3.3.2 二次函数y=ax2的图象和性质（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3.2 二次函数y=ax2的图象和性质（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-28 16:40:14 | ||
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文档简介
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第三章 二次函数
3.3 二次函数y=ax2的图象于性质
第2课时
知识梳理
知识点1 二次函数y＝ax2（a≠0）的图象
一般地，二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是___________，我们把二次函数y＝ax2（a≠0）的图象叫做__________________。
注意 a≠0是二次函数y＝ax2成立的首要条件。
知识点2 二次函数y＝ax2（a≠0）图象的性质
关于二次函数y＝ax2的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来确定.下面结合图象将其性质列表归纳如下:
a值 a＞0 a＜0
图象
性质 开口
方向 开口________且_________无限延伸 开口________，且_________无限延伸
对称轴 ___________________ ______________________
顶点 顶点坐标__________，顶点是它的最________点 顶点坐标___________，顶点是它的最________点
最大
（小）值 最小值 最大值
增减性 x＞0时，y的值随x值的增大而________；x＜0时，y的值随x值的增大而___________ x＞0时，y的值随x值的增大而________；x＜0时，y的值随x值的增大而___________
考点突破
考点 二次函数y＝ax2图象的性质
典例1 已知y＝是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小。
（1）求k的值；
（2）作出该函数的图象；
（3）根据图象指出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（4）若点M（2，a）在该函数的图象上，求a的值。
思路导析: 根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2，且二次项系数不为零，另外又根据二次函数y＝ax2的性质，当且仅当抛物线开口向下时，才会在x＞0时，y的值随x值的增大而减小。
解:（1）要使y＝为二次函数，
则，解得。即k＝2或k＝－1。
又∵当x＞0时，y的值随x值的增大而减小，∴k－1＜0，即k＜1.
∴k＝－1；
（2）由（1）知，y＝－2x2，列表：
x －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5
y －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5
描点、连线:
（3）对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（4）把x＝2，代入y＝－2x2，得a＝－8.
友情提示 （1）确定字母系数的值时，要根据已知条件综合考虑。（2）解答有关函数图象的性质问题时，应根据图象去分析。
变式1 函数y＝是二次函数，且当x＞0时，y的值随x值的增大而增大。
（1）求m的值；
（2）作出该函数的图象；
（3）指出二次函数的顶点坐标和对称轴。
变式2 已知A（x1，y1），B（x2，y2）为二次函数y＝图象上的两个点，当x1＞x2＞0时，y1＞y2.求m的取值范围。
典例2 已知二次函数的图象经过点（，），且对称轴是y轴，顶点在坐标原点.
（1）求这个二次函数解析式；
（2）画出它的图象；
（3）当x＜0时，函数值随自变量的增大而怎样变化？
思路导析: 由于二次函数的对称轴为y轴，顶点在坐标原点，根据二次函数的性质，可得这个二次函数为y＝ax2（a≠0）。
解:（1）设所求二次函数解析式为y＝ax2（a≠0），∵二次函数的图象经过点（，），
∴＝a（）2，解得a＝1∴y＝x2；
（2）列表:
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点、连线得图象如下:
（3）当x＜0时，函数值随自变量的增大而减小.
友情提示 当已知某个点在抛物线y＝ax2（a≠0）上时，只要把这个点的坐标代入解析式中，便可求出a的值.
变式3 函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x－3交于点（1，b）。
（1）求a和b的值；
（2）求抛物线y＝ax2的顶点坐标和对称轴；
（3）x取何值时，二次函数y＝ax2的值y随x的增大而增大？
（4）试判断点（－1，－2）是否在抛物线上？
变式4 已知抛物线y＝－x2。
（1）判断点A（－1，），B（，－）是否在此抛物线上？
（2）若点C（，a），D（b，－）都在此抛物线上，求a，b的值；
（3）若点E（x1，y1），F（x2，y2）都在此抛物线上，且x1＞x2＞0，试比较y1与y2的大小。
巩固提高
1.在同一坐标系中，作y＝x2，y＝－x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（ ）
A.抛物线的开口方向向上
B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共顶点
2.已知m＜－－1，点（m－1，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3
3.函数y＝与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
4.抛物线y＝2x2的顶点是___________，对称轴是___________，开口向_________。当x＞0时，y的值随x值的增大而_____________。
5.在同一直角坐标系中作出二次函数:①y＝x2；②y＝－x2；③y＝2x2的图象，其中开口最大的图
象应是___________（填序号）。
6.二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是_____________，对称轴是___________，顶点坐标是__________，当a＜0时，在对称轴_______侧，y随x的增大而减小。
7.若抛物线y＝开口向下，则m＝___________。
8.对于二次函数y＝ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是___________。
9.已知一次函数y＝ax＋b的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y＝x2的图象经过A，B两点。
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积。
10.已知函数y＝是关于x的二次函数.求:
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
11.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（－1，2）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）当x＞0时，y值随x的增减情况；
（4）指出函数的最大值或最小值。
体验中考
（毕节中考）抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是（ ）
开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大
参考答案
知识梳理
知识点1:抛物线 抛物线y＝ax2
知识点2:向上 向上 向下 向下 y轴 y轴 （0，0） 低 （0，0） 高 0 0 增大 减小减小 增大
考点突破
1.解:（1）由题意，得m2＋m－4＝2，且m－1＞0由m2＋m－4＝2，得m1＝－3，m2＝2。
由m－1＞0得，m＞1，因此m＝2；
（2）图象略；
（3）二次函数的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴
2.解:∵x1＞x2＞0，y1＞y2，∴－（m－1）＞0，解得m＜1.
