全等三角形
【思维导图】
必考题型一
全等形与全等三角形
【基础知识】
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
（5）全等三角形的性质
性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
【典型例题】
例1．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG=
______
．
【答案】4cm
【解析】
解：∵△EFG≌△NMH，
∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，
∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1cm，
∵△EFG的周长为15cm，
∴HM=15-6-4=5cm，
∴HG=5-1=4cm
.
故答案为：4cm．
例2．在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合：
(1)三个三角形是全等的直角三角形．
(2)三个三角形均为等腰三角形．
分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度．
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】
先将点C对折到点E，将对折后的纸片再沿DE对折.此题要理解折叠的实质是重合，根据重合可以得到BC＝BE，AD＝BD，∠DBE＝∠DAE＝30°，∠BDE＝∠ADE＝60°，∠AED＝∠BED＝90°.
【详解】
(1)
如下图1
(2)
如下图2
.
例3．如图所示，两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出两个图形中标出的a，b，c，∠α，∠β的值．
【答案】a＝3，b＝5.4，c＝7,
∠α＝105°,
∠β＝45°
【解析】
解：根据全等多边形的对应角相等有∠α＝105°.
又由四边形的内角和，得第四个角为360°－(120°＋90°＋105°)＝45°，
所以∠β＝45°.
根据全等多边形的对应边相等有a＝3，b＝5.4，c＝7.
方法与技巧
关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
必考题型二
全等三角形的判定
【基础知识】
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
【典型例题】
例1．如图，点B、E、F、C在一条直线上，AB=DE=10，AC=DF，BE=CF=CE．
（1）求证：AB∥DE；
（2）求EG的长．
【答案】（1）详见解析；（2）5
【解析】
解：（1）∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）∵GE∥AB，E为BC中点，
∴G为AC中点，即GE为△ABC的中位线，
∴EG=AB=5．
例2．已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：要证明∠B=∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC=∠DAM，可以得到∠BAD=∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，本题得以解决．
试题解析：证明：∵∠BAC=∠DAM，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAM=∠DAC+∠NAM，∴∠BAD=∠NAM．在△BAD和△NAM中，∵AB=AN，∠BAD=∠NAM，AD=AM，∴△BAD≌△NAM（SAS），∴∠B=∠ANM．
例3．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△AEC≌△CDB．
（2）如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝
．
【答案】（1）见解析；（2）S=
50．
【解析】
（1）如图1中，
∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△AEC和△CDB中
,
∴△AEC≌△CDB（AAS）．
（2）如图2中，因为AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，
由（1）可知：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴EF=AG=6，AF=BG=CH=3，CG=DH=4，
∴S=（6+4）×16-18-12=50．
故答案为50．
方法与技巧
全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
必考题型三
直角三角形全等的判定
【基础知识】
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
【典型例题】
例1．已知：如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
求证：CO＝DO．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△ADB为直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
∵AD=BC，
∴AD?OA=BC?OB，
即OD=OC.
例2．如图，平分，于点，且，求证：.
【答案】见解析
【解析】
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴EB=FC．
例3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
(1)证明：连接PB、PC，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE（HL），
∴BD=CE；
(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP，
∴AD=AE，
∴AD+6=10?AD，
解得,AD=2(cm).
方法与技巧
直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
必考题型四
全等三角形的判定与性质综合
【基础知识】
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【典型例题】
例1．如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（2）∠CMQ=60°不变，理由详见解析.
【解析】
（1）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=5-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得5-t=2t，t=；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（5-t），t=；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；
（2）∠CMQ=60°不变．
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
例2．已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．证明：（1）PD=PE．（2）AD=AE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
解：证明：（1）连接AP．
在△ABP和△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP（SSS）．
∴∠BAP=∠CAP，
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴PD=PE（角平分线上点到角的两边距离相等）．
（2）在△APD和△APE中，
∵
，
∴△APD≌△APE（AAS），
∴AD=AE；
例3．如图①，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．
（1）图①中有 对全等三角形，并把它们写出来
；
（2）求证：BG=DG，AG=CG；
（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
【答案】（1）3对，△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD；（2）证明见解析；（3）成立，证明见解析.
