人教版数学九年级下册28.2.1 解直角三角形课件（33张)

28.2.1 解直角三角形
锐角三角函数
人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
知识回顾
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系： a2+b2=_____；
(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3) 边角之间的关系：sinA=___，cosA=___，tanA=___.
如图，在Rt△ABC 中，共有六个元素(三条边，三个角)， 其中∠C=90°.
c2
90°
学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念.
2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C .在 Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =5.2 m，AB =54.5 m.
你能求出∠A 的度数吗？
新知探究
知识点1：直角三角形中的边角关系
在图中的 Rt△ABC 中，
(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
新知探究
(2) 根据 AC＝2.4，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
新知探究
解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包括求周长和面积.
新知探究
1.在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的未知元素(知二求三).
2.在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
新知探究
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)；
2.两锐角之间的关系：∠A +∠B =90°；
A
B
C
a
c
b
新知探究
3.边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=????????，sinB=∠B的对边斜边=????????，
cosA=∠A的邻边斜边=????????，cosB=∠B的邻边斜边=????????，
tanA=∠A的对边∠A的邻边=????????，tanB=∠B的对边∠B的邻边=????????.
?
A
B
C
a
c
b
1.根据下列条件，解直角三角形：
(1)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，a =20，c =202；
?
新知探究
知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
解：(1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ，
则 sinA= ????????=20202=22 ，
∴ ∠A =45°，∴ ∠B =90°-∠A =45°，∴ b =a=20.
?
根据下列条件，解直角三角形：
(2)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，a =23，b =2.
?
新知探究
解：(2)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，a =23，b =2，
∴ c =????2+????2=12+4=4.
∵ tanA = ????????=232=3 ，∴ ∠A =60° .
∴ ∠B =90°-∠A =90°-60°=30°.
?
新知探究
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角.
2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角.
已知两边解直角三角形的方法
2.根据下列条件，解直角三角形：
(1)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，b =12；
新知探究
解：(1)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
∴ ∠B =90°-∠A =60°.
∵ tanA =????????，tanA =tan30°=33，
∴ 33=????????=????12 ，∴ a =43 ，
∴ c =2a =83.
?
根据下列条件，解直角三角形：
(2)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，c=6.
新知探究
解：(2)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，
∴ ∠B =90°-∠A =30°.
∵ sinA= ???????? ，sinA =sin60° = 32 ，∴ 32=????????=????6 ，
∴ a =33.
由勾股定理得 b =????2?????2=36?27=3 .
?
新知探究
1.已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边(求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边).
已知一锐角和一边解直角三角形的方法
新知探究
已知两个角(除直角外)不能解直角三角形，因为只有角的条件时，符合条件的三角形有无数个，无法求边长.
2.已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边.
A
B
C
解：
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = ， ，
解这个直角三角形.
跟踪训练
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
20
c
a
35°
解：
跟踪训练
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，BC = 5， 试求AB 的长.
解：
设
∴ AB的长为
跟踪训练
随堂练习
1.如图，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，BC =1，tanA = 12 ，则下列判断正确的是( )
A.∠A =30°B. AC = 12
C. AB =2D. AC =2
?
D
tanA =????????????????
?
随堂练习
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AB =4，解这个直角三角形.
解： ∵ sinA= ????????????????=24=12 ，
∴ ∠A =30°，
∴∠B =90°-∠A =90°- 30° = 60°.
∵ tanB = ???????????????? ，
∴ AC =BC·tanB = 2tan 60° = 23.
?
随堂练习
3.如图所示，在△ABC 中，AB =1，AC =2，sinB =24，求 BC 的长.
?
随堂练习
解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E.
在 Rt△ABE 中，∵ sinB =????????????????=24，AB =1，
∴ AE=24 ，∴ EB =????????2?????????2=144，
在 Rt△ACE 中，AC = 2，
∴ CE =????????2?????????2 =304.
∴ BC =EB+CE = 14+304.
?
E
随堂练习
先通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解.
构造直角三角形解斜三角形问题的方法
课堂小结
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
对接中考
1.(2019·乐山中考)如图，在△ABC 中，∠B =30°，AC =2，cosC = 35，则 AB 边的长为.
?
对接中考
解析：如图，作 AH⊥BC 于点 H.
在 Rt△ACH 中，∵∠AHC =90°，AC =2，cosC =35，
∴ ????????????????=35，∴ CH =65，
∴ AH=????????2?????????2=22?652=85.
在 Rt△ABH 中，∵∠AHB =90°，∠B =30°，
∴ AB =2AH =165.
?
H
对接中考
2.(2020·鸡西中考)如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为( )
A.2 B.52 C.5 D.2
?
A
C
B
对接中考
解：如图，过A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=∠ADB=90°，
∵tanC=2=????????????????，sinB=13=????????????????，
∴AD=2DC，AB=3AD，
∵AB=3，∴AD=1，DC=12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=????????2+????????2=12+122=52．
?
D
A
C
B
对接中考
3.(2020·盐城中考)如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA=33，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD=3，求AB的长.
?
A
B
C
D
对接中考
解： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=33，
∴∠A=30°，∴∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
又∵CD=3，∴BC=????????tan30°=3，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=????????sin30°?=6．
?
A
B
C
D
课后作业
请完成课本后习题第1题.