人教版数学九年级下册28.2.2 应用举例 课时3课件（38张)

28.2.2 应用举例
锐角三角函数
人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
知识回顾
西南
东北
东
西
北
南
西北
东南
四面八方是指哪四面？哪八方？
四面指东、南、西、北，八方指东、东南、南、西南、西、西北、北、东北.
学习目标
1.正确理解方向角、坡度的概念.
2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型，融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.
课堂导入
方向角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等都广泛使用. 你知道怎样利用方向角测量两地的距离吗？
新知探究
方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角叫做方向角.
知识点1：解与方向角有关的问题
如图所示，目标方向线 OA，OB，OC 的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西45°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向.
新知探究
例5 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处.这时，
B 处距离灯塔 P 有多远？(结果取整数)
新知探究
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC =PA·cos(90°-65°) =80×cos25° ≈ 72.505(n mile).
在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔 P 大约130 n mile．
新知探究
1.解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形.
2.方向角通常以南北方向线为主，分南偏东(或西)和北偏东(或西)，观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的.
新知探究
如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东60°，航行12海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
新知探究
解：过 A 作AF⊥BC的延长线于点 F，则 AF 是点 A 到 BC 的 最短距离.
∵BD//CE//AF，
∴∠DBA =∠BAF =60°，∠ACE =∠CAF =30°，
∴∠BAC =∠BAF-∠CAF =60°-30°=30°.
又∵∠ABC =∠DBF-∠DBA = 90°-60°=30°=∠BAC，
∴ BC =AC =12海里，
∴AF =AC·cos30°=63 (海里)，
63 ≈10.392＞8，
故没有触礁的危险．
?
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
新知探究
解决暗礁影响类问题的方法
求解是否触礁的问题时，一般都是求出暗礁中心到航线的距离，将这个距离与暗礁半径比较大小，距离小于或等于半径有危险，距离大于半径没有危险.台风、噪声影响等其他类似问题也用类似方法解决.
跟踪训练
如图，一轮船在 M 处观测灯塔 P 位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以 15 海里/时的速度匀速航行 2 小时后到达 N 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60° 方向，若该轮船继续向南航行至灯塔 P 最近的位置 T 处，此时轮船与灯塔之间的距离 PT 为 海里(结果保留根号).
解析：由题意得，MN =15×2=30(海里).
∵ ∠PMN =30° ，∠PNT = 60°，
∴ ∠MPN =∠PMN = 30°，
∴ PN =MN =30 海里.
∵ 该轮船继续向南航行至 T 处距灯塔 P 最近，
∴ PT⊥MT，
∴ PT =PN·sin∠PNT=153海里.
?
跟踪训练
新知探究
知识点2：解与坡度有关的问题
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
A
B
C
如何用数量来表示哪条路陡呢？
新知探究
坡面与水平面的夹角叫做坡角，一般用字母 α，β，γ 表示 .
坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，通常用 i 表示， 即 i = h : l .
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
1.坡度不是角的度数，它是坡角的正切值，即 i =tanα；
2.坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
新知探究
1.如图，一山坡的坡度为 i=1:2.小刚从山脚 A 出发， 沿山坡向上走了 240 m 到达点 C.这座山坡的坡角约是多少度？小刚上升了约多少米？(角度精确到 0.01°，长度精确到0.1 m)
i=1:2
A
B
C
新知探究
在 Rt△ABC 中，∠B =90°，∠A =26.57°，AC =240 m，
解：
用 α 表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°.
即这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升了约 107.3 m．
从而 BC =240×sin26.57°≈107.3(m)．
因此
i=1:2
A
B
C
α
新知探究
2.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i1=1∶3，斜坡 CD 的坡度 i2=1∶2.5，求：
(1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i2=1:2.5
23
6
α
i1=1:3
解： 斜坡 CD 的坡度 i2= tanα = 1 : 2.5=0.4，
由计算器可算得 α ≈ 22°.
故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
新知探究
解：分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为点 E、 F，由题意可知 BE=CF=23 m ， EF=BC=6 m.
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1 m).
E
F
A
D
B
C
23
6
α
i1=1:3
i2=1:2.5
在 Rt△ABE 中，
1
新知探究
=69+6+57.5=132.5 (m).
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
故坝底 AD 的长度为 132.5 m，斜坡 AB 的长度约为 72.7 m.
E
F
A
D
B
C
i2=1:2.5
23
6
α
i1=1:3
在 Rt△DCF 中，同理可得
2
如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE，DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α =45°，坡长 AB =62 米，背水坡 CD 的坡度 i=1:3( i 为 DF 与 FC 的比值)，则背水坡 CD 的坡长为米.
?
跟踪训练
解析：迎水坡 AB 的坡角 α=45°，坡长 AB =62米，
∴ AE =AB·sinα=62?×sin45°=6(米).
∵ 背水坡 CD 的坡度 i=1: 3( i 为 DF 与 FC 的比值)，
∴ tanC =13=33，
∴ ∠C =30°，
∴ CD =2DF =2AE =12米.
?