【解析】
（1）图①中有3对全等三角形，它们是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD．
理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
∵∠AGB=∠CGD，
∴△AGB≌△CGD；
（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
（3）第（2）题中的结论成立，
理由：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴BF=ED．
∵∠BFG=∠DEG=90°，
∴BF∥ED，
∴∠FBG=∠EDG，
∴△BFG≌△DEG，
∴FG=GE，BG=GD，
即第（2）题中的结论仍然成立．
方法与技巧
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
必考题型五
全等三角形的应用
【基础知识】
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
【典型例题】
例1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，为什么？
【答案】详见解析
【解析】
本题是测量两点之间的距离方法中的一种，符合全等三角形全等的条件，方案的操作性强，只要测量的线段和角度在陆地一侧即可实
【详解】
解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
又∵直线BF与AE交于点C，
∴∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
∵CD＝BC，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB＝ED，
即测得DE的长就是A，B两点间的距离．
例2
在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路.如：在图1中，若是的平分线上一点，点
在上，此时，在
截取
,连接，根据三角形全等的判定
，容易构造出全等三角形⊿和⊿,参考上面的方法，解答下列问题：
如图2，在非等边⊿中，,分别是的平分线，且交于点.求证：
.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：本题要直接证明，可以参照阅读材料提供的方法在长边上截取一条来等于中的其中一条，通过构造出的全等三角形来使问题得以解决.
试题解析：在边上截取
,
∵分别是的平分线,
∴
.
在和中
∴≌
.
∴
.
∵
.
∴
.
∵,∴.
∵,∴
.
∵
.
∴.
∴
.
在和中
∴≌
.
∴
.
∵
∴
即.
例3．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，B,C,E在同一条直线上，连结DC．
（1）图2中的全等三角形是_______________,并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由．
【答案】（1）△ACD≌△ABE，证明见解析；（2）线段DC和线段BE的关系是：垂直且相等，理由见解析.
【解析】
解：（1）图2中的全等三角形是：△ACD≌△ABE．
证明：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，，
∴△ACD≌△ABE（SAS）．
故答案为：△ACD≌△ABE；
（2）线段DC和线段BE的关系是：垂直且相等．
理由：由（1）知：△ACD≌△ABE
∴DC＝BE，∠ACD＝∠B，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，
∴BE⊥DC，
∴线段DC和线段BE的关系是：垂直且相等．
方法与技巧
全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．全等三角形
【思维导图】
必考题型一
全等形与全等三角形
【基础知识】
（1）全等形的概念
能够__________的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做__________．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做__________；重合的边叫做__________；重合的角叫做__________．
（5）全等三角形的性质
性质1：全等三角形的__________相等
性质2：全等三角形的__________相等
【典型例题】
例1．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG=
______
．
例2．在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合：
(1)三个三角形是全等的直角三角形．
(2)三个三角形均为等腰三角形．
分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度．
例3．如图所示，两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出两个图形中标出的a，b，c，∠α，∠β的值．
方法与技巧
关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
必考题型二
全等三角形的判定
【基础知识】
（1）判定定理1：SSS--__________分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--__________分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--__________分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--____________________对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--____________________对应相等的两个直角三角形全等．
【典型例题】
例1．如图，点B、E、F、C在一条直线上，AB=DE=10，AC=DF，BE=CF=CE．
（1）求证：AB∥DE；
（2）求EG的长．
例2．已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
例3．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△AEC≌△CDB．
（2）如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝
．
方法与技巧
全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
必考题型三
直角三角形全等的判定
【基础知识】
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“__________”或“__________”）．
【典型例题】
例1．已知：如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
求证：CO＝DO．
例2．如图，平分，于点，且，求证：.
例3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
方法与技巧
直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
必考题型四
全等三角形的判定与性质综合
【基础知识】
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【典型例题】
例1．如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
例2．已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．证明：（1）PD=PE．（2）AD=AE．
例3．如图①，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．
（1）图①中有 对全等三角形，并把它们写出来
；
（2）求证：BG=DG，AG=CG；
（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
方法与技巧
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
必考题型五
全等三角形的应用
【基础知识】
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
【典型例题】
例1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，为什么？
例2
在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路.如：在图1中，若是的平分线上一点，点
在上，此时，在
截取
,连接，根据三角形全等的判定
，容易构造出全等三角形⊿和⊿,参考上面的方法，解答下列问题：
如图2，在非等边⊿中，,分别是的平分线，且交于点.求证：
.
例3．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，B,C,E在同一条直线上，连结DC．
（1）图2中的全等三角形是_______________,并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由．
方法与技巧
全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
