北师大版九年级下册数学 第一章　直角三角形的边角关系素养拓展+中考真题课件（50张PPT)

第一章　直角三角形的边角关系
数学·九年级下册·北师
　　本章学习直角三角形的边角关系,重点体现了数学抽象和转化思想.数学抽象是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学产生、发展、应用的过程中,三角函数的应用就是数学抽象的典型应用.本章主要涉及两个转化:(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化分为两个方面,一是将实际问题的图形转化为几何图形,二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系;(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,构造出直角三角形.
1.[利用折叠求非特殊角的三角函数值]小明在学习“锐角的三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5°角的正切值,则tan 67.5°的值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.3+1 B.2+1
C.2.5 D.5
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答案
1.B　【解析】　由第一次折叠,可得AB=BE,且△ABE是等腰直角三角形,所以∠EAB=∠AEB=45°.设AB=BE=x(x>0),则AE=2x.由第二次折叠,可得EF=AE=2x,且△AEF是等腰三角形,∠FAE=∠AFE=12∠AEB=12×45°=22.5°,所以BF= (1+2)x,∠FAB=∠FAE+∠EAB=67.5°,故tan 67.5°=tan∠FAB=????????????????=1+2.故选B.
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2.[利用仰角、俯角构造直角三角形解决临界问题]如图,已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离AC为30 m,由地面向上依次为第1层、第2层??第10层,每层高度为3 m.假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h m,太阳光线与水平线的夹角为α.
(1)用含α的式子表示h;(不必指出α的取值范围)
(2)当α=30°时,甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层?若α每小时增加15°,则从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光?(结果精确到0.1 m.参考数据:3≈1.732)
?
答案
2.【解析】　(1)过点E作EF⊥AB于点F.
由题意知四边形ACEF为矩形,∠BEF=α,
∴EF=AC=30 m,AF=EC=h m,
∴BF=3×10-h=(30-h)(m).
在Rt△BEF中,tan∠BEF=????????????????,
∴tan α=30?h30,∴h=30-30tan α.
(2)当α=30°时,h=30-30tan α=30-30×33≈12.7(m),
∵12.7÷3≈4.2,∴B点的影子落在乙楼的第五层.
当B点的影子落在C处时,甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光.
由AB=AC=30 m,得△ABC是等腰直角三角形,
所以∠α=∠ACB=45°,45°?30°15°=1.
故从此时起1小时后,甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光.
?
3.[构造网格求锐角的三角函数值]问题呈现
如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.
问题解决
(1)直接写出图1中tan∠CPN的值为　　　　　;?
(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值;
思维拓展
(3)如图3,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接 AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.
答案
3.【解析】　(1)2
(2)如图1,连接格点A,B和B,N,
则AB∥MC,∴∠CPN=∠BAN.
在Rt△ABN中,AB=BN=5,AN=10,
∴cos∠CPN=cos∠BAN=????????????????=510=22.
(3)设BC=1,构造如图2所示的网格图,
连接格点A,D和D,N,则AD∥CM,∴∠CPN=∠DAN.
在Rt△ADN中,AD=DN=10,
∴∠DAN=∠DNA=45°,
∴∠CPN=∠DAN=45°.
?
答案
1.D
一、选择题
1.已知cosα=32,且α是锐角,则α= (　　)
A.75° B.60° C.45° D.30°
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答案
2.D　【解析】　如图,过点A作AD⊥CD于点D,根据网格可知,点D是格点,在Rt△ACD中, tan C=????????????????=43.故选D.
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2.如图,在6×6的小正方形网格中,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则tan C的值为 (　　)
A.35 B.45
C.34 D.43
?
答案
3.A　【解析】　在Rt△ABO中,AB=300米,sin α=????????????????,所以BO=300sin α米.故选A.
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3.如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了 (　　)
A.300sin α米
B.300cos α米
C.300tan α米
D.300tan?????米
?
答案
4.D　【解析】　如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ACD中,CD=CA·cosC=4×14=1, ∴AD=????????2?????????2=15.在Rt△ABD中,BD=CB-CD=3,AD=15,∴AB=????????2+????????2=26,∴sin B=????????????????=104.故选D.
?
4.[2019四川凉山州中考]如图,在△ABC中,AC=CB=4,cos C=14,则sin B的值为 (　　)
A.102 B.153
C.64 D.104
?