跟踪训练
随堂练习
1.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP=63千米，则A，B两点间的距离为( )千米．
A.4 B.43 C.2 D.6
?
随堂练习
解析：由题意知，∠PAB=30°，∠PBC=60°，
∴∠APB=∠PBC-∠PAB=60°-30°=30°，
∴∠PAB=∠APB，∴AB=PB，
在Rt△PAC中，∵AP=63千米，
∴PC=12PA=33千米，
在Rt△PBC中，∵sin∠PBC=????????????????，
∴PB=????????sin60°?=3332?=6千米．
?
随堂练习
2.为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从 A 处滑下，经缓冲区 EF 之后，滑向 C 处，已知 AB⊥BD 于点 B，CD⊥BD 于点 D，AB =2CD，BD = 13 m，缓冲区EF =3 m，斜坡轨道 AE 的坡度 i =1：2，斜坡轨道 FC 的坡角为 37°，其中 B、E、F、D 在同一直线上，则 AB 的长度约为( )
(参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)
A．3.55 m B．3.75 m
C．3.95 m D．4.15 m
A
D
C
B
E
F
随堂练习
解析：∵AB=2CD，∴设CD=x，则AB=2x，
∵tan37°≈0.75，
∴????????????????=?????????????=0.75，则DF=43x，
∵斜坡轨道AE的坡度i=1：2，
∴BE=2AB=4x，
故BD-EF=BE+FD=13-3=4x+43x，
解得x=158，故AB=2× 158?=154?=3.75(m)．
?
A
D
C
B
E
F
随堂练习
3.为了维护海洋权益，国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我国两艘海监船刚好在我国某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB=60(6+2)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120(6?2)海里．
?
随堂练习
(1)分别求出 A 与 C 及 B 与 C 的距离 AC、BC；(结果保留根号)
解：(1)如图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
可得∠ACE =30°，∠BCE =45°，
设 AE =x 海里，
则在 Rt△ACE 中，CE =3x 海里，AC =2x 海里，
在 Rt△BCE 中，BE =CE =3x 海里，BC =6x 海里.
∵ AB =AE +BE，∴ x+3x=60(6+2)，
解得 x =602.
∴ AC =1202 海里，BC = 1203 海里.
?
E
随堂练习
(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我国 A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？
(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
?
解：(2)如图，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，
则∠DAF =60°.
在Rt△AFD 中，DF =DA·sin 60°=32DA，
∴ DF =32?×120( 6?2 )=60( 32?6)≈106.8(海里)> 100 海里，
∴ 无触礁危险.
?
F
课堂小结
解直角三角形的应用
方向角问题
坡度问题
坡角
坡度(或坡比)：
1.(2019·长沙中考)如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 n mile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是( )
A.303 n mile
B.60 n mile
C.120 n mile
D. (30+303) n mile
?
对接中考
对接中考
解析：如图，设过点 C 的水平线与 AB 交于点 D.
由题意易知，∠ACD =30°，∠BCD =45°，AC =60 n mile.
在 Rt△ACD 中，sin∠ACD =????????????????，cos∠ACD =?????????????????，
∴AD =AC·sin∠ACD =30 n mile，
CD =AC·cos∠ACD = 60×32=303(n mile).
在 Rt△DCB 中，易知∠B =∠BCD =45°，
∴ BD =CD =303 n mile，
∴ AB =AD+BD =(30+303)n mile.
?
对接中考
2.(2020·仙桃市中考)如图，海中有个小岛 A，一艘轮船由西向东航行，在点 B 处测得小岛 A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距 20 海里，继续航行至点 D 处，测得小岛 A 在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离 AD 为 海里．
A
B
D
北
东
45°
60°
对接中考
解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，
根据题意可知：
∠BAC=∠ABC=45°，∠ADC=30°，AB=20，
在Rt△ABC中，AC=BC=AB·sin45°=20×22=102，
在Rt△ACD中，∠ADC=30°，
∴AD=2AC=202(海里)．
?
C
A
B
D
北
东
45°
60°
对接中考
3.(2020·泰安中考)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC//AD，BE⊥AD，斜坡 AB 长 26 m，斜坡 AB 的坡比为 12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持
坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC 至少向右移
m时，才能确保山体不滑坡．
(取tan50°=1.2)
A
E
D
C
B
对接中考
解：在BC上取点F，使∠FAE=50°，过点F作FH⊥AD于点 H，
∵BF//EH，BE⊥AD，FH⊥AD，
∴四边形BEHF为矩形，
∴BF=EH，BE=FH，
∵斜坡AB的坡比为12：5，
∴????????????????=125，
?
F
H
A
E
D
C
B
对接中考
设BE=12x，则AE=5x，
由勾股定理得，AE2+BE2=AB2，即(5x)2+(12x)2=262，
解得x=2，
∴AE=10，BE=24，∴FH=BE=24，
在Rt△FAH中，tan∠FAH=????????????????，
∴AH=????????tan50°=20，∴BF=EH=AH-AE=10，
∴至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡.
?
F
H
A
E
D
C
B
课后作业
请完成课本后习题第5、9题.