人教版数学九年级下册28章 锐角三角函数数学活动课件（29张PPT)

28 数学活动
锐角三角函数
人教版-数学-九年级-下册
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考
知识回顾
我们学过哪些利用相似三角形知识测量物体高度的方法？
利用影子测量物体的高度.
利用平面镜的反射测量物体的高度.
借助标杆测量物体的高度.
学习目标
1.会制作测角仪，应用制作的测角仪测量实物的高度，体会三角函数和解直角三角形在实际生活中的应用价值.
2.在实际操作中培养学生分析问题、解决问题的能力．
课堂导入
在学习了本章内容以后，你能用解直角三角形知识测量物体的高度吗？
新知探究
知识点1：制作测角仪
利用解直角三角形知识测量物体的高度，我们需要先测量角度的大小，你能用下面的物品制作一个简易的测角仪器吗？
新知探究
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，在细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角.
新知探究
如何使用测角仪呢？
将仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点（如图）.
新知探究
α = 90°-∠ABC
α = ∠ABC - 90°
测角仪上角的读数与仰角有怎样的关系？
测角仪上角的读数与俯角有怎样的关系？
新知探究
知识点2：利用测角仪测量物体的高度
怎样利用测角仪测量物体的高度呢？
A
C
M
N
E
α
新知探究
①在测点 A 安置测角仪，测得 M 的仰角∠MCE= α；
②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN=l；
③量出测角仪的高度 AC = a，可求出
MN = ME + EN = l · tanα + a.
测量底部可以到达的物体的高度步骤：
A
C
M
N
E
α
a
l
新知探究
若不能直接测出AN的长度，还有别的方法可以测出物体的高度吗？
B
D
M
N
β
A
C
α
知识梳理
测量底部不能到达的物体的高度步骤：
①在测点 A 处安置测角仪，测得此时 M 的仰角∠MCE =α；
②在测点 A 与物体之间的B处安置测角仪，测得此时 M 的仰角∠MDE =β；
A
C
B
D
M
N
E
α
β
a
知识梳理
③量出测角仪的高度 AC =BD =a，以及测点 A，B 之间的距离 AB =b.根据测量数据，可求出物体高度 MN 的方程 ，解这个方程就可以求出塔高 MN.
A
C
B
D
M
N
E
α
β
a
b
跟踪训练
如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30°，然后沿 AD 方向前行 10 m 到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角为 60° (A、B、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树的高度(结果精确到 0.1 m)．
解：设CD=x.
∴AB=AD-BD，
在Rt△BCD中，BD=
在Rt△ACD中，
即
跟踪训练
∴
随堂练习
1.如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于( )
A. 12( 3 +1) m
B. 12( 3 -1) m
C. 6( 3 +1) m
D. 6( 3 -1) m
?
????????tan30°=3????????
?
3?1????????=12
?
C
B
A
C
D
????????tan45°=????????
?
随堂练习
2.如图，某大楼 DE 的顶部竖有一块广告牌 CD，小林在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 53°，沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为45°．已知山坡 AB 的坡度为 i=1：2.4，AB =26米，AE =30米．则
广告牌 CD 的高度约为( )米.(参考数据：
tan 37°≈0.75，sin 37° ≈ 0.60，cos 37°≈0.80)
A．35 B．30
C．24 D．20
随堂练习
解：过B作BG⊥DE于点G，BH⊥EA的延长线于点H，
则BG=AH+AE，GE=BH，
在Rt△ABH 中，i=tan∠BAH=1：2.4=????????????????，
∴AH=2.4BH，
∴AB=????????2+????????2=2.6BH=26，
∴BH=10，AH=24，
∴BG=AH+AE=24+30=54，
?
G
H
随堂练习
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=54．
在Rt△ADE中，∠DAE=53°，
∴∠ADE=90°-53°=37°，
∵tan∠ADE=????????????????=tan37°≈0.75，
∴DE≈43AE≈40．
∴CD=CG+GE-DE≈54+10-40≈24(米).
?
G
H
随堂练习
3.小明为了测量一楼房AB的高度，如图，小明从楼底B出发走了10米到达一坡角(即∠DCM)为30°的斜坡的底部，再走12米到达一观测平台，测得楼顶A的仰角∠ADH为37°，则楼房AB的高度约为( )米.(参考数据：cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75，3 ≈1.7)
A．15 B．21
C．22 D．16
?
随堂练习
解：过点 D 作DN⊥BM于点 N，
则HB=DN，DH=BN，
∵∠DCN=30°，CD=12，
∴HB=DN=12CD=6，
CN=3DN=63?，
∴DH=BN=BC+CN=10+63?，
?
N
随堂练习
在Rt△ADH中，tan∠ADH=????????????????=tan37°≈ 0.75，
∴AH≈ 0.75DH ≈ 0.75×(10+63) ≈ 15.29，
∴AB=AH+HB ≈ 15.29 +6≈21(米)，
即楼房AB的高度约为21米．
?
N
MN = ME + EN = l · tanα + a.
课堂小结
测量物体的高度
底部能到达
底部不能到达
A
C
M
N
E
α
a
A
C
B
D
M
N
E
α
β
a
b
对接中考
1.(2020·温州中考)如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪的高AD为1.5米，则铁塔的高BC为( )
A．(1.5+150tanα)米
B．(1.5+ 150tan???? )米
C．(1.5+150sinα)米
D．(1.5+ 150sin???? )米
?
150tanα
1.5
A
E
对接中考
2.(2020·乐山中考)如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯 AB 的倾斜角为 30°，在自动扶梯下方地面 C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60°，A、C 之间的距离为4 m，则自动扶梯的垂直高度 BD=? m．(结果保留根号)
4 m
30°
BCsin60°
23
?
对接中考
3.(2020·重庆中考)如图，垂直于水平面的5G信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点(点 A，B，C 在同一直线上)，再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点(点 A，B，C，D，E 在同一平面内)，在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43°，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度 i=1：2.4，则信号塔 AB 的高度约为( )
(参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈ 0.73，tan43°≈ 0.93)
A．23米 B．24米
C．24.5米 D．25米
对接中考
解：过点 E 作 EF⊥CD， 交 CD 的延长线于点 F，过点 E作 EM⊥AC 于点M，
∵ 斜坡 DE 的坡度 i=1：2.4，DE=CD=78米，
∴ 设 EF =x，则 DF=2.4x．
在 Rt△DEF 中，∵ EF2+DF2=DE2，
即 x2+(2.4x)2=782，解得 x=30，
∴ EF=30米，DF=72米，
∴ CF=DF+DC=72+78=150 米．
M
F
对接中考
∵ EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴ 四边形 EFCM 是矩形，
∴ EM=CF=150米，CM=EF=30米．
在 Rt△AEM 中，∵ ∠AEM=43°，
∴ AM=EM·tan43°≈150×0.93=139.5米，
∴ AC=AM+CM=139.5+30=169.5米．
∴ AB=AC-BC=169.5-144.5=25米．
M
F
课后作业
请完成课本后习题第8题.