答案
5.A　【解析】　∵大正方形的面积是125,小正方形的面积是25,∴大正方形的边长为55,小正方形的边长为5, ∴55cosθ-55sin θ=5,∴cos θ-sin θ=55,∴(sin θ-cosθ)2=15.故选A.
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5.[2019四川绵阳中考]公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则(sin θ-cosθ)2= (　　)
A.15 B.55
C.355 D.95
?
答案
6.B　【解析】　∵AD⊥CB,∴∠ADC=∠BDA=90°,∴∠BAD+∠B=90°.∵∠CAB=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=
∠CAD,∴△ABD∽△CAD,∴????????????????=????????????????.在Rt△ACD中,tan C=????????????????=34,AD=8,∴CD=323,则AC=82+(323)2=403,由????????????????=????????????????得AB=????????·????????????????=8×403323=10.故选B.
?
6.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥CB于点D,若tan C=34,AD=8,则AB的长为 (　　)
A.325 B.10
C.403 D.12
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7.[2019重庆中考B卷]如图,AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度,小红从建筑物底端B点出发,沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处,DC=BC.在点D处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A,B,C,D,E在同一平面内).斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么建筑物AB的高度约为 (　　)
(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)
A.65.8米 B.71.8米 C.73.8米 D.119.8米
答案
7.B　【解析】　如图,过点E作EM⊥AB于点M,延长ED 交直线BC于点G.设DG=x米,则CG=2.4x米.在Rt△CDG中, DG2+ CG2=DC2,即x2+(2.4x)2=522,解得x=20,∴DG=20米,CG=48米,∴EG=20+0.8=20.8(米),BG=52+48=100(米). ∵EM⊥AB,AB⊥BG,EG⊥BG,∴四边形EGBM是矩形,∴EM=BG=100米,BM=EG=20.8米.在Rt△AEM中,∠AEM= 27°,∴AM=EM·tan 27°≈100×0.51=51(米),∴AB=AM+BM≈51+20.8=71.8(米).故选B.
8.[2019湖南长沙中考]如图,△ABC中,AB=AC=10,tan A=2,BE⊥AC于点E,点D是线段BE上的一个动点,则CD+55BD的最小值是 (　　)
A.25 B.45
C.53 D.10
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答案
8.B　【解析】　 如图,过点C作CF⊥AB于点F,交BE于点M,当点D与点M重合时,CD+55BD的值最小.∵tan A=????????????????= 2, ∴BE= 2AE.在Rt△ABE中,设AE=x(x>0),则BE=2x,根据勾股定理得AE2+BE2=AB2,即x2+(2x)2=100,解得x1=25,x2= -25(舍去), ∴sin∠ABE=????????????????=55, 则DF=55BD.∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ACF+∠FAC=90°,∴∠ABE=∠ACF,又∵AB= AC,∠AEB=∠CFA,∴△ABE≌△ACF,∴CF=BE=45.∵CF=CD+DF=CD+55BD=45,∴CD+55BD的最小值为45.
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答案
9.0　【解析】　tan 30°sin 60°-cos 45°sin 45°=33×32?22×22=12?12=0.
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二、填空题
9.计算:tan 30°sin 60°-cos 45°sin 45°=　　　　.?
答案
10. 31010　【解析】　如图,连接AE,EF,则AE∥CD,∴∠FAE=∠BOD.设小正方形的边长为1,则AF=25,EF=32.由勾股定理的逆定理知∠FEA=90°,∴sin∠BOD=sin∠FAE=????????????????=31010.
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10.[2020山东济南二模]在如图所示的正方形方格纸中,每个小正方形的边长均相等,点A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点O,则sin∠BOD的值为　　　　.?
11.如图,“人字梯”放在水平地面上(AB=AC),当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时,两梯角之间的距离BC的长为4 m.周日亮亮帮助妈妈整理衣服,先使α为60°,后又调整α为45°,则梯子顶端离地面的高度AD下降了　　　　m.?
答案
11.(23-22)　【解析】　如图1所示,当∠B=∠C=60°时,△ABC为等边三角形,即AB=AC=BC=4 m,此时AD=ABsinB= 4sin 60°=23(m).如图2所示,当∠B=∠C=45°时,AD=ABsinB=4sin 45°=22(m),故顶端距离地面的高度AD下降了(23-22)m.
