关于一元一次不等式和一元二次不等式恒成立问题的专题讲座（17张ppt）

(共17张PPT)
关于一元一次不等式和一元二次不等式恒成立问题的专题讲座
湖南省衡阳市衡南县衡云中学高中部
高中数学教师欧阳文丰教师
确定不等式恒成立的参数的取值范围，是中学数学教学的难点，也是高考的热点。解答这类问题主要有四种方法：
其一，利用一次函数的单调性；
其二，利用二次函数的单调性；
其三，分离参数，转化为求函数的最值；
其四，利用数形结合法。
类型1：利用一次函数的单调性
设一次函数f(x)=ax+b
(a≠0),当a
>
0时f(x)在R上是增函数;当a
<
0时f(x)在R上是减函数.所以关于不等式恒成立问题,若能将不等式化为关于主元(或参数)的一次函数,则可用一次函数的单调性求解.
设一次函数f(x)=ax+b
(a≠0),当a
>
0时f(x)在R上是增函数;当a
<
0时f(x)在R上是减函数.所以关于不等式恒成立问题,若能将不等式化为关于主元(或参数)的一次函数,则可用一次函数的单调性求解.
类型1：利用一次函数的单调性
类型1：利用一次函数的单调性
换个角度看问题,换个方面去解释,换个方向去思考.
典型例题讲解
变式练习：
解：将
变换成关于
的不等式
则命题等价于
时，
只需
故
的取值范围为
上单调递增
【变式训练】
练习2.
设函数
若
，对于
恒成立，求
的取值范围。
【探究提高】
1、讨论形如
的恒成立问题时必须对
分类讨论，否则会漏解.
2、已知不等式恒成立求参数范围的问题，涉及函数、方程、不等式，综合性强，常利
用以下结论会起到事倍功半的效果.
①
恒成立
或
恒成立
或
②
在区间
上恒成立，
或
或
③
在区间
上恒成立，
类型2：利用二次函数的单调性
或
（1）二次不等式a
x2
+bx
+c
>
0恒成立
例题1：已知关于x的不等式：
(a-2)x2
+
(a-2)x
+1
≥
0恒成立，
解：由题意知：
①当a
-2=0，即a
=2时，不等式化为
②当a
-2≠0，即a
≠2时，原题等价于
综上：
试求a的取值范围.
1
≥
0，它恒成立，满足条件.
知识概要
（2）二次不等式a
x2
+bx
+c
<
0恒成立
（3）二次不等式a
x2
+bx
+c
≥
0恒成立
（4）二次不等式a
x2
+bx
+c
≤
0恒成立
类型2：利用二次函数的单调性
例题2.当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?
典型例题讲解
(2011·抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[思路探索]
解答本题的关键是根据题目条件，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题来处理．
【例3】
典型例题讲解
当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．
[思路分析]
记f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，只要f(x)max≤0即可，问题转化为求二次函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]的最值问题．
解析　构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
【例4】
【例5】
[思路分析]
记f(x)＝
，
x∈[-1,1]，只要f(x)min>0即可，问题转化为求二次函数f(x)＝
，x∈[-1,1]的最值问题．属于轴动区间定问题，采用分类讨论。
解：令f(x)＝
则f(x)>0在x∈[-1,1]上恒成立，等价于：