北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系整章同步教学课件(208张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系整章同步教学课件(208张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-28 00:00:00 | ||
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文档简介
第一章 直角三角形的边角关系
数学·九年级下册·北师
1 锐角三角函数
课时1 正切
课时1
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为 ( )
A.3 B.13 C.1010 D.31010
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答案
1.A 【解析】 由题意可知,∠A的正切值为????????????????=31=3.故选A.
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知识点1 正切的定义
2.[2020黑龙江哈尔滨期中]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,则tan B的值为 ( )
A.35 B.45
C.43 D.34
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答案
2.D 【解析】 在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=????????2?????????2=4,∴tan B=????????????????=34.故选D.
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知识点1 正切的定义
直角三角形中求锐角的正切值的方法
(1)若已知两直角边长,直接利用正切的定义求解;(2)若已知一直角边长及斜边长,可先利用勾股定理求出另一直角边长,再利用正切的定义求解.
名师点睛
3.如图,已知点A(t,3)在第一象限,OA与x轴的夹角为α,且tan α=32,则t的值是 ( )
A.1 B.32
C.2 D.3
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答案
3.C 【解析】 过点A作AB⊥x轴于点B,则由题意,知OB=t,AB=3,在Rt△AOB中,tan α=????????????????=3????=32,所以t=2.故选C.
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知识点1 正切的定义
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的14,那么∠A的正切值( )
A.缩小为原来的14 B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的12 D.没有变化
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答案
4.D 【解析】 由题意,知Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的14,根据相似三角形的性质可得,∠A的对边与邻边的比值不变,所以∠A的正切值不变.故选D.
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知识点1 正切的定义
5.原创题一块正方形场地ABCD如图所示,已知该场地的对角线长为40 m,CE是场地中的一条小路,且测得tan∠BCE=24,则小路CE的长为( )
A.40 m
B.30 m
C.20 m
D.10 m
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答案
5.B 【解析】 连接AC.由题意,知AC=40 m,∴BC=202m.在Rt△BEC中,tan∠BCE=????????????????=24,∴BE=24BC=10 m,根据勾股定理,得CE=????????2+????????2=30 m.
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知识点1 正切的定义
6.[2020福建宁德期末]在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan A=25,则tan B= .?
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答案
6. 52 【解析】 由题意,知tan A=????????????????=25,所以tan B=????????????????=52.
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知识点1 正切的定义
7.[2020陕西宝鸡期末]在5×5的正方形网格中,∠AOB如图所示,则tan∠AOB= .?
答案
7.2 【解析】 如图,连接CD,则tan∠AOB=tan∠COD=????????????????=21=2.
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知识点1 正切的定义
在网格中求锐角的正切值的方法
在网格中求某一锐角的正切值时,要借助网格的特点,将涉及的锐角放在某格点直角三角形中,利用网格的单位长度求出直角三角形的各边长,再利用正切的定义求出锐角的正切值.
归纳总结
8.如图,梯子与地面所成的锐角为∠BAC.关于∠BAC的正切值与梯子倾斜程度的关系,下列叙述正确的是 ( )
A.tan∠BAC的值越大,梯子越缓
B.tan∠BAC的值越小,梯子越陡
C.tan∠BAC的值越大,梯子越陡
D.梯子的陡缓程度与∠BAC的正切值无关
答案
8.C
知识点2 梯子的倾斜程度与正切的关系
9.如图,梯子AB和EF中,更陡的是 ( )
A.一样陡
B.梯子AB
C.梯子EF
D.不能确定
答案
9.C 【解析】 tan B=41.5=83,tan F=3.51.2=3512,3512>83,故梯子EF更陡.故选C.
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知识点2 梯子的倾斜程度与正切的关系
10.如图所示是一水库大坝的横截面的一部分,坝高h=6 m,迎水坡AB=10 m,斜坡的坡角为α,则该斜坡的坡度是 ( )
A.35 B.45
C.43 D.34
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答案
10.D 【解析】 斜坡的坡度实际上是坡角的正切值,因此过点A作AH垂直坝底于点H,则AH=6 m.在Rt△AHB中, ∠AHB=90°,由勾股定理可得,HB=????????2?????????2=102?62=8(m),所以tan α=????????????????=68=34.故选D.
