人教版八年级上册数学分类（解答题）专练：12.2全等三角形判定（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学分类（解答题）专练：12.2全等三角形判定（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 229.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-29 16:37:26 | ||
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文档简介
分类（解答题）专练：12.2全等三角形判定
1．阅读探索题：
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．
（2）请你参考以上方法，解答下列问题：
如图2，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．
2．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BCE的度数．
4．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN．
（2）求∠APN的度数．
5．已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．
（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系．
6．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
7．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
8．情景观察：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形
；
②线段AF与线段CE的数量关系是
，并写出证明过程．
问题探究：
如图2，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．
求证：AE＝2CD．
9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
10．如图，已知△ABC中，AB＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
11．在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．
（1）如图1，当点B，A，E同一直线上时，且∠ABD＝30°，AE＝2，求BC的长．
（2）如图2，当F是中点时，求证：AE⊥CE．
12．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．
（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；
（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG．若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC．
13．如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．
14．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：AC＝AO+AP．
15．如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝α．
（1）如图1，当α＝60°时，∠BCE＝
；
（2）如图2，当α＝90°时，试判断∠BCE的度数是否发生改变？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；
（3）如图3，当α＝120°时，则∠BCE＝
．
16．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA＝CB且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，问EF＝BE﹣AF，成立吗？说明理由．
（2）将（1）中的已知条件改成∠BCA＝60°，∠α＝120°（如图2），问EF＝BE﹣AF仍成立吗？说明理由．
（3）若0°＜∠BCA＜90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF＝BE﹣AF仍然成立．你添加的条件是
．（直接写出结论）
参考答案
1．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS）．
（2）在CB上截取CE＝CA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CAD＝∠CED＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠EDB＝30°，
即∠EDB＝∠B，
∴DE＝EB，
∵BC＝CE+BE，
∴BC＝AC+DE，
∴BC＝AC+AD．
2．（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵△CFD≌△BGD，
∴GD＝DF，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BG+CF＞EF．
3．（1）证明：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
（2）解：∵∠ABD＝∠EDC＝30°，∠A＝135°，
∴∠1＝∠2＝15°，
∵DB＝DC，
∴∠DCB＝＝75°，
∴∠BCE＝75°﹣15°＝60°．
4．证明：（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°．
即∠APN的度数为108°
5．解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：
∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△BAD和△ACE中
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
又DE＝AE+AD，
∴DE＝BD+CE；
（2）DE＝CE﹣BD，
同（1）可得△BAD≌△ACE，
故BD＝AE，AD＝CE，
又DE＝AD﹣AE，
∴DE＝CE﹣BD．
6．证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD
∴∠ABD＝∠ACD
（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC
∵∠ABD＝∠ACD
∴∠BAC＝∠BDC
∵∠ACB＝65°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝65°
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
7．证明：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接DF，
∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE＝FE，
∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB，
∵AB＝AC，
∴DF＝AC，
∴四边形ADCF是矩形．
8．解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB
②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE；
故答案为：AF＝2CE．
