【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册1.5全称量词与存在量词-同步练习

全称量词与存在量词知识点总结、例题讲解和同步练习
一、本节知识点
（1）全称量词与全称量词命题.
（2）存在量词与存在量词命题.
（3）全称量词命题与存在量词命题的否定.
二、本节题型
（1）全称量词命题与存在量词命题的辨析及其真假的判断.
（2）全称量词命题与存在量词命题的否定.
（3）全称量词命题与存在量词命题的求参问题.
三、知识点讲解
知识点一
全称量词与全称量词命题
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中叫做全称量词,并用符号“”表示.
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
全称量词命题“对M中任意一个,成立”可用符号表示为:
.
读作:对任意属于M,有成立.
对全称量词命题的理解:
（1）全称量词命题是陈述集合中所有元素都具有某种性质的命题.
（2）一个全称量词命题可用包含多个变量:如R,≥0.
（3）在某些全称量词命题中,有时全称量词可用省略.例如“长方体是六面体”,它指的是“所有的长方体都是六面体”.
全称量词命题真假的判断
（1）要判断全称量词命题“”是真命题,需要对集合M中的每个元素,证明成立;
（2）要判断全称量词命题“”是假命题,只需举出一个反例.若在集合M中能找到一个元素,使不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
知识点二
存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词,并用符号“”表示.
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素,成立”可用符号表示为:
.
读作:存在M中的元素,使成立.
对存在量词命题的理解:
（1）存在量词命题是陈述集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题.
（2）一个存在量词命题可用包含多个变量,如R,使.
（3）如果一个命题含有存在量词,不管包含的范围有多大,都是存在量词命题.
存在量词命题真假的判断
（1）要判断存在量词命题“”是真命题,只需在集合M中找到一个元素,使成立即可;
（2）要判断存在量词命题“”是假命题,需要对集合M中任意一个元素,证明都不成立.
知识点三
全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的”
“任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”,也就是“,不成立”.用“”表示“不成立”.
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:
全称量词命题:
,
它的否定:
,.
也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.
存在量词命题的否定
一般来说,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词,变成“不存在一个”“没有一个”“都”等短语即可.也就是说,假定存在量词命题为“”,则它的否定为“不存在,使成立”,也就是“不成立”.
对含有一个量词的存在量词命题的否定,由下面的结论:
存在量词命题:
,
它的否定:
,.
也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.
重要结论
一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
所以,我们判断一个命题的否定是真是假,只需判断原命题的真假即可.
四、例题讲解
例1.
判断下列全称量词命题的真假:
（1）每个四边形的内角和都是;
（2）任何实数都有算术平方根;
（3）,是无理数.
分析:
要判断全称量词命题“”是真命题,需对集合中的每个元素,证明成立;要判断全称量词命题“”是假命题,只需在集合中找到一个元素,使不成立即可.
解:（1）根据多边形内角和定理,四边形的内角和为:
∴全称量词命题“每个四边形的内角和都是”是真命题;
（2）∵只有非负实数才有算术平方根
∴全称量词命题“任何实数都有算术平方根”是假命题;
（3）是无理数,但是有理数.
∴全称量词命题“,是无理数”是假命题.
例2.
判断下列存在量词命题的真假:
（1）存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直;
（2）至少有一个整数,使得为奇数;
（3）,是无理数.
分析:
要判断存在量词命题“”是真命题,只需在集合中找到一个元素,使成立即可;要判断存在量词命题“”是假命题,需要对集合M中任意一个元素,证明都不成立.
解:（1）菱形是特殊的四边形,它的两条对角线互相垂直.
∴存在量词命题“存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直”是真命题;
（2）∵为整数,为偶数
∴存在量词命题“至少有一个整数,使得为奇数”是假命题;
（3）∵是无理数,也是无理数
∴存在量词命题“,是无理数”是真命题.
例3.
写出下列命题的否定:
（1）Z,Q;
（2）任意奇数的平方还是奇数;
（3）每个平行四边形都是中心对称图形.