3，解: （1）将x＝1， y＝b代入y＝2x－3，解得b＝－1，即交点坐标是（1，－1）.
再将x＝1，y＝－1代入y＝ax2，解得a＝－1，即y＝－x2；
（2）顶点坐标为（0，0） ，对称轴为y轴（或直线x＝0）；
（3）当x＜0时，y随x的增大而增大；
（4）把x＝－1代入y＝－x2，得y＝－（－1）2＝－1≠－2，
因此点（－1，－2）不在抛物线上.
4.解:（1）点A不在抛物线上，点B在抛物线上；
（2），；
（3）y1＜y2.
巩固提高
D 2. C 3. D
坐标原点 y轴上 增大 5. ①
抛物线 y轴 （0，0） 右 7. －1 8. －
9，解:（1）y＝x＋1； （2）S△ABC＝2.
10，解:（1）m＝2或－3；
（2）当m＝2时，最低点是原点（0，0），这时当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m＝－3时，最大值为0，这时当a＞0时，y随x的增大而减小.
11.解:（1）由题意设抛物线解析式为y＝ax2，把（－1，2）代入得a＝2，
则二次函数解析式为y＝2x2.
（2）画出函数图象，如图所示；
（3）当x＞0时， y随x的增大而增大；
（4）函数的最小值为0，没有最大值.
体验中考
B
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第三章 二次函数
3.3 二次函数y=ax2的图象于性质
第2课时
知识梳理
知识点1 二次函数y＝ax2（a≠0）的图象
一般地，二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是___________，我们把二次函数y＝ax2（a≠0）的图象叫做__________________。
注意 a≠0是二次函数y＝ax2成立的首要条件。
知识点2 二次函数y＝ax2（a≠0）图象的性质
关于二次函数y＝ax2的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来确定.下面结合图象将其性质列表归纳如下:
a值 a＞0 a＜0
图象
性质 开口
方向 开口________且_________无限延伸 开口________，且_________无限延伸
对称轴 ___________________ ______________________
顶点 顶点坐标__________，顶点是它的最________点 顶点坐标___________，顶点是它的最________点
最大
（小）值 最小值 最大值
增减性 x＞0时，y的值随x值的增大而________；x＜0时，y的值随x值的增大而___________ x＞0时，y的值随x值的增大而________；x＜0时，y的值随x值的增大而___________
考点突破
考点 二次函数y＝ax2图象的性质
典例1 已知y＝是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小。
（1）求k的值；
（2）作出该函数的图象；
（3）根据图象指出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（4）若点M（2，a）在该函数的图象上，求a的值。
思路导析: 根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2，且二次项系数不为零，另外又根据二次函数y＝ax2的性质，当且仅当抛物线开口向下时，才会在x＞0时，y的值随x值的增大而减小。
解:（1）要使y＝为二次函数，
则，解得。即k＝2或k＝－1。
又∵当x＞0时，y的值随x值的增大而减小，∴k－1＜0，即k＜1.
∴k＝－1；
（2）由（1）知，y＝－2x2，列表：
x －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5
y －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5
描点、连线:
（3）对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（4）把x＝2，代入y＝－2x2，得a＝－8.
友情提示 （1）确定字母系数的值时，要根据已知条件综合考虑。（2）解答有关函数图象的性质问题时，应根据图象去分析。
变式1 函数y＝是二次函数，且当x＞0时，y的值随x值的增大而增大。
（1）求m的值；
（2）作出该函数的图象；
（3）指出二次函数的顶点坐标和对称轴。
变式2 已知A（x1，y1），B（x2，y2）为二次函数y＝图象上的两个点，当x1＞x2＞0时，y1＞y2.求m的取值范围。
典例2 已知二次函数的图象经过点（，），且对称轴是y轴，顶点在坐标原点.