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答案
12.32或34　【解析】　过点C作CE⊥AB于点E,∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=4,∴AB=2BC=8,∠B=60°, ∴BE=12BC= 2,CE=23.①如图1,当点D在AB边上时,∵AD=2,BE=2,AB=8,∴DE=AB-BE-AD=4,在Rt△DCE中,tan∠BDC=????????????????=234=32;②如图2,当点D在BA的延长线上时,DE=AE+AD=AB-BE+AD=8-2+2=8,在Rt△DCE中,tan∠BDC=????????????????=238=34.综上所述,tan∠BDC的值为32或34.
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12.在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=4,D为直线AB上的一点,若AD=2,则tan∠BDC的值为　　　　　　　.?
答案
13.【解析】　 由α是锐角,cos(α+15°)=22,得α+15°=45°,∴α=30°.
∴(12)-1+sin?????3-(π-3.14)0+|2 3-3tan 2α|
=(12)-1+sin?30°3-(π-3.14)0+|23-3tan 60°|
=2+36-1+23?33
=1+36+3
=6+736.
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三、解答题
13.已知α是锐角,且cos(α+15°)=22,求(12)-1+sin?????3-(π-3.14)0+|23-3tan 2α|的值.
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答案
14.【解析】　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠AED=∠EAB.
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠EAB,
∴∠AED=∠DAE,
14.[2019江苏扬州中考]如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.
(1)求证:∠BEC=90°.
(2)求cos∠DAE.
答案
∴AD=DE=10,
∴BC=10.
∵BE=8,CE=6,
∴BE2+CE2=BC2,
∴△BEC为直角三角形,且∠BEC=90°.
(2)∵DE=10,CE=6,
∴AB=CD=10+6=16.
∵∠ABE=∠BEC=90°,
∴AE=????????2+????????2=85,
∴cos∠EAB=1685=255,
∴cos∠DAE=255.
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15.[2019四川广元中考]如图,某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡査此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)
(1)求B,C两处之间的距离;
(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.
答案
15.【解析】　(1)如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,则∠CEA=90°.
由题意得AB=60×1.5=90(海里),∠CAB=45°,∠CBE=60°,
∴△ACE是等腰直角三角形,
∴CE=AE.
在Rt△CBE中,CE=BE·tan∠CBE=3BE,BC=????????cos∠????????????=2BE.
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答案
设BE=x海里,则CE=3x海里,AE=BE+AB=(x+90)海里,
∴3x=x+90, 解得x=453+45.
∴BC=2x=(903+90)(海里).
答:B,C两处之间的距离为(903+90)海里.
(2)如图,过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F,
由题意知,∠DBF=30°.
由(1)知DF=CE=3x=(135+453)(海里),
∴BD=????????sin∠????????????=(270+903)海里,
∴海监船追到可疑船只所用的时间为270+90390=(3+3)(时).
答:海监船追到可疑船只所用的时间为(3+3)小时.
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16.原创题某班为了培养学生的阅读习惯,在教室一角放置了一种创意书架,如图1所示.书架可看作由两个相同的平行四边形木制格子叠合而成,忽略其厚度,其平面示意图可简化为图2,测得?ABCD与?EFGH中,∠B=∠F=80°,AD= 45 cm, AB=30 cm,且BI=14 cm,FI=8 cm,FG∥BC.
(1)依题意可知,DJ=　　 　cm,JH=　 　　cm,∠CJH=　 　　°;?
(2)求书架的高度和宽度.
(参考数据:sin 80°≈0.98,cos 80°≈0.17,tan 80°≈5.67.结果保留一位小数)
答案
16.【解析】　(1)8　14　100
(2)如图,延长AB和GF交于点M,过点B作BP⊥MG于点P,过点A作AN⊥MG于点N,过点H作HQ⊥MG,交MG的延长线于点Q.
易知AB∥EF,又∵BC∥FG,
∴四边形BMFI是平行四边形,∠M=∠ABC=80°,
∴BM=FI=8 cm,MF=BI=14 cm.
在Rt△AMN中,∠M=80°,AM=AB+BM=30+8=38(cm),
∴AN=AM·sin 80°≈38×0.98≈37.2(cm).
∴书架的高度约为37.2 cm.
在Rt△BMP中,∠M=80°,BM=8 cm,
∴MP=BM·cos 80°≈8×0.17=1.36(cm).