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知识点3 坡度(或坡比)与坡角
11.[2020山东泰安期末]一辆小车沿某斜坡向上行驶,斜坡的坡度为1∶2.4,若小车上升的高度为5米,则小车行驶的距离为 ( )
A.10米 B.12米 C.13米 D.15米
答案
11.C 【解析】 如图,由题意知,tan B=????????????????=12.4,AC=5米,所以BC=12 米.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=122+52= 13(米),所以小车行驶的距离为13米.故选C.
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知识点3 坡度(或坡比)与坡角
12.[2020辽宁鞍山二模]如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为20 cm,宽为30 cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起始点为A,斜坡的起始点为C,若设计斜坡的坡度i=15,则AC的长度是 cm.?
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答案
12.240 【解析】 过点B作BD⊥AC于点D,则BD=60 cm,AD=60 cm.在Rt△BCD中,tan∠BCD=i=????????????????=15,所以CD=300 cm,所以AC=CD-AD=240 cm.
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知识点3 坡度(或坡比)与坡角
将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,即可把条件和问题放到直角三角形中进行求解.
名师点睛
1.[2020安徽阜阳一模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,则∠ACD的正切值是 ( )
A.43 B.35
C.53 D.34
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答案
1.D 【解析】 由题意知,CD=AD,∴∠A=∠ACD.∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,∴tan A=????????????????=68=34,∴tan∠ACD=34.故选D.
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2.[2019辽宁葫芦岛连山区一模]如图,在△ABC中,∠C=90°,tan A=125,△ABC的周长为60,则△ABC的面积为 ( )
A.60
B.30
C.240
D.120
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答案
2.D 【解析】 在△ABC中,∠C=90°,则tan A=????????????????=125,设BC=12x(x>0),则AC=5x,根据勾股定理,得AB=13x.由题意,得12x+5x+13x=60,解得x=2,所以BC=24,AC=10,所以△ABC的面积为12×BC×AC=120.故选D.
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3.[2020山东泰安期末]在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,△ABC的顶点都在格点上,则tan∠BAC的值为 ( )
A.3510 B.255
C.12 D.55
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答案
3.C 【解析】 如图,连接格点D,C,易得CD⊥AB,AD=2DC, ∴tan∠BAC=????????????????=12.故选C.
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4.[2020广东深圳中考]如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P,Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70°方向,则河宽(PT的长)可以表示为 米.?
答案
4.200tan?70° 【解析】 在Rt△PQT中,∠QPT=90°,∠PTQ=70°,∴tan 70°=????????????????,∴PT=????????tan?70°=200tan?70°,即河宽为200tan?70°米.
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5.[2020吉林长春期中]如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tan C= .?
答案
5.43 【解析】 如图,连接BD.由E,F分别是AB,AD的中点,易知BD=2EF=4.∵BD2+CD2=42+32=BC2,∴△BCD是直角三角形,∴tan C=????????????????=43.
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6.如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC,若tan B=53,则tan∠CAD的值为 .?
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答案
6.15 【解析】 如图,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,则易证△CDE∽ △BDA,所以????????????????=????????????????=????????????????=12.设AD=5a(a>0),结合tan B=????????????????=53,则AB=3a, DE= 2.5a,CE=1.5a,所以AE=7.5a,所以tan∠CAD=????????????????=1.5????7.5????=15.
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7.[2020上海杨浦区一模]如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tan A=43,则CD= .?
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答案
7.65 【解析】 如图,延长AD交BC的延长线于点E.在Rt△ABE中,tan A=????????????????=43, AB=3,∴BE= 4,∴EC=BE-BC=4-2=2.在△ABE和△CDE中,∠B=∠EDC= 90°,∠E= ∠E,∴∠DCE= ∠A, ∴tan∠DCE= tan A=????????????????=43.设DE=4x(x>0),则CD=3x,在Rt△DCE中,由勾股定理得4=16x2+9x2,∴x=25,∴CD=65.
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8.如图,已知钝角三角形ABC,点D在BC的延长线上,连接AD,若∠ACB=2∠D,AD=2,AC=32,求tan D的值.
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答案
8.【解析】 如图,过点C作CH⊥AD于点H,
∵∠ACB=2∠D,∠ACB=∠D+∠CAD,
∴∠D=∠CAD,∴CD=AC=32,
∴AH=HD=12AD=1.