解:（1）Z,Q;
（2）存在一个奇数,它的平方不是奇数;
（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.
例4.
写出下列命题的否定:
（1）有些三角形是直角三角形;
（2）有些梯形是等腰梯形;
（3）存在一个实数,它的绝对值不是正数.
解:（1）所有的三角形都不是直角三角形;
（2）所有的梯形都不是等腰梯形;
（3）任意一个实数,它的绝对值是正数.
例5.
写出下列命题的否定,并判断真假:
（1）任意两个等边三角形都相似;
（2）R,.
解:（1）该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.
∵任意两个等边三角形的三边对应成比例
∴任意两个等边三角形都相似.
∴该命题的否定为假命题;
（2）该命题的否定:R,.
∵对任意R恒成立
∴该命题的否定为真命题.
例6.
写出下列命题的否定,并判断真假:
（1）R,一元二次方程有实数根;
（2）每个正方形都是平行四边形;
（3）N,N;
（4）存在一个四边形ABCD,其内角和不等于.
分析:
要先判断原命题是全称量词命题还是存在量词命题,任何给出正确的否定.
解:（1）R,一元二次方程没有实数根.
∵对R恒成立
∴一元二次方程总有两个不相等的实数根
∴该命题的否定为假命题;
（2）存在一个正方形不是平行四边形.是假命题;
（3）N,N.
∵当时,N
∴该命题的否定为假命题;
（4）任意一个四边形ABCD的内角和等于.是真命题.
（或所有的四边形ABCD的内角和等于）
例7.
已知命题:
,方程有解,则为
【
】
（A）,方程无解
（B）≤0,方程有解
（C）,方程无解
（D）≤0,方程有解
解析:
本题考查存在量词命题的否定.
存在量词命题:,它的否定:.存在量词命题的否定为全称量词命题.
选择答案【
A
】.
例8.
已知命题:≥3,使得是假命题,则实数的最大值是_______.
解析:
本题考查全称量词命题与存在量词命题的求参问题.
重要结论
一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
该命题的否定为:≥3,≥.
由题意可知,该命题的否定为真命题.
∴只需≥即可.
∴≤5,即实数的最大值是5.
例9.
若对≤≤2,有≤0恒成立,则实数的取值范围是__________.
解析:
本题中的命题为全称量词命题,即,≤0恒成立.
由≤0得:≤恒成立,只需≤即可.
∵,∴.
∴实数的取值范围是.
例10.
命题“,≥0”的否定是
【
】
（A）,
（B）,≥0
（C）,
（D）,≥0
解析:
把量词“”变成“”,并把结论否定即可.
∴选择答案【
C
】.
五、同步练习
1.
命题“R,”的否定是
【
】
（A）R,
（B）R,
（C）R,
（D）R,
2.
命题“存在实数,使关于的方程有实数根”的否定是
【
】
（A）存在实数,使关于的方程无实数根
（B）不存在实数,使关于的方程有实数根
（C）对任意实数,关于的方程都有实数根
（D）至多有一个实数,使关于的方程有实数根
3.
命题“,都有”的否定是
【
】
（A）,都有≤0
（B）,使得≤0
（C）,使得≤0
（D）≤1,使得≤0
4.
已知命题R,,则是
【
】
（A）R,
（B）R,
（C）R,
（D）R,
5.
判断下列命题的真假,并写出命题的否定.
（1）Z,;
（2）在实数范围内,有些一元二次方程无解;
（3）正数的平方都是正数.
6.
用符号“”或“”改写下面的命题,并判断真假.
（1）实数的平方大于或等于0;
（2）存在实数,使成立;
（3）直角三角形满足勾股定理.
参考答案
1.
D
2.
B
3.
B
4.
A
5.
解:（1）真命题,该命题的否定:Z,;
（2）真命题,该命题的否定:在实数范围内,任意一个一元二次方程都有解;
（3）真命题,该命题的否定是:存在一个正数,它的平方不是正数.
6.
解:（1）R,≥0,是真命题;
（2）R,,是真命题;
（3）,满足勾股定理,是真命题.