（1）求这个二次函数解析式；
（2）画出它的图象；
（3）当x＜0时，函数值随自变量的增大而怎样变化？
思路导析: 由于二次函数的对称轴为y轴，顶点在坐标原点，根据二次函数的性质，可得这个二次函数为y＝ax2（a≠0）。
解:（1）设所求二次函数解析式为y＝ax2（a≠0），∵二次函数的图象经过点（，），
∴＝a（）2，解得a＝1∴y＝x2；
（2）列表:
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点、连线得图象如下:
（3）当x＜0时，函数值随自变量的增大而减小.
友情提示 当已知某个点在抛物线y＝ax2（a≠0）上时，只要把这个点的坐标代入解析式中，便可求出a的值.
变式3 函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x－3交于点（1，b）。
（1）求a和b的值；
（2）求抛物线y＝ax2的顶点坐标和对称轴；
（3）x取何值时，二次函数y＝ax2的值y随x的增大而增大？
（4）试判断点（－1，－2）是否在抛物线上？
变式4 已知抛物线y＝－x2。
（1）判断点A（－1，），B（，－）是否在此抛物线上？
（2）若点C（，a），D（b，－）都在此抛物线上，求a，b的值；
（3）若点E（x1，y1），F（x2，y2）都在此抛物线上，且x1＞x2＞0，试比较y1与y2的大小。
巩固提高
1.在同一坐标系中，作y＝x2，y＝－x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（ ）
A.抛物线的开口方向向上
B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共顶点
2.已知m＜－－1，点（m－1，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3
3.函数y＝与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
4.抛物线y＝2x2的顶点是___________，对称轴是___________，开口向_________。当x＞0时，y的值随x值的增大而_____________。
5.在同一直角坐标系中作出二次函数:①y＝x2；②y＝－x2；③y＝2x2的图象，其中开口最大的图
象应是___________（填序号）。
6.二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是_____________，对称轴是___________，顶点坐标是__________，当a＜0时，在对称轴_______侧，y随x的增大而减小。
7.若抛物线y＝开口向下，则m＝___________。
8.对于二次函数y＝ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是___________。
9.已知一次函数y＝ax＋b的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y＝x2的图象经过A，B两点。
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积。
10.已知函数y＝是关于x的二次函数.求:
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
11.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（－1，2）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）当x＞0时，y值随x的增减情况；
（4）指出函数的最大值或最小值。
体验中考
（毕节中考）抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是（ ）
开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大
参考答案
知识梳理
知识点1:抛物线 抛物线y＝ax2
知识点2:向上 向上 向下 向下 y轴 y轴 （0，0） 低 （0，0） 高 0 0 增大 减小减小 增大
考点突破
1.解:（1）由题意，得m2＋m－4＝2，且m－1＞0由m2＋m－4＝2，得m1＝－3，m2＝2。
由m－1＞0得，m＞1，因此m＝2；
（2）图象略；
（3）二次函数的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴
2.解:∵x1＞x2＞0，y1＞y2，∴－（m－1）＞0，解得m＜1.
3，解: （1）将x＝1， y＝b代入y＝2x－3，解得b＝－1，即交点坐标是（1，－1）.
再将x＝1，y＝－1代入y＝ax2，解得a＝－1，即y＝－x2；
（2）顶点坐标为（0，0） ，对称轴为y轴（或直线x＝0）；
（3）当x＜0时，y随x的增大而增大；
（4）把x＝－1代入y＝－x2，得y＝－（－1）2＝－1≠－2，
因此点（－1，－2）不在抛物线上.
4.解:（1）点A不在抛物线上，点B在抛物线上；
（2），；
（3）y1＜y2.
巩固提高
D 2. C 3. D
坐标原点 y轴上 增大 5. ①
抛物线 y轴 （0，0） 右 7. －1 8. －
9，解:（1）y＝x＋1； （2）S△ABC＝2.
10，解:（1）m＝2或－3；
（2）当m＝2时，最低点是原点（0，0），这时当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m＝－3时，最大值为0，这时当a＞0时，y随x的增大而减小.
11.解:（1）由题意设抛物线解析式为y＝ax2，把（－1，2）代入得a＝2，
则二次函数解析式为y＝2x2.
（2）画出函数图象，如图所示；
（3）当x＞0时， y随x的增大而增大；
（4）函数的最小值为0，没有最大值.
体验中考
B
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