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长安五中2021届高三上学期第一次月考
文科数学试卷
一、单选题
1.
已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（
）
A.
B.
1
C.
D.
i
2.
用反证法证明“若，则全不为0”时，假设正确的是(
)
A.
中只有一个为0
B.
至少一个不为0
C.
至少有一个为0
D.
全为0
3.
余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（
）
A.
结论不正确
B.
大前提不正确
C.
小前提不正确
D.
全不正确
4.
在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（
）
A.
100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B.
1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C.
在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D.
在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
5.
判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是（
）
A.
残差
B.
独立性检验
C.
等高条形图
D.
回归分析
6.
某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（
）
A.
B.
C.
D.
7.
用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（
）
A.
B.
C.
D.
8.
若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（
）
A.
E
B.
F
C.
G
D.
H
9.
若变量之间是线性相关关系，则由数据表得到的回归直线必过定点（
）
A.
B.
C.
D.
10.
对于相关系数，下列说法中正确的是（
）
A.
越大，线性相关程度越强
B.
越小，线性相关程度越强
C.
越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D.
，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱
11.
下面几种推理是合情推理的是( )?
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是
③由,满足,推出是奇函数;
④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是.
A.
①②④
B.
①③④
C.
②④
D.
①②
12.
《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则m，n满足的关系式为（
）
A.
n
=2m-1
B.
n=2(m-1)
C.
n=(m-1)2
D.
n=m2
-1
二、填空题
13.
把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，事件“第一次出现正面”，事件“第二次出现正面”，则______.
14.
下面是一个列联表:
总计
总计
其中处填的值分别为________________．
15.
面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量（千箱）与单位成本（元）的资料进行线性回归分析，结果如下：，，，，，，则销量每增加1千箱，单位成本下降________元.
16.
某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．
三、解答题
17.
已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若，求复数以及模.
18.
已知用分析法证明：
19.
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩合格的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测.
（1）求三人都合格的概率；
（2）求三人都不合格的概率；
（3）求出现几人合格的概率最大.
20.
如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)
所表示复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
21.
某单位对其名员工的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于的人，喜食蔬菜；饮食指数高于的人，喜食肉类）.
（1）根据所给数据完成下面的列联表；
喜食蔬菜
喜食肉类
总计
35岁以上
35岁以下
总计
（2）能否有的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关？
独立性检验的临界值表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10828
参考公式：，.
22.
某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
（1）求出；
（2）利用合情推理“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
（3）求的值．____________________________________________________________________________________________
长安五中2021届高三上学期第一次月考
文科数学试卷
一、单选题
1.
已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（
）
A.
B.
1
C.
D.
i
【答案】A
【解析】
【分析】
由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.
【详解】解：∵，
∴，，
则化为，
∴z的虚部为.
故选：A
【点睛】本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.
2.
用反证法证明“若，则全不为0”时，假设正确的是(
)
A.
中只有一个为0
B.
至少一个不为0
C.
至少有一个为0
D.
全为0
【答案】C
【解析】
【分析】
把要证的结论否定之后，即得所求的反设．
【详解】解：由于“全不为0”的否定为：“、至少有一个为0”，
所以假设正确的是至少有一个为0.
故选：C．
【点睛】本题考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，即求一个命题的否定．
3.
余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（
）
A.
结论不正确
B.
大前提不正确
C.
小前提不正确
D.
全不正确
【答案】C
【解析】
【分析】
分别判断大前提、小前提、结论的正确性，选出正确的答案.
【详解】大前提：余弦函数是偶函数，这是正确的；
小前提：是余弦函数.我们把叫余弦函数，函数是余弦函数复合一个二次函数，故小前提不正确；
结论：是偶函数.
,所以结论正确，故本题选C.
【点睛】本题考查了判断三段论推理中每段推理的正确性，解题的关键是对偶函数的正确理解.
4.
在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（
）
A.
100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B.
1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C.
在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D.