在Rt△CHD中,∠CHD=90°,由勾股定理,
得CH=????????2?????????2=(32)2?12=52,
∴tan D=????????????????=52.
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9.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE折叠,使点D恰好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE的值.
答案
9.【解析】 在矩形ABCD中,∠B=∠D=90°,CD=AB=10,
根据折叠的性质,得∠EFC=∠D=90°,CF=CD=10,
∴∠AFE+∠BFC=180°-∠EFC=90°.
∵∠BCF+∠BFC=90°,∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BCF中,BC=8,CF=10,
由勾股定理易得BF=6,∴tan∠BCF=????????????????=68=34,
∴tan∠AFE=34.
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对于折叠问题,折叠前后会出现相等的边和角,利用这一特性,可以实现边和角的转化.
名师点睛
10.如图是一水坝的横截面,AD∥BC,斜坡AB的坡度i=1∶3,坝顶宽BC=3 m,坝高为4 m,斜坡CD=5 m.
(1)比较斜坡AB和CD哪个更陡;
(2)求坝底宽AD的长.
答案
10.【解析】 (1)如图,过B,C两点分别作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,由题可知BE=CF=4 m.
在Rt△CDF中,∠CFD=90°,CF=4 m,CD=5 m,
∴DF=????????2?????????2=3 m,∴tanD=????????????????=43.
∵斜坡AB的坡度i=13<43,∴斜坡CD更陡.
(2)∵tan A=????????????????=13,BE=4 m,∴AE=12 m.
∵BE,CF分别垂直于AD,∴BE∥CF,
又∵BC∥AD,∴四边形BCFE是平行四边形,
∴EF=BC=3 m,
∴AD=AE+EF+DF=12+3+3=18(m).
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1 锐角三角函数
课时2 正弦和余弦
课时2
1.[2020广西河池中考]在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sin B的值是 ( )
A.512 B.125 C.513 D.1213
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答案
1.D 【解析】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,由勾股定理,得AB=52+122=13,∴sin B=????????????????=1213.故选D.
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知识点1 正弦的定义
2.[2020四川雅安中考]如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,sin B=0.5,若AC=6,则BC的长为 ( )
A.8 B.12
C.63 D.123
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答案
2.C 【解析】 在Rt△ACB中,sin B=????????????????=6????????=0.5,∴AB=12,∴BC=????????2?????????2=144?36=63.故选C.
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知识点1 正弦的定义
3.[2020山东青岛期中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,如果BC=3,AC=4,那么sin∠BCD= .?
答案
3. 35 【解析】 ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°,∴∠BCD=∠A.在Rt△ABC中,BC=3, AC=4,由勾股定理,得AB=????????2+????????2=5,∴sin∠BCD=sin A=????????????????=35.
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知识点1 正弦的定义
4.如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则cosA的值是 ( )
A.2 B.1
C.22 D.12
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答案
4.C 【解析】 如图,过点B作BD⊥AB交AC于点D,所以∠ABD=90°.在Rt△ABD中,AB= BD=2,由勾股定理可知,AD=????????2+????????2=22,所以cosA=????????????????=222=22.故选C.
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知识点2 余弦的定义
正切、正弦和余弦的概念易混淆,需仔细区分,可以简记为“正切对比邻,正弦对比斜,余弦邻比斜”.
归纳总结
5.[2020广西北海期末]在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=34,则cosB= ( )
A.35 B.45 C.34 D.43
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答案
5.C 【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=????????????????=34,所以cosB=????????????????=34.故选C.
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知识点2 余弦的定义
6.[2020四川成都成华区模拟]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2AC,则cosA= ( )
A.12 B.52
C.255 D.55
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答案
6.D 【解析】 设AC=a(a>0),则BC=2a.在Rt△ABC中,AB=????????2+????????2=5a,∴cosA=????????????????=????5????=55.故选D.
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知识点2 余弦的定义
7.如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC,AC于点D,E,连接BE.若BE=9,BC=12,则cos C= .?
答案
7.23 【解析】 因为DE是BC的垂直平分线,所以EC=BE=9,BD=DC=6,∠EDC=90°,所以cosC=????????????????=69=23.
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知识点2 余弦的定义
8.[2019浙江金华中考]如图,矩形ABCD的对角线交于点O.已知AB=m,∠BAC=∠α,则下列结论错误的是 ( )
A.∠BDC=∠α
B.BC=m·tanα
C.AO=????2sin?????
