人教版数学九年级下册28.1 锐角三角函数 课时1课件（30张)

28.1 锐角三角函数
锐角三角函数
人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
知识回顾
如图，在直角三角形 ABC 中，边、角之间有什么关系？
A
B
C
∠A+∠B=90°
AC2+BC2=AB2
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变).
2.能根据正弦概念正确进行计算.
课堂导入
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡的坡角(∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
新知探究
知识点1：已知直角三角形的边长求正弦值
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
A
B
C
30°
35 m
?
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ????????????????=12，
可得 AB = 2BC =70 (m).
?
新知探究
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求 AB.
如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
A
B
C
30°
35 m
新知探究
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 ???????? .
?
新知探究
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
因为∠A=45°，所以 AC=BC，
由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2.
所以
因此
A
B
C
45°
新知探究
当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 ????????.
?
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A' ，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
所以 ????????????′????′=????????????′????′ ，
所以 ????????????????=????′????′????′????′.
?
新知探究
任意画 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'，那么 ???????????????? 与 ????′????′????′????′ 有什么关系？
?
A
B
C
A'
B'
C'
新知探究
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
新知探究
如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A，
即 sin A = ∠A的对边斜边=????????.
?
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
新知探究
1.正弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.
2.正弦是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，只与锐角的大小有关，与三角形的大小无关.
新知探究
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和 sinB 的值.
A
B
C
4
3
图①
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
确定角的对边和斜边
新知探究
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和 sinB 的值.
A
B
C
13
5
图②
解：如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此
跟踪训练
1.在 Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =4，则 sinA = ．
A
B
C
4
5
41
?
44141
?
跟踪训练
2.在△ABC 中，已知 AC=5，BC=4，AB=3. 那么下列各式中正确的是( )
A. sin A= 45 B. sin A= 43
C. sin C= 45 D. sin C= 53
?
A
C
A
B
3
4
5
sin????=????????????????=????????
?
sin????=????????????????=????????
?
新知探究
知识点2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= 25 ，BC=2，求 sinB的值.
?
∴AB = 52BC=52×2=5.
?
∴AC = ????????2?????????2?=?52?22=?21，
?
∴sinB= ???????????????? = 215 .
?
解： 在 Rt△ABC中，∵sin A= 25，
?
∴???????????????? = 25 ，
?
AC= sinB · AB
你能发现什么规律吗？
新知探究
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，AB = c，则
BC = ck，
AC = ch.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，BC =a，则
A
B
C
a
c
AC =
AB = ，
1.在Rt△ABC 中，∠C =90°，sinA = 45 ，AC =6 cm，则 BC 的长度为( )
A.6 cmB.7 cm
C.8 cmD.9 cm
?
C
A
B
C
4k
5k
3k
????????????????=????????
?
k=2
跟踪训练
跟踪训练
2.如图，AD⊥CD，AC⊥BC，其中CD＝3，AD＝4，sin B＝
513，那么AB 的长为(　　)
A．5 B．12 C．13 D．15
?
C
3
4
5
????????=????????sin????=????????
?
随堂练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，则sin∠B的值为( )
A. 74B. 45
C. 34D. 75
?
A
B
C
4
3
7
?
A
随堂练习
2.在 Rt△ABC 中，∠C =90°，sinA = 35 ，BC =6，则 AB = ( )
A.4B.6
C.8D.10
?
D
A
B
C
3k
5k
????????????????=????????
?
k=2
随堂练习
3.如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为( )
A. ????????????????
B. ????????????????
C. ????????????????
D. ????????????????
?
Rt△ABD
∠A=∠COD，Rt△COD
∠A=∠BOE，Rt△BOE
C
A
B
C
D
E
O
随堂练习
等角转换法求锐角三角函数值
当不能直接利用定义法、参数法、构造直角三角形求锐角的正弦时，可利用等角转换法，把要求的角转化为与其相等的角.找相等角的方法有多种，可以借助平行线、等腰三角形、三角形全等(相似)和圆等知识来解决,要根据题目的条件灵活选用方法.
课堂小结
∠A的对边
斜边
sin A =
锐角的正弦
概念
应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
对接中考
1.(2020·河池中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是( )
A. 512B. 125
C. 513D. 1213
?
A
B
C
12
5
13
D
2.(2020·雅安中考)如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为( )
A. 8
B. 12
C. 63
D. 123
?
对接中考
C
????????????????=0.5
?
AB=12
????????=????????2?????????2=63
?
A
B
C
A
B
C
D
O
x
y
对接中考
3.(2016·攀枝花中考)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A的一条弦，则 sin∠OBD=( )
A. 12 B. 34
C.45 D. 35
?
3
4
5
D
同弧或等弧所对的圆周角相等.
课后作业
请完成课本后练习第1、2题.