沪科版九年级上册：21.3二次函数与一元二次方程 同步练习（word版，含答案）

21.3　二次函数与一元二次方程（加强）
1.如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，给出下列四个结论：①b2>4ac；②2a+b＝0；③a－b+c＝0；④5a）
A．②④
B．①④
C．②③
D．①③
2.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1）
A．a（x0－x1）（x0－x2）<0
B．a>0
C．b2－4ac≥0
D．x13﹒已知抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，，那么该抛物线的顶点所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4﹒下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（
）
A.没有交点
B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
5﹒二次函数y＝a(x－4)2－4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7
这一段位于x轴的上方，则a的值为（
）
A.1
B.－1
C.2
D.－2
6.如图，已知顶点为（－3，6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点
（－1，－4），则下列结论中错误的是（
）
A.b2＞4ac
B.ax2+bx+c≥－6
C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c和正比例函数y＝x的图象如图所示，则方程ax2＋(b－)x＋c＝0(a≠0)的两根和(　　)
A．大于0
B．等于0
C．小于0
D．不能确定
8．［2017·牡丹江］若将图中的抛物线y＝x2－2x＋c向上平移，使它经过点(2，0)，则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应的x的取值范围是________
9．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为________．
10.关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是______________________.
11.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.
12.已知函数y＝mx2－6x+1（m是常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
13.如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－.
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.
14．已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点坐标为(m，0)．若2＜m＜3，求a的取值范围．
15．已知抛物线y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1)．
(1)求证：不论m取何值，抛物线必与x轴相交于两点；
(2)试探究：不论m取何值，抛物线必经过一个定点．
16．阅读下面的材料：
上课时李老师提出一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2－2x－1－a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是原不等式等价于x2－2x－1＞a，设函数y1＝x2－2x－1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
(1)请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2－2x－1－a＞0恒成立，则a的取值范围是________．
(2)参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x－4＝在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
21.3　二次函数与一元二次方程（加强）
1.B
解析
因为图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；因为对称轴为直线x＝－1，所以，即2a－b＝0，②错误；当x＝－1时，函数有最大值，从图象观察可知此时y≠0，即a－b+c≠0，③错误.运用排除法即可得出正确的答案为B．
2.
A
解析
根据题意，不能确定二次函数的图象开口方向，故选项B、D不正确；函数图象与x轴有两个交点，因此b2－4ac>0，选项C不正确；因为函数图象与x轴有两个交点，故可以将解析式整理成y＝a（x－x1）（x－x2）.因为点M在图象上且在x轴下方，所以当x＝x0时，y＝a（x0－x1）（x0－x2）<0.故选A．
3﹒已知抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，，那么该抛物线的顶点所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解答：∵抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，
∴△＝(－2)2－4a×1＜0，且a≠0，
解得：a＞1，
∴－＝＞0，＝1－＜0，
∴抛物线顶点在第四象限，
故选：D.
4﹒下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（
）
A.没有交点
B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
解答：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
∵x＝＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故选：D.
5﹒二次函数y＝a(x－4)2－4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7
这一段位于x轴的上方，则a的值为（
）
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解答：∵抛物线y＝a(x﹣4)2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y＝a(x﹣4)2﹣4（a≠0）得4a－4＝0，解得a＝1．
故选：A．
6.如图，已知顶点为（－3，6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点
（－1，－4），则下列结论中错误的是（
）
A.b2＞4ac
B.ax2+bx+c≥－6
C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1
解答：由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2－4ac＞0，则b2＞4ac，故A正确；
∵抛物线开口向上，且顶点坐标为（－3，－6），
∴函数y的最小值是－6，则ax2+bx+c≥－6，故B正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝－3，
∴点（－2，m）离对称轴的距离比点（－5，n）离对称轴距离近，
∴m＜n，故C错误；
根据抛物线的对称性可知：（－1，－4）关于对称轴对称的对称称点为（－5，－4），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1，故D正确，
故选：C.
7．A　[解析]
方程ax2＋(b－)x＋c＝0可转化为ax2＋bx＋c＝x，得到二次函数与正比例函数图象的两个交点的横坐标即为该方程的两根．不妨设这两根分别为x1，x2且x18．0＜x＜2　[解析]
先设平移后的抛物线为y＝x2－2x＋c＋b，将点(2，0)代入y＝x2－2x＋c＋b中，得到b＋c＝0，此时对应的函数为y＝x2－2x，求出它与x轴的两个交点(0，0)和(2，0)，然后结合图象确定图象在x轴下方的部分对应的x的取值范围．
9．
(1，0)，(5，0)
[解析]
关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，即抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的两个交点坐标是(－1，0)，(3，0)．抛物线y＝a(x＋m－2)2－3是将抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移2个单位得到的，故抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标是(1，0)，(5，0)．
10.关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是______________________.
解答：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根，
∴△＝(－3)2－4a×（－4）＞0，
解得：a＞－，
设y＝ax2－3x－1，则可画出图象如图，
∵实数根都在－1和0之间，
∴－1＜－＜0，
解得a＜－，
由图象可知：当x＝－1时，y＜0，当x＝0时，y＜0，
即a×(－1)2－3×(－1)－1＜0，－1＜0，
解得a＜－2，
∴－＜a＜－2，
故答案为：－＜a＜－2.
11.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.
解答：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴BE＝＝，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH＝BE＝×＝．
12.已知函数y＝mx2－6x+1（m是常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
解答：（1）令x＝0，则y＝1，
故不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的定点（0，1）；
（2）①当m＝0时，函数y＝mx2－6x+1为y＝－6x+1，
∵函数y＝－6x+1图象为一条直线，
∴此时函数图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，∵函数y＝mx2－6x+1与x轴只有一个交点，
∴方程mx2－6x+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(－6)2－4m＝0，
解得：m＝9，
综合上述，该函数的图象与x轴只有一个交点时，m的值为0或9.
13.如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－.
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.
解答：（1）设抛物线的解析式为y＝a(x+)2+k，
把（2，0），（0，3）代入上式得：，
解得：a＝－，k＝，
∴y＝－(x+)2+，即y＝－x2－x+3，
（2）令y＝0，则－x2－x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝－3，
∴B（－3，0），
①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，
即△BOC是等腰直角三角形，
∴当M点在坐标原点O处时，△MBC是等腰三角形，
∴M（0，0）；
②当BC＝BM时，在Rt△BOC中,
BO＝CO＝3，
由勾股定理得：BC＝＝3，
∴BM＝3，
∴M（3－3，0），
综合上述，点M的坐标为（0，0）或（3－3，0）.
14．解：∵y＝ax2＋(a2－1)x－a＝(ax－1)(x＋a)，
∴当y＝0时，x1＝，x2＝－a，
∴抛物线与x轴的交点为(，0)和(－a，0)．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(m，0)且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；
当a＜0时，2＜－a＜3，解得－3＜a＜－2.
综上所述：＜a＜或－3＜a＜－2.
15．解：(1)证明：由根的判别式，可得Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×2(m－1)＝4m2＋12.
∵4m2≥0，∴Δ＞0，
∴抛物线y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1)必与x轴相交于两点．
(2)y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1)＝x2－2mx－2x＋2m－2＝x2－2x－2－(2x－2)m，
∴当x＝1时，不论m取何值，y＝－3，
∴不论m取何值，抛物线必经过一个定点(1，－3)．
16．解：(1)a＜－2
(2)将原方程转化为x2－4x＋3＝a，
设y1＝x2－4x＋3，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G图象，于是原问题转化为y2＝a与G的图像有两个交点时a的取值范围．结合图象可知a的取值范围是－1＜a＜3.