D.BD=????cos?????
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答案
8.C 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°,AO=OB=CO=DO,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠BDC= ∠BAC= ∠α, 故A选项结论正确;在Rt△ABC中,tan α=????????????????=????????????,cosα=????????????????=????????????,∴BC=m·tanα,AC=????cos?????,∴BD=AC=????cos?????, AO=????2cos?????,故B,D选项结论正确,C选项结论错误.故选C.
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知识点3 锐角三角函数
9.[2020黑龙江哈尔滨道外区期末]如图,在△ABC中,∠C=90°,sin A=37,点D为边AC上一点,若∠BDC=45°,DC=6 cm,则△ABC的面积为 cm2.?
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答案
9.1210 【解析】 在Rt△BCD中,∠BDC=45°,DC=6 cm,∴BC=6 cm.在Rt△ABC中,sin A=????????????????,∴AB=637=14(cm), ∴AC=142?62=410(cm),∴△ABC的面积为12×6×410=1210(cm2).
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知识点3 锐角三角函数
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,求sin A及cos A的值.
答案
10.【解析】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∵tan A=2,∴????????????????=2,即BC=2AC,
∴AB=????????2+????????2=(2????????)2+????????2=5AC,
∴sin A=????????????????=2????????5????????=255,cosA=????????????????=????????5????????=55.
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知识点3 锐角三角函数
11.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,OB=5,sin∠BOA=35.
(1)求点B的坐标;
(2)求cos∠BAO的值.
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知识点3 锐角三角函数
答案
11.【解析】 (1)过点B作BC⊥OA于点C.
∵OB=5,sin∠BOA=35,∴BC=3,
∴OC=????????2?????????2=52?32=4,
又∵点B在第一象限内,
∴点B的坐标为(4,3).
(2)∵A(10,0),OC=4,∴AC=6,
∴AB=????????2+????????2=62+32=35,
∴cos∠BAO=ACAB=635=255.
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知识点3 锐角三角函数
1.已知甲、乙两坡的坡角分别为α,β,若甲坡比乙坡更陡些,则下列结论正确的是 ( )
A.tan αC.cos α答案
1.C 【解析】 甲坡比乙坡更陡,意味着坡角α>β,而角度越大,其正弦值、正切值越大,余弦值越小.故选C.
2.[2019浙江杭州中考]如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b, ∠BCO=x,则点A到OC的距离等于 ( )
A.asin x+bsin x
B.acos x+bcos x
C.asin x+bcos x
D.acos x+bsin x
答案
2.D 【解析】 过点A作AE⊥OB于点E. ∵∠ABC=90°,∴∠ABE+∠OBC=90°.∵∠BOC=90°,∴∠OBC+ ∠BCO=90°, ∴∠ABE=∠BCO=x.在Rt△ABE中,BE=AB·cos∠ABE=acos x.在Rt△BCO中,BO=BC·sin x=AD·sin x=bsin x,故点A到OC的距离等于BE+BO=acos x+bsin x.故选D.
3.[2020山东枣庄期末]定义:在等腰三角形中,底边与腰的比叫做顶角的正对,顶角A的正对记作sad A,即sad A=底边∶腰.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,则cosB·sadA= ( )
A.1 B.32
C.32 D.34
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答案
3.B 【解析】 ∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠BAC=4∠B,∠BAC+∠B+∠C=180°,∴6∠B=180°,解得∠B=30°.如图,过点A作AD⊥BC于点D,设AD=a(a>0),则AB=2a,BD=3a.∵BC=2BD,∴BC=23a,∴sad∠BAC=????????????????=3.在Rt△ABD中, cosB=????????????????=32,∴cosB·sad∠BAC=32×3=32.故选B.
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4.原创题民间流传一谚语“山上多栽树,等于修水库”.如图,某村准备在坡角为α的山坡上栽树,如果要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么为了达到要求,村民只需保证相邻两树在坡面上的距离(AB)为 米.?
答案
4.5cos????? 【解析】 由题意可得cosα=5????????,所以AB=5cos?????米.
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5.易错题在△ABC中,AB=AC=5,BD是高,且cos∠ABD=35,则CD= .?
