北师大版九年级上册数学 第3章概率的进一步认识 单元测试（Word版 含答案）

第3章
概率的进一步认识
单元测试
一．选择题
1．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为4份，另一个转盘平均分为3份，两个转盘分别标有数字；同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为5的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是5的倍数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在一个口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和能被3整除的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，小球从A口往下落，在每个交又口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．袋子中有1个红球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
7．在“众志成城，共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中，小晴和小霞分别从“A，B，C三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　）
A．6m2
B．7m2
C．8m2
D．9m2
9．从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是（　　）
A．任意选2个人，恰好生肖相同
B．任意选2个人，恰好同一天过生日
C．任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同
D．任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同
二．填空题
11．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是　
　．
12．技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为　
　．（结果要求保留两位小数）
13．某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是　
　．
14．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是　
　．
15．要考察某运动员罚篮命中率，下表是在多次测试中的统计数据：
罚进个数
80
140
293
523
613
823
罚球总数
110
182
396
701
820
1098
估计该运动员罚篮命中的概率是　
　．（结果精确到0.01）
16．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有　
　个．
17．现有5张正面分别标有数字﹣3，﹣1，1，2，4的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则一次函数y＝mx+n经过第一、二、四象限的概率是　
　．
18．2019年12月，湖北省武汉市出现多起病毒性肺炎病例，2020年1月20日，习近平总书记对新型冠状病毒感染的肺炎疫情作出重要指示，强调要把人民群众生命安全和身体健康放在第一位，坚决遏制疫情蔓延势头．全国各地的医护人员积极报名参与抗疫第一线的支援工作．重庆市某医院准备从报名的甲、乙、丙、丁四名医生中随机选择2人去支援湖北，那么乙、丙两人中至少有一人被选中的概率为　
　．
三．解答题
19．从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是　
　；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．
20．在1、2、3、4这四个数中，先任意取一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数b，组成一个点（a，b）．求组成的点（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
21．某校开展征文活动，征文主题只能从“爱国”、“敬业”、“诚信”、“友善”四个主题中选择一个，每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是　
　°．
（3）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有　
　名：
（4）学生会宣传部有七年级的2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“主题征文”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
22．为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是　
　；众数是　
　；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是　
　；
（4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
23．实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a
（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数
1，2
1，3
2，3
2个整数之和
3
4
5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数
1，2
1，3
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　
　种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　
　种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　
　种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　
　种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有　
　种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有　
　种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有　
　种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有　
　种不同的结果．
参考答案
1．A．
2．C．
3．C
4．B
5．B
6．B
7．A
8．B
9．A
10．A
11．．
12．0.99
13．
14．
15．0.75
16．7
17．：
18．
19．解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为；
答案为：；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，
∴P（化学生物）＝＝．
20．解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中组成的点（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的结果数为4，
所以组成的点（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率＝＝．
21．解：（1）调查的总人数为3÷6%＝50（人），
所以以“友善”为主题的人数为50×30%＝15（人），
条形统计图补充为：
（2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角的度数为360°×＝144°；
（3）1200×30%＝360，
所以估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名；
答案为144，360；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中“1男1女”的结果数为8，
所以恰好选中“1男1女”的概率＝＝．
22．解：（1）在72，73，74，75，76，76，79这组已经按从小到大排列好的数据中，中位数为75，众数为76；
故答案为：75，76；
（2）观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内选取A课程的有9人，所占比为，
那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x＜90范围内，选取A课程的总人数为（人）；
（3）因为学校开设了四门校本课程供学生选择，小乔随机选取一门课程，则他选中课程D的概率为；
故答案为：；
（4）因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．
23．解：探究一：
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5＝9，这2个整数之和共有9﹣3+1＝7种不同情况；
故答案为：7；
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n﹣1＝2n﹣1，这2个整数之和共有2n﹣1﹣3+1＝2n﹣3种不同情况；
答案为：（2n﹣3）；
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9﹣6+1＝4种不同情况；
故答案为：4；
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）＝3n﹣3，这3个整数之和共有3n﹣3﹣6+1＝3n﹣8种不同结果，
故答案为：（3n﹣8）；
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）＝4n﹣6，因此这4个整数之和共有4n﹣6﹣10+1＝4n﹣15种不同结果，
归纳总结：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取a个整数，这a个整数之和的最小值为1+2+…+a＝，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+（n﹣a+1）＝na﹣，因此这a个整数之和共有na﹣﹣+1＝a（n﹣a）+1种不同结果，
答案为：[a（n﹣a）+1]；
问题解决：
将n＝100，a＝5，代入a（n﹣a）+1得；5×（100﹣5）+1＝476，
答案为：476；
拓展延伸：
（1）设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，
a（36﹣a）+1＝204，解得，a＝7或a＝29；
答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；
（2）根据上述规律，从（n+1）个连续整数中任取a个整数，这a个整数之和共有[a（n+1﹣a）+1]种不同的结果，
答案为：[a（n+1﹣a）+1]．