12:07:17

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文档简介

第2课时　不等式性质
必备知识·探新知
基础知识
知识点　不等式的性质
性质1　a>b?__b性质2　a>b，b>c?__a>c__；(传递性)
性质3　a>b?__a＋c>b＋c__；(同加保序性)
推论：a＋b>c?__a>c－b__；(移项法则)
性质4　a>b，c>0?__ac>bc__，(乘正保序性)a>b，c<0?ac性质5　a>b，c>d?__a＋c>b＋d__；(同向相加保序性)
性质6　a>b>0，c>d>0?__ac>bd__；(正数同向相乘保序性)
性质7　a>b>0?__an>bn__(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)
思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？
(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？
(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？
提示：(1)移项法则．
(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．
(3)各个数均为正数．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a>b，则ac2>bc2.(　×　)
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　×　)
(3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(　√　)
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　×　)
[解析]　(1)由不等式的性质，ac2>bc2?a>b；反之，c＝0时，a>bac2>bc2.
(2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系．
(3)符合不等式的可乘方性．
(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．
2．设bA．a－c>b－d　　　　
B．ac>bd
C．a＋c>b＋d
D．a＋d>b＋c
3．已知a<0，－1A．a>ab>ab2
B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2
D．ab>ab2>a
[解析]　由－1又a<0，∴ab>ab2>a，故选D．
4．用不等号“>”或“<”填空：
(1)如果a>b，c__b－d；
(2)如果a>b>0，c(3)如果a>b>0，那么__<__；
(4)如果a>b>c>0，那么__<__.
[解析]　(1)∵c－d，∵a>b，∴a－c>b－d.
(2)∵c－d>0.∵a>b>0，∴－ac>－bd，∴ac(3)∵a>b>0，∴ab>0，>0，∴a·>b·>0，
∴>>0，∴()2>()2，即<.
(4)∵a>b>0，所以ab>0，>0.于是a·>b·，即>，即<.∵c>0，∴<.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　不等式性质的应用
例1
若aA．a2B．abC．>
D．ac2>bc2
[分析]　通过赋值可以排除A，D，根据不等式的性质可判断B，C正误．
[解析]　若ab，故不成立；对于C选项，<<0，故选项正确；对于D选项，当c＝0时，不正确．
[归纳提升]　判断关于不等式的命题真假的两种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．
【对点练习】?
设a，b是非零实数，若aA．a2B．ab2C．<
D．<
[解析]　当a<0，b>0时，a20，ab符号不确定，故B错.－＝<0，所以<，故C正确．D中与的大小不能确定．
题型二　利用不等式的性质证明不等式
例2
设a>b>c，求证：＋＋>0.
[分析]　不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．
[证明]　因为a>b>c，所以－c>－b.
所以a－c>a－b>0，所以>>0.
所以＋>0.又b－c>0，
所以>0.所以＋＋>0.
[归纳提升]　利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【对点练习】?
若a>b>0，c.
[证明]　因为c－d>0.
又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.
所以(a－c)2>(b－d)2>0.所以0<<.
又因为e<0，所以>.
题型三　利用不等式的性质求范围
例3
已知－1(1)求x－y的取值范围．
(2)求3x＋2y的取值范围．
[解析]　(1)因为－1所以－3<－y<－2，
所以－4(2)由－1所以1<3x＋2y<18.
[归纳提升]　利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
【对点练习】?
已知10[解析]　因为－30因为－30所以<－<，又10所以<－<，即<－<.
所以－<<－.
误区警示
错用同向不等式性质
例4
已知12　__<<4__.
[错解]　∵12∴<<.故填<<.
[错因分析]　把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．
[正解]　∵15[方法点拨]　若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．
学科素养
不等关系的实际应用
不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．
例5
有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xA．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
[分析]　本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．
[解析]　方法一：因为x0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，故ay＋bz＋cx综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx.
方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.
[归纳提升]　对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．
课堂检测·固双基
1．(2020·湖北省黄石一中检测)若a>b>0，cA．>　　　　　　　
B．<
C．>
D．<
[解析]　因为c－d>0，
所以>>0.
又a>b>0，所以>，所以<.