在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
【答案】D
【解析】
【分析】
根据独立性检验的概念判断．
【详解】A.独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，A错；
B.与概率的含义不同，有99%把握不能说明有99%的可能，B错；
C.
独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，C错；
D.
独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，D正确．
故选：D.
【点睛】本题考查独立性检验，掌握独立性检验的概念是解题关键．独立性检验只是说明有把握，不是可能性．
5.
判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是（
）
A.
残差
B.
独立性检验
C.
等高条形图
D.
回归分析
【答案】B
【解析】
【分析】
由独立性检验的概念，即可得出结论.
【详解】用独立性检验考查两个分类变量是否有关系时，算出随机变量的值越大，说明"X与Y有关系"成立的可能性越大.
故选：B.
【点睛】本题考查了独立性检验的概念，属于基础题.
6.
某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中条件求出的值，然后再根据至少进入一个社团的概率求出.
【详解】由题知三个社团都能进入的概率为，
即，
又因为至少进入一个社团的概率为，
即一个社团都没能进入的概率为，
即，
整理得.
故选：C
【点睛】本题考查了相互独立事件概率计算问题，属于基础题.
7.
用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数即可．
【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推：组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2．
故选D．
【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题．
8.
若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（
）
A.
E
B.
F
C.
G
D.
H
【答案】C
【解析】
【分析】
由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.
【详解】由，所以，对应点.
故选：C
【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
9.
若变量之间是线性相关关系，则由数据表得到的回归直线必过定点（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
分析】
由于回归直线过中心点，所以只要计算出两个变量的平均数即可.
【详解】解：因为
所以回归直线必过定点
故选：C
【点睛】此题考查的是线性回归方程，回归直线恒过中心点，属于基础题
10.
对于相关系数，下列说法中正确的是（
）
A.
越大，线性相关程度越强
B.
越小，线性相关程度越强
C.
越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D.
，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱
【答案】D
【解析】
分析】
由相关系数与线性相关程度的关系逐一判断即可.
【详解】解：对于选项A，越大，线性相关程度越强，即A错误；
对于选项B，越小，线性相关程度越弱，即B错误；
对于选项C，越大，线性相关程度越强，越小，线性相关程度越弱,
即C错误；
对于选项D，，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱，即D正确，
故选：D.
【点睛】本题考查了相关系数与线性相关程度的关系，属基础题.
11.
下面几种推理是合情推理的是( )?
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是
③由,满足,推出是奇函数;
④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是.
A.
①②④
B.
①③④
C.
②④
D.
①②
【答案】A
【解析】
【分析】
由归纳推理，类比推理，演绎推理的推理过程逐一检验即可得解．
【详解】解：①由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°，是归纳推理；
③由f（x）＝sinx，满足f（﹣x）＝﹣f（x），x∈R，推出f（x）＝sinx是奇函数，是演绎推理；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）?180°，是归纳推理，
故是合情推理的是：①②④，
故选A．
【点睛】本题考查了归纳推理，类比推理，演绎推理的概念，属简单题．
12.
《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则m，n满足的关系式为（
）
A.
n
=2m-1
B.
n=2(m-1)
C.
n=(m-1)2
D.
n=m2
-1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果.
【详解】由题可知：，
，
则可归纳：，
所以
故选：D
【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，仔细观察，发现特点，对选择题以及填空题，常可采用特殊值以及不完全归纳法解决问题，化繁为简，属基础题.
二、填空题
13.
把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，事件“第一次出现正面”，事件“第二次出现正面”，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出事件A的基本事件的个数，然后求出在“第一次出现正面”的前提下，“第二次出现正面”的基本事件个数，再求概率即可.
【详解】解：由题意有事件“第一次出现正面”的基本事件为正，正，正，反，共2个，
则在“第一次出现正面”的前提下，“第二次出现正面”的基本事件为正，正，共1个，
即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了条件概率，属基础题.
14.