证明：线段AF与线段CE的数量关系是AF＝2CE，
∵△BCD≌△FAD，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BC＝2CE，
∴AF＝2CE；
问题探究：
证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ADG＝90°，
在△ADC和△ADG中，
，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD＝GD，即CG＝2CD，
∵∠BAC＝45°，AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBG＝90°，
∴∠G+∠BCG＝90°，
∵∠G+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG中（ASA），
∴AE＝CG＝2CD．
故答案为：①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF＝2CE；
9．（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB．
（2）①证明：∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠DBA＝∠DAB＝30°，
∴∠BDE＝30°+30°＝60°，
∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴BD＝AD，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝60°，
∵∠CDE＝∠BDE＝60°，
∴DE平分∠BDC；
②解：结论：ME＝BD，
理由：连接MC，
∵DC＝DM，∠CDE＝60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM＝CD，
∵EC＝CA，∠EMC＝120°，
∴∠ECM＝∠BCD＝45°
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME＝BD．
③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°，
所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
10．解：（1）全等，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1＝1厘米，
∵AB＝6cm，点D为AB的中点，
∴BD＝3cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，
∴PC＝4﹣1＝3cm，
∴PC＝BD．
∵∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CPQ；
（2）∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，
∴点P，点Q运动的时间为：t＝2秒，
∴vQ＝1.5cm/s；
11．略
12．（1）略
（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．
∵BE⊥AP，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAH+∠PAC＝90°，
∴∠ABE＝∠PAC，
在△ABE和△CAP中，
，
∴△ABE≌△CAP，
∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，
在△DCF和△DCP中，
，
∴△DCF≌△DCP，
∴∠DFC＝∠P，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GE＝GF，∵GM⊥EF，
∴FM＝ME，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∴AM＝CM，
在△GAH和△GAM中，
，
∴△AGH≌△AGM，
∴AH＝AM＝CM＝AC．
13．解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DC＝DB＝DA．
∴∠B＝∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE＝∠B．
∴∠FDE＝∠DCB．
∴DG∥BC．
∴∠AGD＝∠ACB＝90°．
∴DG⊥AC．
又∵DC＝DA，
∴G是AC的中点．
∴CG＝AC＝×8＝4，DG＝BC＝×6＝3．
∴S△DCG＝×CG?DG＝×4×3＝6．
（2）略
14．解：（1）连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，
在△OBD和△OCD中，
，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴OB＝OC，
又∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
又∵∠BAC＝120°，
∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴APO+∠DCO＝30°；
（2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠HAO＝∠CAD＝60°，
又∵OH⊥BP，
∴∠OHA＝90°，
∴∠HOA＝30°，
∴AO＝2AH，
又∵BO＝PO，OH⊥BP，
∴BH＝PH，
又∵HP＝AP+AH，
∴BH＝AP+AH，
又∵AB＝BH+AH，
∴AB＝AP+2AH，
又∵AB＝AC，AO＝2AH，
∴AC＝AP+AO．
15．解：（1）如图，且AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝60°
∴△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC＝60°，AD＝AE，∠BCA＝60°，
即，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝120°；
（2）如图，
过D作DF⊥BC，交CA延长线于F，
∵∠BAC＝∠FDC＝90°，
∴∠ACB＝∠DFC＝45°，
∴在直角△FDC中：DF＝DC，
又∵∠FDA+∠ADC＝∠CDE+∠ADC＝90°，
∴∠FDA＝∠CDE
又∵DA＝DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DFA＝∠BCE，
∴∠BCE＝45°；
同理，过D作DF⊥BC，AC于点F时，∠DFA＝∠BCE＝135°．
综上所述，∠BCE＝45°或∠BCE＝135°；
（3）如图，
作∠FDC＝120°，交CA的延长线于F．
∵∠ADE＝∠BAC＝120°，
∴∠FDA+∠ADC＝∠CDE+∠ADC，∠ACB＝30°，
∴∠FDA＝∠CDE，∠DFC＝∠ACB＝30°，DF＝DC，
又∵AD＝DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DCE＝∠DFA＝30°．
当点E在直线BC上方时，同法可得∠BCE＝120°，
综上所述，∠BCE＝30°或120°．
16．解：（1）EF＝BE﹣AF成立，理由为：
在△BCE中，∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∵∠BCA＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
又BC＝CA，∠BEC＝∠CFA＝90°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝BE﹣AF；
（2）EF＝BE﹣AF仍成立，理由为：
在△BCE中，∠BEC＝120°，∴∠CBE+∠BCE＝60°，
