人教版数学九年级下册28.2.2 应用举例 课时2课件（27张)

28.2.2 应用举例
锐角三角函数
人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
知识回顾
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
实际问题
数学问题
数学问题的答案
实际问题的答案
选用适当的锐角三角函数解直角三角形
学习目标
2.能运用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.
1.巩固解直角三角形的有关知识.
课堂导入
某探险者某天到达如图所示的点 A 处时，他准备估算出自己离海拔 3500 m 的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？
．
A
B
．
．
平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
三种：重叠、向上和向下．
新知探究
知识点1：解与仰俯角有关的问题
铅垂线
眼睛
视线
水平线
视线
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
新知探究
铅垂线
眼睛
视线
水平线
视线
仰角
俯角
新知探究
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高(结果取整数).
新知探究
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α =30°，β =60°. 在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD ；类似地可以求出 CD ，进而求出 BC .
新知探究
解：如图，α = 30°，β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277m.
新知探究
如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处，测得仰角为60°，已知小明的身高为 1.5 m，那么该塔有多高?(结果取整数)
D′
A
B′
B
D
C′
C
新知探究
解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，
DC= 50 m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50 m .设 AB′=x m.
D′
A
B′
B
D
C′
C
跟踪训练
如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 CD 的高度，先在教学楼的底端 A 处，观测到旗杆顶端 C 的仰角∠CAD =60°，然后爬到教学楼上的 B 处，观测
到旗杆底端 D的俯角是30°，已知教学楼 AB 高4米.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离 AD (结果
保留根号);
(2)求旗杆 CD 的高度.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离 AD (结果保留根号);
解：(1)∵在教学楼上的 B 处观测到旗杆底端 D 的俯角是30°，∴∠ADB =30°.
在Rt△ABD 中，∵∠BAD =90°，∠ADB =30°，AB =4米，
∴ AD =????????tan∠????????????=4tan30°=433=43(米).
∴教学楼与旗杆的水平距离 AD 为43 米.
?
跟踪训练
(2)求旗杆 CD 的高度.
解：(2)在 Rt△ACD 中，∵∠ADC =90°，∠CAD =60°，AD =43米，
∴ CD =AD·tan60°=43?×3=12(米).
∴ 旗杆 CD 的高度是12米.
?
跟踪训练
随堂练习
1.如图，某同学在楼房的 A 处测得荷塘一端 B 处的俯角为24°，荷塘另一端点 D 与点 C，B 在同一直线上，已知楼房 AC=32米，CD=16米，则荷塘的宽 BD 为( )(sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45．结果精确到0.1)
A．55.1?米 B．30.4?米
C．51.2?米 D．19.2?米
随堂练习
解：由题意知，∠ABC=24°，∠ACB=90°，AC=32米，
∵tan∠ABC=tan24°=????????????????，
∴BC=????????tan24°=320.45≈71.1米，
∵CD=16米，
∴BD=BC-CD=71.1-16=55.1米．
?
随堂练习
2.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α；
(2)量得测角仪的高度CD=a；
(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为
( )
A．a+btanαB．a+bsinα
C．a+????tan????D．a+????sin????
?
α
随堂练习
解析：如图，过C作CF⊥AB于点F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF=CD=a，CF=DB =b，
∵∠ACF=α，
∴tanα=????????????????=????????????????，
∴AF=btanα，
∴AB=AF+BF=a+btanα．
?
F
α
随堂练习
3.如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于( )
A. 12(3+1) m
B. 12(3?1) m
C. 6(3+1) m
D. 6(3?1) m
?
A
B
C
D
随堂练习
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴tan∠ACB=tan30°=????????????????，
∴BC=????????tan30°=3AB，
∵在Rt△ABD中，tan∠ADB=tan45°=????????????????，
∴BD=????????tan45°=AB．
∵CD=BC-BD=AB(3-1)=12，
∴AB=6(3?+1)m．
?
A
B
C
D
课堂小结
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
利用仰角、俯角解直角三角形
测量高度
测量距离
对接中考
1.(2020·长沙中考)从一艘船上测得到海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°，则船离灯塔的水平距离是( )
A．423米 B．143米
C．21米 D．42米
?
30°
42米
42÷tan30°=423
?
A
对接中考
2.(2019·广东中考)如图，某校教学楼 AC 与实验楼 BD 的水平间距 CD = 153 米，在实验楼顶部 B 点测得教学楼顶部 A 点的仰角是 30°，底部 C 点的俯角是 45°，则教学楼 AC 的高度是米(结果保留根号).
?
对接中考
解析：设过点 B 的水平线与 AC 交于点 E，如图所示.
易知在Rt△BEC 中，∠CBE =45°，BE = CD =153 米，
所以 CE =BE×tan45°=153 米.
在Rt△ABE 中，∠ABE =30°，BE = 153 米，
所以 AE = BE×tan30°=15米.
所以 AC =CE +AE =(153?+15)米.
?
E
对接中考
3.(2020·眉山中考)某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为 20 米的发射塔 AB，如图所示.在山脚平地上的 D 处测得塔底 B 的仰角为 30°，向小山前进 80 米到达点 E 处，测得塔顶 A 的仰角为60°，求小山 BC 的高度．
对接中考
解：设BC为x米，则AC=(20+x)米，
由条件知∠DBC=∠AEC=60°，DE=80米．
在Rt△DBC中，tan60°=????????????????=?????????????，则DC=3x米．
∴CE=(3x-80) 米．
在Rt△ACE中，tan60°=?????????????????=20+????3?????80?=3．
解得x=10+403?．
答：小山BC的高度为(10+403)米．
?
课后作业
请完成课本后习题第3、4题.