人教版数学九年级下册28章 锐角三角函数小结 课时2课件（34张)

锐角三角函数
人教版-数学-九年级-下册
知识梳理-重点解析-深化练习
28 小结课
知识梳理
解直角三角形
定义
依据
(a，b为直角边，c为斜边)
勾股定理：a2+b2=c2
两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
边角之间的关系：
sinA= ????????，sinB= ????????，cosA= ????????，cosB= ????????，tanA= ????????，tanB= ????????
?
在直角三角形中，由除直角外的两个已知元素(至少有一条边)，求出其余未知元素的过程
知识梳理
解直角三角形的基本类型
已知两边
已知一边和一锐角
两直角边
斜边及一直角边
一锐角及其邻边
一锐角及其对边
一锐角与斜边
知识梳理
解直角三角形的应用
解与仰角、俯角有关的实际问题
解与方向角有关的实际问题
解与坡角有关的实际问题
解与生活有关的其他实际问题
知识梳理
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边．
三边关系：___________；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝____ ，cosA＝sinB ＝ ，
tanA＝ ，tanB＝ .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B　
5. 解直角三角形
知识梳理
(2) 直角三角形可解的条件
解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素．
(3)直角三角形的解法
①知一边一锐角：先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边，用正切求
知识梳理
另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；
②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；
③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
知识梳理
(1) 仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
6. 三角函数的应用
铅垂线
眼睛
视线
水平线
视线
仰角
俯角
知识梳理
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方向角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方向角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
知识梳理
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，有 i = tan α.
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i =1∶6.
显然，坡度越大，坡角 α 就越大，
坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度.记作 i，即 i = .
(3) 坡度，坡角
知识梳理
将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
得到数学问题的答案；
得到实际问题的答案．
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
1
2
3
4
重点解析
重难点4：解直角三角形
1.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC= 35 .
(1) 求 DC 的长；
?
A
B
C
D
5k
3k
????????????????=????????
?
k=2
5k
2k
重点解析
又 BC－CD＝BD，
解得 k =2， ∴ CD = 6.
A
B
C
D
解：在Rt△ACD中，cos∠ADC= ????????????????=35，
设 DC =3k，则 AD =5k，
?
重点解析
(2) 求 sinB 的值．
解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABC中，
A
B
C
D
重点解析
2.已知：如图，Rt△AOB 中，∠O＝90°，以 OA 为半径作⊙O，BC 切⊙O 于点 C，连接 AC 交 OB 于点 P.
(1) 求证：BP＝BC；
重点解析
解：连接OC.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OCA＋∠BCA＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＋∠BCA＝90°，
∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，
∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BP＝BC.
重点解析
解：延长 AO 交⊙O 于点 E，连接 CE，
在 Rt△AOP 中，∵sin∠PAO＝ 13 ，
设OP＝x，则 AP＝3x，
∴AO＝ 22x，AC =3x+7，
∵AO＝OE，∴OE＝ 22x，
∴AE＝ 42x.
?
(2) 若 sin∠PAO＝ 13 ，且 PC＝7，求⊙O 的半径．
?
E
直径所对的圆周角为直角.
重点解析
∵ sin∠PAO＝13， ∴ cos∠PAO ＝223，
∴在 Rt△ACE中，cos∠CAE＝????????????????=223，
∴ 3????+742????=223 ，解得 x＝3，
∴AO＝ 22x＝62 ，即⊙O 的半径为 62 .
?
(2) 若 sin∠PAO＝ 13 ，且 PC＝7，求⊙O 的半径．
?
E
重点解析
重难点5：三角函数的应用
1.如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β=45°．若原坡长 AB =20 m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号)
A
D
C
B
E
α
β
重点解析
解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，
在 Rt△ABF 中，
∠ABF =∠α=60°，
则 AF=AB·sin60°= 103 (m)，
在 Rt△AEF 中，∠E=∠β=45°，
则 ????????=????????sin45°=106 (m).
故改造后的坡长 AE 为 106m.
?
F
A
D
C
B
E
α
β
重点解析
2.如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端B的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度.(结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，
tan48°≈1.11， 3 ≈1.73)
?
重点解析
解：如图，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H，
则四边形 DHCG 为矩形．
故 DG=CH，CG=DH，DG∥HC，
∴∠DAH=∠FAE=30°，
在 Rt△AHD 中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH= 33 ，
∴CG=3，
?
G
H
重点解析
设 BC 为 x，在 Rt△ABC 中，
????????=????????tan∠????????????=????1.11 ，
?
在 Rt△BDG 中，∵ BG=DG · tan30°，
∴
∴
解得 x ≈13，
∴大树的高度约为 13 米.
G
H
重点解析
3.如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h 和 36 km/h，经过 0.1 h，轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得∠DBO=58°，此时 B 处
距离码头 O 多远？(参考数据：sin58°≈0.85，
cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
重点解析
解：设 B 处距离码头 O x km，
在Rt△CAO 中，∠CAO=45°，
∴CO=AO · tan∠CAO=(45×0.1+x)· tan45°=4.5+x，
在Rt△DBO中，∠DBO=58°，

∴DO=BO · tan∠DBO=x · tan58°，
∵DC=DO－CO，
∵tan∠CAO = ，
∵tan∠DBO = ，
重点解析
∴36×0.1=x · tan58°－(4.5+x)，
此时 B 处距离码头 O 约13.5 km.
∴
深化练习
1.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3 .点 D 为 BC 边上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC 的周长 (结果保留根号).
?
深化练习
∴ BD＝2AD＝4.
∴ BC＝BD＋DC＝5.
解：在 Rt△ADC 中，
在 Rt△ABC 中，
∴ △ABC 的周长为 AB＋BC＋AC
深化练习
2.如图，AB 为⊙O 的直径，且弦 CD⊥AB 于点 E，过点 B 的切线与 AD 的延长线交于点 F．若cos∠C = 45 ，DF=3，
求⊙O 的半径．
?
深化练习
解：连接 BD．
在⊙O 中，∠C =∠A，
∵BF 是⊙O 的切线，∴∠ABF=90°．
设 AB=4x，则 AF=5x，
由勾股定理得，BF=3x．
∵AB是⊙O 的直径，∴BD⊥AD，
∴cosA =cosC =
∴△ABF∽△BDF，
∴⊙O的半径为
∴
深化练习
3.如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比
i=1:3 ．求加固后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号)
?
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
深化练习
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
G
H
解：作 DG⊥AB 于点 G，EH⊥AB 于点 H，
则 GH=DE=2 米，EH=DG=10 米.
(米)，
(米).
又∵AG=DG=10米，
∴ (米).
故加固后坝底增加的宽度 AF 为 米.
深化练习
4.如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为30°，在A、C 之间选择一点 B(A、B、C 三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为75°，且 AB 间的距离为 40 m．
(1) 求点 B 到 AD 的距离；
E
75°
30°
A
B
C
D
解：(1) 过点 B 作 BE⊥AD 于点 E.
在 Rt△ABE 中，∵∠A=30°，
∴BE = 12AB=20m.
?
深化练习
(2) 求塔高CD (结果用根号表示)．
解：(2)在 Rt△ABE 中，
∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，
∴DE=EB=20 m，
则 AD=AE+DE= 203+20(m)，
在 Rt△ADC 中，∠A=30°，
∴ ????????=????????2=10+103(m).
?
E
75°
30°
A
B
D
C