江西省丰城市第九中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷（Word含答案）

数学（理科）试题
第I卷(选择题)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合，则
(
)
2、已知为虚数单位，满足,则复数所在的象限为（
）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3、已知等差数列的前n项和为,且,,则(????)
A.
0
B.
10
C.
15
D.
30
4、函数则的值为(????)
A.
B.
C.
D.
8
5、已知命题p：函数在定义域上为减函数,命题q：在中,若,则，则下列命题为真命题的是????
A.
B.
C.
D.
6、已知奇函数在R上是增函数，.若，
则的大小关系为
（
）
7、若实数x,y满足,则y关于x的函数图象的大致形状是(????)
A.
B.
C.
D.
8、在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则的取值范围是?
A.
B.
C.
D.
9、已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥
体积的最大值为（
）
11、已知P为双曲线C：上一点,,为双曲线C的左、右焦点,若,且直线与以C的实轴为直径的圆相切,则C的渐近线方程为(????)
A.
B.
C.
D.
12、已知函数与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是
（
）
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设，则的最小值为
.
14、已知，则的值为________．
15、定义在R上的函数满足当时,，则=
．
16、已知定义在R上的单调递增奇函数，若当时，恒成立，
则实数的取值范围是
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（12分）数列满足,,．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设,求数列的前n项和．
18、（12分）如图所示,在四棱锥中,底面四边形ABCD是边长为的正方形,,,点E为PA中点,AC与BD交于点O．Ⅰ求证：平面ABCD；Ⅱ求二面角的余弦值．
19、（12分）如图,在梯形ABCD中,已知,,,,,
求：的长；的面积．
20、2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速公路收费点记录了大年初三上午这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示,其中时间段记作区间,记作,记作,记作例如：10点04分,记作时刻64．
（1）估计这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
（2）为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,设抽到的4辆车中,在之间通过的车辆数为X,求X的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知,车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布,其中可用这600辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表,已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在之间通过的车辆数结果保留到整数．
参考数据：若,则；
；．
21、（12分）已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若有两个零点,求a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分.(本题10分)
22、在直角坐标系中，直线的参数方程为.在以原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.
（1）直接写出直线、曲线C的平面直角坐标方程；
（2）设曲线C上的点到直线的距离为，求的取值范围。
23、已知函数，不等式的解集为M.（1）求M；
（2）记集合M的最大元素为m，若正数满足，求证：.
答案
1、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
A
B
C
B
C
D
B
A
A
2、填空题
13、
14、
15、338
16、
3、解答题
17、Ⅰ证明：,
,
,
数列是以1为首项,以1为公差的等差数列；Ⅱ解：由Ⅰ知,,
,
,
,
,
得,
．
18、证明：底面四边形ABCD是边长为的正方形,,,
在中,,,
同理可得,
而,且BC、平面ABCD,
平面ABCD,
在中,由题意知O、E分别为AC、PA中点,
则,而平面ABCD,
平面ABCD．Ⅱ由知：平面ABCD,故可建立空间直角坐标系,如图所示,
0,,1,,,0,,
0,,1,,,
设、b,分别为平面PAB和平面PAD的一个法向量,
则,,
,,
不妨设,则2,,,
,
由图知二面角为钝二面角,
二面角的的余弦值为．
19、解：,
,．
．
在中,由正弦定理得,即,
解得．
,
,
,．
在中,由余弦定理得,
即,解得或舍．
．
20、解：（1）
这600辆车在9：：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为,即10点04分．
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中,
在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数,
即,所以X的可能取值为0,1,2,3,4．
所以,
,
,
,
,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以?．
由可得,
,
所以,
估计在9：：22这一时间段内通过的车辆数,也就是通过的车辆数,
由,得
所以,估计在9：：22这一时间段内通过的车辆数为
21、解：Ⅰ由,
可得．
当时,由,可得；由,可得,
即有在递减,在递增如右上图；
当时如右下图,
若,则恒成立,即有在R上递增；
若时,由,可得或,
由,可得,
即有在,递增,在递减；
若,由,可得或,
由,可得,
即有在,递增,在递减．Ⅱ由Ⅰ可得当时,
在递减；在递增,
?且,,；
当时或找到一个使得对于恒成立,
此时有两个零点；
当时,,所以只有一个零点；
当时,
若时,在递减,在,递增,
又,所以不存在两个零点；
当时,在,单调增,在单调减,
只有等于0才有两个零点,
函数在R上至多存在一个零点,不合题意；
当
时,在R上递增,所以至多有一个零点,不符题意．
综上可得,有两个零点时,a的取值范围为．
22、解、（1）
23、
三式相加得，
所以得证。