下面是一个列联表:
总计
总计
其中处填的值分别为________________．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据联表的性质，首先求出，的值即可.
【详解】由，得，
，得.
故答案为：，.
【点睛】本题主要考查了联表中数据的性质，属于基础题.
15.
面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量（千箱）与单位成本（元）的资料进行线性回归分析，结果如下：，，，，，，则销量每增加1千箱，单位成本下降________元.
【答案】1.8182
【解析】
【分析】
由已知条件直接可得线性回归方程，根据回归系数的意可求得结果.
【详解】由已知可得，，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.8182元.
故答案为：1.8182
【点睛】此题考查回归直线的应用，属于基础题.
16.
某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．
【答案】
【解析】
设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为
，故答案为.
三、解答题
17.
已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若，求复数以及模.
【答案】（1）;（2），
【解析】
【分析】
(1)将表示为的形式，结合纯虚数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入化简为的形式，结合复数的模长公式即可求解.
【详解】(1)将代入得，因为为纯虚数,所以
解得，所以复数.
(2)由(1)知，所以，.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.
18.
已知用分析法证明：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
由分析法证明，从待证的结论出发，逐步寻求使得结论成立的条件即可.
【详解】证明：要证，
只需证，只需证，即.
因为，且成立，所以.
【点睛】本题考查了分析法，重点考查了运算能力，属基础题.
19.
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩合格的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测.
（1）求三人都合格的概率；
（2）求三人都不合格的概率；
（3）求出现几人合格的概率最大.
【答案】（1）（2）（3）一人
【解析】
【分析】
（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出三人都合格的概率.
（2）根据相互独立事件概率计算公式，计算出三人都不合格的概率.
（3）分别求得恰有人，恰有人合格的概率，结合（1）（2）求得出现恰有一人合格的概率最大.
【详解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件，显然事件相互独立，则，，.
设恰有k人合格的概率为.
（1）三人都合格的概率：
.
（2）三人都不合格的概率：
.
（3）恰有两人合格的概率：
.
恰有一人合格的概率：
.
综合（1）（2）可知最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.
【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
20.
如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)
所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
【答案】(1)
－3－2i
(2)
5－2i
(3)
1＋6i
【解析】
【分析】
（1）利用复数表示的几何意义即可求解.
（2）由向量的减法运算求出，再由复数的几何意义即可求解.
（3）由向量的加法运算求出，再由复数的几何意义即可求解.
【详解】(1)
，所以所表示的复数为－3－2i.
因为，所以所表示的复数为－3－2i.
(2)
，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)
，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义以及向量的加法、减法运算，属于基础题.
21.
某单位对其名员工的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于的人，喜食蔬菜；饮食指数高于的人，喜食肉类）.
（1）根据所给数据完成下面的列联表；
喜食蔬菜
喜食肉类
总计
35岁以上
35岁以下
总计
（2）能否有的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关？
独立性检验的临界值表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，.
【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关.
【解析】
【分析】
（1）先阅读题意，再填写列联表即可；
（2）将题设中数据代入求值，再结合独立性检验的临界值表即可得解.
【详解】解：（1）填空列联表如下所示：
喜食蔬菜
喜食肉类
总计
35岁以上
16
2
18
35岁以下
4
8
12
总计
20
10
30
（2）由题意得，，
故有的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关.
【点睛】本题考查了列联表及独立性检验，重点考查了运算能力，属基础题.
22.
某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
（1）求出；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
（3）求的值．
【答案】⑴；⑵；⑶
【解析】
【分析】
（1）根据相邻项规律求；（2）根据相邻项确定，再利用叠加法求的表达式；（3）先利用裂项相消法求不等式左边的和，再证不等式.
【详解】解:（1）∵，，，，
∴．
（2）∵，，
，
由上式规律得出．
∴，，
，，，
∴，
∴，
又时，也适合，∴，
（3）
当时，，
∴
，
∴．
【点睛】本题考查叠加法求通项以及裂项相消法求和，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.
