人教版数学九年级下册28.1 锐角三角函数 课时2课件（34张)

28.1 锐角三角函数
锐角三角函数
人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
知识回顾
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
角 A 的 叫做∠A的正弦，
对边与斜边的比
∠A的对边斜边=????????
?
即 sin A = .
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
学习目标
1.认识并理解余弦、正切的概念，进而得到锐角三角函数的概念.
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
课堂导入
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比随之确定.
A
B
C
此时其他边之间的比是否
也随之确定呢？
新知探究
知识点1：锐角的余弦
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A = ∠D，∠C =∠F = 90°，则 ????????????????=???????????????? 成立吗？为什么？
?
A
B
C
D
E
F
新知探究
∵
∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴
∠B=∠E，
∴sinB = sinE，
因此
A
B
C
D
E
F
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
新知探究
如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即
A
B
C
斜边
邻边
∠A的邻边
斜边
cos A =
新知探究
1.余弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.
2.余弦是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，它只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关.
新知探究
A
B
C
4
3
图①
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
确定角的邻边和斜边
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 cosA 和 cosB 的值.
新知探究
A
B
C
13
5
图②
解：如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此
确定角的邻边和斜边
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 cosA 和 cosB 的值.
跟踪训练
1.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB =4，AC =1，则 cos B 的
值为( )
A. 154 B. 14
C. 1515 D. 41717
?
A
B
C
1
4
15
?
A
跟踪训练
2.如图，点A 为∠α 边上的任意一点，作AC⊥BC 于点C，CD⊥AB 于点D，下列用线段比表示 cos α 的值，错误的是(　　)
A. ???????????????? B. ???????????????? C. ???????????????? D. ????????????????
?
C
Rt△BDC
Rt△BCA
∠α=∠DCA，Rt△DAC
新知探究
知识点2：锐角的正切
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C = ∠F = 90°，则 ????????????????=???????????????? 成立吗？为什么？
?
A
B
C
D
E
F
新知探究
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
即 BC · DF = AC · EF ，
∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°，
∵
∴
∴
A
B
C
D
E
F
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
新知探究
如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
∠A的邻边
∠A的对边
tan A =
A
B
C
邻边
对边
新知探究
1.正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.
2.正切是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，它只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关.
新知探究
活学巧记
锐角三角函数值，正弦等于对比斜，
余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，
由于都是两边比，因此其值都为正.
新知探究
∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数.
对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以 sin A 是 A 的函数.同样地，cos A，tan A 也是 A 的函数.
由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0< cos A <1，tan A >0.
新知探究
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC =6，求 sin A，cos A，tan A 的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
因此
新知探究
A
B
C
6
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 6， sin A = 35，求 cosA、tanB 的值．
?
解：∵
又
∴
∴
跟踪训练
分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
5
分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
13
?
跟踪训练
随堂练习
1.如图，在 4×4 的小正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦值是( )
A. 2B. 255
C. 12D. 55
?
解析：设小正方形的边长为1，由图可知，
AC= 22+42 = 25 ，BC= 12+22 = 5 ，AB= 32+42 =5，
∴ AC2 +BC2 =AB2，
∴ △ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，
∴ cos∠ABC = ????????????????=55.
?
随堂练习
随堂练习
2.如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC = 2，则 tan D = .
1.直径所对的圆周角为直角；
2.同弧或等弧所对的圆周角相等.
随堂练习
2.如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC = 2，则 tan D = .
解析：如图所示，连接 BC.
∵ AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°.
又 AB =6，∴ BC =????????2?????????2=62?22=42.
∵ ∠D =∠A，∴ tan D =tan A = ????????????????=422=22 .
?
22
?
随堂练习
3.已知 α是锐角，且 cos α= 45 ，求 sin α， tan α的值.
?
3k
5k
4k
????????????????=????????
?
随堂练习
利用参数法求锐角三角函数值
当已知锐角 α 的一个三角函数值求锐角 α 的其他三角函数值时，可先画出锐角 α 所在的直角三角形，然后利用已知的三角函数值，通过采用设参数的方法，并结合勾股定理表示出三角形的三条边的长，再根据锐角三角函数的定义求解.
课堂小结
∠A的对边
斜边
sin A =
三角函数
正弦
∠A的邻边
斜边
cos A =
余弦
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
正切
对接中考
1.(2020·杭州中考)如图，在△ABC 中，∠C =90°，设∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，则( )
A.c=b·sin B
B.b=c·sin B
C.a=b·tan B
D.b=c·tan B
B
C
A
B
对接中考
2.(2018·滨州中考)在△ABC中，∠C=90°，若tanA=12，则sinB=．
?
k
5k
?
2k
????????????????=????????
?
A
B
C
255
?
对接中考
3.(2019·杭州中考)在直角三角形 ABC 中，若 2AB =AC，则cos C = ．
k
3k
?
2k
C
A
B
∠B =90°
k
5k
?
2k
C
B
A
对接中考
还有可能∠A =90°
此题容易考虑问题不全面，即只考虑到∠B =90°或∠A =90°，而漏掉另外一种情况.有效杜绝此类错误产生的方法是依据题意绘制图形.
课后作业
请完成课本后习题第1题.