人教版八年级上册数学12.2全等三角形判定解答题专项练习（Word版含答案）

12.2全等三角形判定解答题专项练习
1．阅读探索题：
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．
（2）请你参考以上方法，解答下列问题：
如图2，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．
2．已知：如图，AC、BD相交于点O，AC＝BD，AB＝CD．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）若OC＝2，求OB的长．
3．已知，如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F．H是BC边上的中点，连接DH与BE相交于点G．
（1）求证：BF＝AC；
（2）求证：CE＝BF；
（3）请你根据该题的条件并结合图形，自己提出一个问题，并解答或证明你提出的问题．
4．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠ACB＝30°，∠D＝45°，求∠AEC的度数．
5．如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，DF是∠ADC的平分线，AF∥BC，连接AC，CF．求证：CA是∠BCF的平分线．
6．如图，点C在线段AE上，BC∥DE，AC＝DE，BC＝CE；延长AB分别交CD，ED于G，F．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠ACB＝65°，∠DCE＝75°，求∠FGC的度数．
7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
8．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE．
9．如图1，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，CE与BD相交于O，
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠BOC的度数；
（3）如图2，若将条件∠BAC＝∠DAE＝90°换成∠BAC＝∠DAE＝60°，其他条件不变，求∠BOC的度数
（4）若将∠BAC＝∠DAE＝60°换成∠BAC＝∠DAE＝x°，其他条件仍不变，猜想∠BOC＝　
　．（直接写出答案）
10．已知，在△ABC中，CA＝CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON＝∠A＝45°
（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN＝AM；
（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，求∠ABC的大小．
12．有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
（1）求证：AF＝EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．
①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？
②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？
13．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，连结AQ，BP相交于点O．
（1）写出图中所有的全等三角形，并选择其中一对加以证明；
（2）求∠BOQ的度数；
（3）连结OC，若OC⊥BP，求的值．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是它的角平分线，EB⊥AB于点B，且交AD的延长线于点E．
（1）如图1，求证：BD＝BE；
（2）如图2，过点E作EF⊥BC于点F，CF：BF＝5：3，BE＝10，求DF的长．
15．图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，请你利用该图形构造一个以BD所在直线为对称轴且与△ABD全等的三角形
（1）如图2，在△ABC中，∠A＝100°，∠C＝50°，BD是∠ABC的角平分线，请你判断并写出AB、AD、BC之间的数量关系　
　
（2）如图3，在△ABC中，∠C＝40°，而（1）中的其他条件不变，请你判断AD、BD、BC之间的数量关系并证明．
参考答案
1．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS）．
（2）在CB上截取CE＝CA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CAD＝∠CED＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠EDB＝30°，
即∠EDB＝∠B，
∴DE＝EB，
∵BC＝CE+BE，
∴BC＝AC+DE，
∴BC＝AC+AD．
2．（1）证明：在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
∴∠A＝∠D；
（2）由（1）知∠A＝∠D，
在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC，
∵OC＝2，
∴OB＝OC＝2．
3．证明：（1）∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF＝AC；
（2）∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE＝AC，
∴BF＝2CE，
即CE＝BF；
（3）提出问题是连接DE，则∠DEB＝45°，
证明如下：
∵∠CEB＝∠CDB＝90°，∴C，B，D，E四点共圆，
∴∠DEB＝∠CDB＝45°，
4．解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3+∠4＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠2＝∠D＝45°，
∵∠ACB＝30°，∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠4＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
5．证明：∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠CDF＝∠ADF．
又∵AD＝DC，DF＝DF，
在△ADF与△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF，
∴AF＝CF，
∴∠ACF＝∠CAF．
∵AF∥CB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴∠ACF＝∠ACB，即CA平分∠BCF
6．证明：（1）∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠CED，
