人教版数学九年级下册28.1 锐角三角函数 课时4课件（28张)

28.1 锐角三角函数
锐角三角函数
人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
知识回顾
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
∠A 的 叫做∠A的正弦，
对边与斜边的比
∠A的对边斜边=????????????????
?
即 sin A = .
A
B
C
∠A 的邻边
∠A 的
对边
斜边
知识回顾
∠A的邻边
斜边
∠A 的 叫做∠A的余弦，
即 cos A = .
邻边与斜边的比
即 tan A = .
∠A的对边
∠A的邻边
对边与邻边的比
∠A 的 叫做∠A的正切，
A
B
C
∠A 的邻边
∠A 的
对边
斜边
学习目标
2.能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．
1.进一步认识锐角正弦、余弦和正切.
课堂导入
通过前面的学习，我们知道在直角三角形中，利用三角函数可以求出相关边长和角的度数，那么，在其他图形中我们能利用三角函数解决问题吗？
新知探究
知识点：利用三角函数解决问题
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC=30°，延长 CA 至 D 点，使 AD=AB．
(1)求∠D；
(2)求tan D 的值．
D
A
C
B
解： (1) ∵ AB =AD，
∴ ∠D =∠ABD，
∵ ∠BAC =∠D +∠ABD =30°，
∴ ∠D =15°.
新知探究
解：(2)设BC=x，在Rt△ABC中，∵sin∠BAC=????????????????，
∴AB=????sin30°=2x，
∴AC=2????2?????2=3x，
∴CD=AD+AC=2x+3x=(2+3)x，
在Rt△BDC中，tanD=????????????????=????2+3????=2-3，
∴tan15°=2-3．
?
D
A
C
B
新知探究
D
A
C
B
x
x
2x
?
2x
?
tanD=????????????????=????1+2????=2?1．
?
你能用类似的方法求 tan 22.5°的值吗？
新知探究
利用参数法求锐角三角函数值
当已知锐角 α 的一个三角函数值求锐角 α 的其他三角函数值时：
1.画出锐角 α 所在的直角三角形；
2.利用已知的三角函数值，通过采用设参数的方法，并结合勾股定理表示出三角形的三条边的长；
3.根据锐角三角函数的定义求解.
新知探究
2.已知，如图，⊙O 的半径 OA=4，弦 AB= 43，求劣弧
AB 的长．
?
O
A
B
解：连接OB，过点 O 作 AB 的垂线，
垂足为点 D，则点 D 为 AB 的中点，
∵ AB=43?，∴AD=23?，
在Rt△OAD中，sin∠AOD=????????????????＝234＝32，
∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，
∴劣弧AB的长=120×????×4180=83?π．
?
D
新知探究
3.如图，钝角三角形 ABC 中，AC=12 cm，AB=16 cm，sinA
=13 ．求 tan B 的值．
?
A
C
B
D
解：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 D，
在Rt△ACD中，sinA=????????????????＝????????12＝13，
∴CD =4cm，则 ????????=????????2?????????2=82cm，
则 BD =AB-AD =16-82cm，
∴在Rt△BCD中，tanB=????????????????＝416?82＝2+24．
?
新知探究
构造直角三角形求锐角三角函数值
锐角三角函数是在直角三角形的条件下定义的，因此当题目要求某一个锐角的三角函数值时,要先观察这个锐角是否在某一个直角三角形中,当这个锐角不在直角三角形中时，一般可以先通过作辅助线构造与该角有关的直角三角形，再利用锐角三角函数的定义进行求解.
新知探究
求一个锐角的三角函数的实质是求什么？
实质是求边长的比.
可以转化为边长的比.
已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件？
跟踪训练
如图，已知钝角三角形 ABC，点 D 在 BC 的延长线上，连接 AD，若∠ACB =2∠D，AD =2，AC= 32 ，求 sin D 的值.
?
B
A
D
C
B
A
D
C
跟踪训练
解：过点 C 作 CH⊥AD 于点 H.
∵ ∠ACB =2∠D，∠ACB =∠D +∠CAD，
∴ ∠D =∠CAD，
∴ CD =AC =32，AH =HD =1，
∴ CH = ????????2?????????2=322?12=52 ，
?
sin D = ????????????????=5232=53.
?
H
随堂练习
1.如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sin A 的值为（ ）
D
????
?
????????
?
A.12
?
B.55
?
C.1010
?
D.255
?
B
本题源自《教材帮》
在网格中求锐角三角函数值的方法
在网格中求某一锐角的三角函数值时，先借助网格的特点，利用勾股定理求出三角形的各边长，然后利用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形.若是，再利用锐角三角函数的定义求出三角函数值；若不是，则需作辅助线构造直角三角形.当锐角所在的直角三角形的各边不能求出时，可利用等角转换法进行求解.
随堂练习
随堂练习
2.如图是墙壁上在 l1，l2 两条平行线间边长为 a 的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为 α ，则两条平行线间的距离为( )
A．asinα
B．asinα+acosα
C．2acosα
D．asinα-acosα
B
D
C
A
随堂练习
解：过 B 作 EF⊥l1于点 E，EF⊥l2于点 F ，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB=BC=a，∠ABC =90°，
∴∠ABE +∠CBF =∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠AEB=∠BFC=90°，
∴△ABE≌△BCF (AAS)，
∴ BE =CF，
F
E
B
D
C
A
随堂练习
在 Rt△BCF 中，BF =a·sinα，CF=a·cosα，
∴ BE =a·cosα，
∴ EF=BE+BF=asinα+acosα，
即两条平行线间的距离为 asinα+acosα .
F
E
B
D
C
A
随堂练习
3.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=43，则CD的值为.
?
O
4
3
2
5
在Rt△OCD中，sin O =????????????????=????????2
?
在Rt△OAB中，sin O =????????????????=35
?
65
?
2
课堂小结
求一个锐角的三角函数的实质是求边长的比.
已知一个锐角的三角函数值可以转化为边长的比.
在非直角三角形中，可以通过添加辅助线，构造直角三角形，结合三角函数解决问题.
1
2
3
对接中考
1.(2020·安徽中考)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，cosA=45，则BD的长度为( )
A. 94 B. 125
C. 154 D. 4
?
????????=????????????????????????=5
?
4
????????=????????????????????????=????????????
?
C
3
A
D
C
B
对接中考
2.(2020·菏泽中考)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点 D 为 AB 边的中点，连接 CD，若 BC =4，CD =3，则 cos∠DCB 的值为 ．
解析：过点D作DE⊥BC，垂足为点E，
∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴DE//AC，又∵点D为AB边的中点，
∴BE=EC=12BC=2，
在Rt△DCE中，cos∠DCB=????????????????=23 .
?
23
?
E
A
B
D
C
对接中考
2.(2020·菏泽中考)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点 D 为 AB 边的中点，连接 CD，若 BC =4，CD =3，则 cos∠DCB 的值为 ．
23
?
A
B
D
C
4
3
3
3
cos∠DCB= cos∠ABC=????????????????=46=23.
?
对接中考
3.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则????????????????=，tan∠APD=．
?
△ACP∽△BDP
B
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
C
A
D
P
????????????????=????????????????=31
?
3
3.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则????????????????=，tan∠APD=．
?
对接中考
DP=PF= 12 CF= 12 BF
?
B
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
C
A
D
P
E
F
tan∠APD= tan∠BPF=????????????????=2
?
2
3
课后作业
请完成课本后练习第2题.