在Rt△HGQ中,易知∠HGQ=80°,HG=AB=30 cm,
∴GQ=HG·cos 80°≈30×0.17=5.1(cm),
∴PQ=MF+FG+GQ-MP=14+45+5.1-1.36≈62.7(cm),
∴书架的宽度约为62.7 cm.
答:书架的高度和宽度分别约为37.2 cm和62.7 cm.
第一章　直角三角形的边角关系
数学·九年级下册·北师
答案
1.B　【解析】　∵sin∠CAB=????????????????=326=22,∴∠CAB=45°.∵∠C'AC=15°,∴∠C'AB'=∠C'AC+∠CAB=15°+45°=60°, ∴sin∠C'AB'=????′????′????????′,即sin 60°=????′????′6,则B'C'=6sin 60°=6×32=33(m).故选B.
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1.[2020吉林长春期中]如图,钓鱼竿AC长6 m,露在水面上的鱼线BC长32 m,钓者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是 (　　)
A.3 m B.33 m
C.23 m D.4 m
?
答案
2.B　【解析】　如图,过点A作AE⊥BC于E,∵AB=AC,∴BE=EC=12BC.在Rt△AEC中,cosC=????????????????=13,∴AC=3EC,∴AC=32BC.在Rt△BCD中,cosC=????????????????=13,∴BC=3CD,∴AC=92CD,∴????????????????=72,????△????????????????△????????????=12????????·????????12????????·????????=????????????????=27.故选B.
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2.[2020上海松江区期中]如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,cosC=13,则△BCD与△ABD的面积比是 (　　)
A.1∶3
B.2∶7
C.2∶9
D.2∶11
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3.[2020山东滨州一模]某数学社团开展实践性研究活动,如图,在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向,向北走105 m后到达游船码头B,测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向,则南门A与历下亭C之间的距离约为 (　　)
(参考数据:tan 37°≈34,tan 53°≈43)
A.225 m
B.275 m
C.300 m
D.315 m
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答案
3.C　【解析】　如图,过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E.设EC=xm,BE=y m.在Rt△ECB中, tan 53°=????????????????=????????,在Rt△AEC中,tan 37°=????????????????=????105+????,∴x≈180,y≈135,∴AC=????????2+????????2≈1802+(105+135)2=300(m).故选C.
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答案
4.254　【解析】　在Rt△ABC中,BC=8,tan A=????????????????=43,所以AC=6.连接AD,由DE垂直平分AB可得AD=BD,设BD=x(x>0),则AD=x,CD=BC-BD=8-x,在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2,所以62+(8-x)2=x2,解得x=254,故BD=254.
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4.[2020广东广州模拟]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,如果BC=8,tan A=43,那么BD=　　　　.?
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5.[2020浙江杭州模拟]如图,△ABC中,∠ACB=90°,sin A=45,BC=8,D是AB的中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
?
答案
5.【解析】　(1)在△ABC中,∠ACB=90°,sin A=????????????????=45,BC=8,
∴AB=10.
∵D是AB的中点,∴CD=12AB=5.
(2)在Rt△ABC中,AB=10,BC=8,
∴AC=????????2?????????2=6.
∵D是AB的中点,
∴BD=5,S△BDC=S△ADC,
∴S△BDC=12S△ABC,即12CD×BE=12×12AC×BC,
∴BE=6×82×5=245,
在Rt△BDE中,cos∠DBE=????????????????=2455=2425,
即cos∠ABE的值为2425.
?
6.[2020山东聊城模拟]某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图1所示,CD部分),在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°,底端D点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4°(如图2所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米.
(精确到1米.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,2≈1.41,3≈1.73)
?
答案
6.【解析】　 设楼高CE为x米.
在Rt△AEC中,∠CAE=45°,∴AE=CE=x米.
∵AB=20米,∴BE=(x-20)米.
在Rt△BEC中,CE=BE·tan 63.4°=tan 63.4°(x-20)米.
∴tan 63.4°(x-20)=x,解得x≈40.
在Rt△DAE中,DE=AE·tan 30°=40×33=4033(米),
∴CD=CE-DE≈40-4033≈17(米).
答:大楼部分楼体CD的高度约为17米.
?
答案
1.B　【解析】　在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∴sinB=????????,即b=csinB,故A选项不成立,B选项成立;tan B=????????,即b=atanB,故C选项、D选项不成立.故选B.