在△ABC与△DCE中
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCE＝75°，
∵∠ACB＝65°，
∴∠A＝∠D＝180°﹣75°﹣65°＝40°，
∴∠FBC＝∠A+∠ACB＝40°+65°＝105°，
∵BC∥DE，
∴∠DFB＝∠FBC＝105°，
∴∠FGC＝∠D+∠DFB＝40°+105°＝145°．
7．（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∴△OEF为等腰三角形．
8．证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ABC＝∠DCB．
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴AE＝DE．
9．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
（2）解：如图1中，设AC交BD于H．
∵△BAD≌△CAE，
∴∠HCO＝∠HBA，
∵∠BHA＝∠CHO，
∴∠COH＝∠HAB＝90°．
（3）如图2中，易证△BAD≌△CAE，
∴∠HCO＝∠HBA，
∵∠BHA＝∠CHO，
∴∠COH＝∠HAB＝60°．
（4）同法可证△BAD≌△CAE，
∴∠HCO＝∠HBA，
∵∠BHA＝∠CHO，
∴∠COH＝∠HAB＝x°．
故答案为x°．
10．解：（1）连接OC，在AM上截取AQ＝CN，连接OQ，
∵O为CA、CB的垂直平分线的交点，
∴OC＝OA＝OB，
∵AC＝BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠A＝∠B＝45°，即∠ACB＝90°，
∴∠OCN＝45°，即∠OCN＝∠A＝45°，
在△AOQ和△CON中，
，
∴△AOQ≌△CON（SAS），
∴OQ＝ON，∠AOQ＝∠CON，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠AOQ+∠COQ＝90°，
∴∠CON+∠COQ＝90°，即∠QON＝90°，
又∠MON＝45°，
∴∠QOM＝45°，
在△QOM和△NOM中，
∴△QOM≌△NOM（SAS），
∴QM＝NM，
则AM＝AQ+QM＝CN+MN；
（2）MN＝AM+CN．
11．解：∵AD⊥BC，BE⊥AC（已知），
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°（垂直定义），
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴△AEF∽△BDF（两对对应角相等的两三角形相似），
∴∠FAE＝∠FBD（相似三角形的对应角相等），
在△BFD和△ACD中，
，
∴△BFD≌△ACD（AAS），
∴BD＝AD（全等三角形的对应边相等），
∴∠BAD＝∠ABD（等边对等角），
又∵∠ADB＝90°（已证），
∴∠ABC＝＝45°（三角形的内角和定理）．
12．解：（1）证明：由（x+AF）?a＝（b﹣x+b﹣AF）?a，
得AF＝b﹣x，
又EC＝b﹣x，
∴AF＝EC．
（2）翻折后的图形如图，
①如图1，当直线EE′经过原矩形顶点D时，x：b＝，
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，x：b＝；
②如图1，当矩形E′E经过原矩形顶点D时，BE′∥EF，
理由如下：根据题意得，BE＝DF，EE′＝EF，
又∵∠BEE′＝∠DEC＝∠EDF，
∴在△BEE′与△FDE中，
，
∴△BEE′≌△FED（SAS），
∴∠BE′E＝∠FED，
∴BE′∥EF；
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，且当a：b＝时，BE′与EF垂直．
13．解：（1）△ABP≌△ACQ，△ABQ≌△BCP
证明△ABP≌△ACQ
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP＝∠ACQ＝∠ABQ，AB＝AC＝BC
∵在△ABP和△ACQ中
∴△ABP≌△ACQ
（SAS）
（2）∵△ABP≌△ACQ
∴∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°
∴∠BAQ+∠ABP＝60°
∵∠BOQ＝∠BAQ+ABP
∴∠BOQ＝60°．
（3）
如图所示，过点B作BD⊥AQ交AQ于点D
由（1）知△ABQ≌△BCP（SAS）
∴∠BAD＝∠OBC
∴在△ABD和△BCO中
∴△ABD≌△BCO
（AAS）
∴AD＝BO
在Rt△BOD中，∠BOD＝60°，∠OBD＝30°
∴BO＝2OD
∴AD＝2OD
∴点O为AD的中点
∴＝
∴＝．
14．证明：（1）如图1所示：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵EB⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠E＝90°，
又∵∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠E，
又∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠E，
∴BD＝BE；
（2）过点D作DH⊥AB于H，设CF＝5x，如图2所示：
∵∠ACB＝90°，∴CD⊥AC，
又∵DH⊥AB，AD是∠BAC的角平分线，
∴CD＝DH，
又∵EF⊥BD∴∠BFE＝90°，
∴∠FEB+∠FBE＝90°，
又∵∠ABC+∠FBE＝90，
∴∠HBD＝∠FEB，
∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，
∴∠BFE＝∠BHD＝90°，
在△BHD和△EBF中，
∴，
∴△BHD≌△EBF（AAS），
∴DH＝BF，
∴CD＝BF
∵CF：BF＝5：3
∵CF＝5x，∴BF＝3x，CD＝3x，
∴DF＝CF﹣CD＝5x﹣3x＝2x，
∴BD＝BF+DF＝3x+2x═5x，
∵BE＝10，
∴5x＝10，x＝2，
∴DF＝4．
15．解：作出全等图形得（1分）
（1）BC＝AB+AD…（2分）
（2）BC＝BD+AD
证明：方法一：
在BC上截取BE＝AB，连接DE，在BC上截取BF＝BD，连接DF…（3分）
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD
在△ABD和△EBD中
AB＝BE
∠ABD＝∠CBD
BD＝BD
∴△ABD≌△EBD，
∴AD＝DE…（4分）
∠DEB＝∠A＝100°
∴∠DEC＝80°，
∵∠A＝100°，∠C＝40°
∴∠ABC＝40°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝20°
∵BD＝BF，
∴∠BFD＝80°
∠DEC＝∠BFD＝80°，
∴DE＝DF…（5分）
∵∠DFB＝80°，∠C＝40°
∴∠CDF＝40°，
∴DF＝CF
∴AD＝CF
∴BC＝BF+CF＝BD+AD…（7分）
方法二：延长BD到F，使DF＝AD，在BC上
截取BE＝AB，通过证△ABE≌△DBE和
△CDF≌△CDE得到AD＝DF；再证明BC＝BF．