∵∠BCA＝60°，∴∠ACF+∠BCE＝60°，
∴∠CBE＝∠ACF，
又BC＝CA，∠BEC＝∠CFA＝120°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝BE﹣AF；
（3）当∠α+∠BCA＝180°时，结论EF＝BE﹣AF仍然成立．
故答案为：∠α+∠BCA＝180°．
1．阅读探索题：
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．
（2）请你参考以上方法，解答下列问题：
如图2，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．
2．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BCE的度数．
4．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN．
（2）求∠APN的度数．
5．已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．
（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系．
6．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
7．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
8．情景观察：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形
；
②线段AF与线段CE的数量关系是
，并写出证明过程．
问题探究：
如图2，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．
求证：AE＝2CD．
9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
10．如图，已知△ABC中，AB＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
11．在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．
（1）如图1，当点B，A，E同一直线上时，且∠ABD＝30°，AE＝2，求BC的长．
（2）如图2，当F是中点时，求证：AE⊥CE．
12．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．
（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；
（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG．若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC．
13．如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．
14．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：AC＝AO+AP．
15．如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝α．
（1）如图1，当α＝60°时，∠BCE＝
；
（2）如图2，当α＝90°时，试判断∠BCE的度数是否发生改变？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；
（3）如图3，当α＝120°时，则∠BCE＝
．
16．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA＝CB且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，问EF＝BE﹣AF，成立吗？说明理由．
（2）将（1）中的已知条件改成∠BCA＝60°，∠α＝120°（如图2），问EF＝BE﹣AF仍成立吗？说明理由．
（3）若0°＜∠BCA＜90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF＝BE﹣AF仍然成立．你添加的条件是
．（直接写出结论）
参考答案
1．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS）．
（2）在CB上截取CE＝CA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CAD＝∠CED＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠EDB＝30°，
即∠EDB＝∠B，
∴DE＝EB，
∵BC＝CE+BE，
∴BC＝AC+DE，
∴BC＝AC+AD．
2．（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵△CFD≌△BGD，
∴GD＝DF，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BG+CF＞EF．
3．（1）证明：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
（2）解：∵∠ABD＝∠EDC＝30°，∠A＝135°，
∴∠1＝∠2＝15°，
∵DB＝DC，
∴∠DCB＝＝75°，
∴∠BCE＝75°﹣15°＝60°．
4．证明：（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°．
即∠APN的度数为108°
5．解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：
∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△BAD和△ACE中
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
又DE＝AE+AD，
∴DE＝BD+CE；
（2）DE＝CE﹣BD，
同（1）可得△BAD≌△ACE，
故BD＝AE，AD＝CE，
又DE＝AD﹣AE，
∴DE＝CE﹣BD．
6．证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD
∴∠ABD＝∠ACD
（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC
∵∠ABD＝∠ACD
∴∠BAC＝∠BDC
∵∠ACB＝65°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝65°
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
7．证明：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接DF，
∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE＝FE，
∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB，
∵AB＝AC，
∴DF＝AC，
∴四边形ADCF是矩形．
8．解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB
②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE；
故答案为：AF＝2CE．
证明：线段AF与线段CE的数量关系是AF＝2CE，
∵△BCD≌△FAD，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BC＝2CE，
∴AF＝2CE；
问题探究：