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1.[2020浙江杭州中考]如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则 (　　)
A.c=bsin B
B.b=csin B
C.a=btan B
D.b=ctan B
答案
2.A　【解析】　如图,连接BD,根据勾股定理的逆定理可得BD⊥AC,在Rt△ABD中, tan A=????????????????=12.故选A.
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2.[2020四川凉山州中考]如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值为 (　　)
A.12 B.22
C.2 D.22
?
答案
3.D　【解析】　在Rt△BCD中,cos∠BDC=????????????????=57,设CD=5x(x>0),则BD=7x,∴BC=26x.∵AB的垂直平分线EF交AC于点D,∴AD=BD=7x,∴AC=AD+CD=12x.∵AC=12,∴x=1,∴BC=26.故选D.
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3.[2019湖南湘西州中考]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD,若cos∠BDC=57,则BC的长是 (　　)
A.10 B.8
C.43 D.26
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4.[2020重庆中考B卷]如图,垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处,某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A,B,C在同一直线上),再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)i=1∶2.4,则信号塔AB的高度约为 (　　)
(参考数据:sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93)
A.23米
B.24米
C.24.5米
D.25米
答案
4.D　【解析】　如图,过点E作EF⊥DC交CD的延长线于点F,过点E作EM⊥AC于点M.易知四边形EFCM为矩形,则EM=CF,CM=EF.设EF=x米,∵斜坡DE的坡度(或坡比)i=1∶2.4,∴DF=2.4x米.在Rt△DEF中,DE=78米,EF2+DF2=DE2,即x2+(2.4x)2=782,∴x=30, ∴EF=30米,DF=72米,又∵DC=78米,∴CF=DF+DC=72+78=150(米),∴EM=CF=150米,CM= EF=30米.在Rt△AEM中,AM=EM·tan∠AEM=EM·tan 43°≈150×0.93=139.5(米),∴AC=AM+CM≈139.5+30=169.5(米), ∴AB=AC-BC≈169.5-144.5=25(米).故选D.
答案
5.23　【解析】　如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E,∵∠ACB=90°,DE⊥BC,∴DE∥AC,又∵点D为AB边的中点,∴BE=EC=12BC=2.在Rt△DCE中,cos∠DCB=????????????????=23.
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5.[2020山东菏泽中考]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB边的中点,连接CD,若BC=4,CD=3,则cos∠DCB的值为　　　　.?
6.[2020浙江湖州中考]有一种升降熨烫台如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图,AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆,点O是它们的连接点,OA=OC,h(cm)表示熨烫台的高度.
(1)如图2-1,若AB=CD=110 cm,∠AOC=120°,求h的值;
(2)爱动脑筋的小明发现,当家里这种升降熨烫台的高度为120 cm时,两根支撑杆的夹角∠AOC是74°(如图2-2).求该熨烫台支撑杆AB的长度.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6)
答案
6.【解析】　(1)如图1,过点B作BE⊥AC于点E.
∵OA=OC,∠AOC=120°,∴∠OAC=∠OCA=180°?120°2=30°.
在Rt△ABE中,h=BE=AB·sin∠OAC=AB·sin 30°=110×12=55,即h的值为55.
(2)如图2,过点B作BE⊥AC于点E.
∵OA=OC,∠AOC=74°,∴∠OAC=∠OCA=180°?74°2=53°.
在Rt△ABE中,AB=????????sin∠????????????=????????sin?53°≈120÷0.8=150(cm),
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150 cm.
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7.[2020河南中考]位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度,如图所示,他们在地面一条水平步道 MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16 m到达点N处,测得点A的仰角为45°,测角仪的高度为1.6 m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,2≈1.41);
(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m,请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.
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答案
7.【解析】　(1)如图,过点A作AD⊥PM,交MP的延长线于点D,延长BC交AD于点E.
易知四边形BMNC,四边形BMDE是矩形,
∴BC=MN=16 m,DE=CN=BM=1.6 m.
∵∠AEC=90°,∠ACE=45°,
∴△ACE是等腰直角三角形,
∴CE=AE.
设AE=CE=x m,则BE=(16+x)m,
在Rt△ABE中,∠ABE=22°,∴tan∠ABE=????????????????=????????+16=tan 22°,
∴x≈10.7,
∴AD≈10.7+1.6=12.3(m).
答:观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m.
(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m,
∴本次测量结果的误差为12.6-12.3=0.3(m),
减小误差的合理化建议:可以通过多次测量取平均值.(答案不唯一,合理即可)