2．(2020·湖北省宜昌市七校期末联考)已知a>b，c>d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　D　)
A．ad>bc
B．ac>bd
C．a－c>b－d
D．a＋c>b＋d
[解析]　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B，C．由不等式的性质5知，D一定成立．
3．给定下列命题：
①0>a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b>0；③a>b?<1；④a>b?a3>b3.
其中真命题的个数是(　B　)
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　对于①，由0>a>b可知，0<－a<－b，则由性质7可知，(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故①错误；对于②，性质7不具有可逆性，故②错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；对于④，因为a>b，所以a－b>0，所以a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋)2＋]>0，故a3>b3，④正确．
4．若a>b>0，则__<__(n∈N＋)．(填“>”或“<”)
[解析]　∵a>b>0，∴an>bn>0，
∴>，即<.
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-第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
【素养目标】
1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)
2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)
3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)
4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)
5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)
【学法解读】
在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．
第1课时　不等关系与比较大小
必备知识·探新知
基础知识
知识点1　不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点．
(1)不等符号<，>，__≤__，__≥__或≠.
(2)所表示的关系是__不等关系__.
思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a提示：不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a知识点2　比较两实数a，b大小的依据
思考2：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
(2)若“b－a>0”，则a，b的大小关系是怎样的？
提示：(1)是　(2)b>a
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　√　)
(2)若x2＝0，则x≥0.(　√　)
(3)若x－1≤0，则x<1.(　×　)
(4)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a[解析]　(1)不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.
(2)若x2＝0，则x＝0，所以x≥0成立．
(3)若x－1≤0，则x<1或者x＝1，即x≤1.
(4)任意两数之间，有且只有a>b，a＝b，a2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　C　)
A．T<40　　　　　　
B．T>40
C．T≤40
D．T≥40
3．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为__x2＋2>3x__.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　用不等式(组)表示不等关系
例1
某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
[分析]　由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．
[解析]　若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)·[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x－8)·[100－10(x－10)]≥300.
[归纳提升]　将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
例2
某矿山车队有4辆载重为10
t的甲型卡车和7辆载重为6
t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360
t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[分析]　首先用变量x，y分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．
[解析]　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
即
[归纳提升]　用不等式组表示不等关系的方法
首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．
【对点练习】?
用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于110
m2，靠墙的一边长为x
m，试用不等式表示其中的不等关系．
[解析]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x
m，而墙长为18
m，所以0这时菜园的另一条边长为＝(15－)(m)．
因此菜园面积S＝x·(15－)，依题意有S≥110，
即x(15－)≥110，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
题型二　比较实数的大小
例3
已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
[解析]　方法一(作差法)：(＋)－(＋)
＝(－)＋(－)
＝＋＝
＝.
∵a，b为正实数，∴＋>0，>0，(－)2≥0，
∴≥0，∴＋≥＋.
方法二(作商法)：＝
＝＝
＝＝1＋≥1.
∵＋>0，＋>0，∴＋≥＋.
方法三(平方后作差)：∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，
∴(＋)2－(＋)2＝.
∵a>0，b>0，∴≥0.
又＋>0，＋>0，故＋≥＋.
[归纳提升]　比较大小的方法
1．作差法的依据：a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．
2．作商法的依据：b>(<)0时，>1?a>(<)b；＝1?a＝b；<1?a<(>)b.
步骤：作商—变形—判断商与1的大小—得出结论．
注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．
3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a>b，b>c，则a>c，其中b是a与c的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．
【对点练习】?
当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解析]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，
而3x2＋1>0.
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
所以3x3≤3x2－x＋1.
课堂检测·固双基
1．下列说法正确的是(　C　)
A．某人月收入x不高于2
000元可表示为“x<2
000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
[解析]　A应为x≤2
000，B应为x2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　C　)
A．a>b　　　　　
B．aC．a≥b
D．a≤b
[解析]　a－b＝3x2－x＋1－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a－b≥0即a≥b，故选C．
3．设a，b∈R，定义运算“?”和“?”如下：a?b＝
a?b＝若m?n≥2，p?q≤2，则(　A　)
A．mn≥4且p＋q≤4
B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4
D．m＋n≤4且pq≤4
4．用不等式表示下面的不等关系：
(1)a与b的积是非负数：__ab≥0__；
(2)m与n的和大于p：__m＋n>p__；
(3)某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间：__16≤t≤18__.
5．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是__xPAGE
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