证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ADG＝90°，
在△ADC和△ADG中，
，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD＝GD，即CG＝2CD，
∵∠BAC＝45°，AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBG＝90°，
∴∠G+∠BCG＝90°，
∵∠G+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG中（ASA），
∴AE＝CG＝2CD．
故答案为：①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF＝2CE；
9．（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB．
（2）①证明：∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠DBA＝∠DAB＝30°，
∴∠BDE＝30°+30°＝60°，
∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴BD＝AD，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝60°，
∵∠CDE＝∠BDE＝60°，
∴DE平分∠BDC；
②解：结论：ME＝BD，
理由：连接MC，
∵DC＝DM，∠CDE＝60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM＝CD，
∵EC＝CA，∠EMC＝120°，
∴∠ECM＝∠BCD＝45°
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME＝BD．
③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°，
所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．
10．解：（1）全等，理由如下：
∵t＝1秒，
∴BP＝CQ＝1×1＝1厘米，
∵AB＝6cm，点D为AB的中点，
∴BD＝3cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，
∴PC＝4﹣1＝3cm，
∴PC＝BD．
∵∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CPQ；
（2）∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，
∴点P，点Q运动的时间为：t＝2秒，
∴vQ＝1.5cm/s；
11．略
12．（1）略
（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．
∵BE⊥AP，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAH+∠PAC＝90°，
∴∠ABE＝∠PAC，
在△ABE和△CAP中，
，
∴△ABE≌△CAP，
∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，
在△DCF和△DCP中，
，
∴△DCF≌△DCP，
∴∠DFC＝∠P，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GE＝GF，∵GM⊥EF，
∴FM＝ME，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∴AM＝CM，
在△GAH和△GAM中，
，
∴△AGH≌△AGM，
∴AH＝AM＝CM＝AC．
13．解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DC＝DB＝DA．
∴∠B＝∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE＝∠B．
∴∠FDE＝∠DCB．
∴DG∥BC．
∴∠AGD＝∠ACB＝90°．
∴DG⊥AC．
又∵DC＝DA，
∴G是AC的中点．
∴CG＝AC＝×8＝4，DG＝BC＝×6＝3．
∴S△DCG＝×CG?DG＝×4×3＝6．
（2）略
14．解：（1）连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，
在△OBD和△OCD中，
，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴OB＝OC，
又∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
又∵∠BAC＝120°，
∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴APO+∠DCO＝30°；
（2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠HAO＝∠CAD＝60°，
又∵OH⊥BP，
∴∠OHA＝90°，
∴∠HOA＝30°，
∴AO＝2AH，
又∵BO＝PO，OH⊥BP，
∴BH＝PH，
又∵HP＝AP+AH，
∴BH＝AP+AH，
又∵AB＝BH+AH，
∴AB＝AP+2AH，
又∵AB＝AC，AO＝2AH，
∴AC＝AP+AO．
15．解：（1）如图，且AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝60°
∴△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC＝60°，AD＝AE，∠BCA＝60°，
即，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝120°；
（2）如图，
过D作DF⊥BC，交CA延长线于F，
∵∠BAC＝∠FDC＝90°，
∴∠ACB＝∠DFC＝45°，
∴在直角△FDC中：DF＝DC，
又∵∠FDA+∠ADC＝∠CDE+∠ADC＝90°，
∴∠FDA＝∠CDE
又∵DA＝DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DFA＝∠BCE，
∴∠BCE＝45°；
同理，过D作DF⊥BC，AC于点F时，∠DFA＝∠BCE＝135°．
综上所述，∠BCE＝45°或∠BCE＝135°；
（3）如图，
作∠FDC＝120°，交CA的延长线于F．
∵∠ADE＝∠BAC＝120°，
∴∠FDA+∠ADC＝∠CDE+∠ADC，∠ACB＝30°，
∴∠FDA＝∠CDE，∠DFC＝∠ACB＝30°，DF＝DC，
又∵AD＝DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DCE＝∠DFA＝30°．
当点E在直线BC上方时，同法可得∠BCE＝120°，
综上所述，∠BCE＝30°或120°．
16．解：（1）EF＝BE﹣AF成立，理由为：
在△BCE中，∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∵∠BCA＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
又BC＝CA，∠BEC＝∠CFA＝90°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝BE﹣AF；
（2）EF＝BE﹣AF仍成立，理由为：
在△BCE中，∠BEC＝120°，∴∠CBE+∠BCE＝60°，
∵∠BCA＝60°，∴∠ACF+∠BCE＝60°，
∴∠CBE＝∠ACF，
又BC＝CA，∠BEC＝∠CFA＝120°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝BE﹣AF；
（3）当∠α+∠BCA＝180°时，结论EF＝BE﹣AF仍然成立．
故答案为：∠α+∠BCA＝180°．