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答案
5.1或9 【解析】 分两种情况:①若△ABC是锐角三角形,如图1,∵BD是AC边上的高,∴∠BDA=90°,在Rt△ABD中, AB=5,cos∠ABD=????????????????=35,∴BD=3,∴AD=????????2?????????2=4,∴CD=AC-AD=5-4=1;②若△ABC是钝角三角形,如图2, ∵BD是AC边上的高,∴∠BDA=90°,在Rt△ABD中,AB=5,cos∠ABD=????????????????=35,∴BD=3,∴AD=????????2?????????2=4,∴CD=AC+AD= 5+4=9. 综上,CD=1或9.
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6.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tan A=32,求sin B+cosB的值.
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答案
6.【解析】 ∵CD⊥AB,∴△ACD和△BCD均为直角三角形.
在Rt△ACD中,tan A=????????????????=32,CD=6,
∴AD=2????????3=4,∴BD=AB-AD=12-4=8.
在Rt△BCD中,由勾股定理可得BC=????????2+????????2=10,
∴sin B=????????????????=610=35,cosB=????????????????=810=45,
∴sin B+cosB=35+45=75.
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7.[2019贵州贵阳中考]如图,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD,CE.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形.
(2)若DA=DB=2,cos A=14,求点B到点E的距离.
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答案
7.【解析】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵DE=AD,∴DE=BC,
∴四边形BCED是平行四边形.
(2)如图,连接BE.
∵DA=DB=2,DE=AD,∴AD=BD=DE=2,
又由(1)知四边形BCED是平行四边形,
∴四边形BCED是菱形,
∴BE⊥DC,∴AB⊥BE,∴∠ABE=90°.
∵cosA=????????????????=14,AE=4,∴AB=1,
∴BE=????????2?????????2=15,
即点B到点E的距离为15.
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8.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,将△BCE沿BE折叠得到△BFE,点F落在边AD上.
(1)求证:△ABF∽△DFE.
(2)若sin∠DFE=13,求tan∠EBC的值.
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答案
8.【解析】 (1)由题意可得,∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°,
又∵∠AFB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DFE,
∴△ABF∽△DFE.
(2)由折叠可得FB=BC,EF=EC.
∵sin∠DFE=13,∴????????????????=13,即EF=3DE,
∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF=????????2?????????2=22DE.
∵△ABF∽△DFE,∴????????????????=????????????????,
∴FB=????????·????????????????=3????????·4????????22????????=32DE,
又∵FB=BC,EF=EC,
∴tan∠EBC=????????????????=3????????32????????=22.
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9.如图,根据提供的数据回答下列问题:
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(1)在图1中,tan A= ,sin?????cos?????= ;?
在图2中,tan A1= ,sin?????1cos?????1= .?
通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律?用一个一般式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.
(2)根据(1),请完成下列问题.
已知tan α=2,求sin?????+3cos?????2sin??????cos?????的值.
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答案
9.【解析】 (1)43 43 125 125
规律:对于任意锐角α,有tan α=sin?????cos?????.
证明:如图,在Rt△A2B2C2中,tan α=????????,sin?????cos?????=????????????????=????????,
∴tan α=sin?????cos?????.
(2)sin?????+3cos?????2sin??????cos?????
=sin?????cos?????+3cos?????cos?????2sin?????cos??????cos?????cos?????
=tan?????+32tan??????1.
∵tan α=2,
∴原式=2+34?1=53.
?
2 30°,45°,60°角的
三角函数值
1.2cos 60°= ( )
A.1 B.3 C.2 D.12
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答案
1.A 【解析】 2cos 60°=2×12=1.故选A.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
2.计算2sin 45°-tan2 60°的值是 ( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1
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答案
2.C 【解析】 2sin 45°-tan260°=2×22-(3)2=-2.故选C.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
3.[2020安徽淮北相山区期末]下列计算错误的有 ( )
①sin 60°-sin 30°=sin 30°; ②sin245°+cos245°=1;
③tan2 45°=12; ④tan 30°=cos?30°sin?30°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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答案
3.C 【解析】 sin 60°-sin 30°=32?12,sin 30°=12,故①错误;sin245°+cos245°=(22)2+(22)2=12+12=1,故②正确;tan2 45°= 12= 1, 故③错误;tan 30°=33,cos?30°sin?30°=3212=3,故④错误.所以错误的共有3个.故选C.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
4.[2019浙江杭州期末]计算:cos245°-tan 30°sin 60°= .?
答案
4.0 【解析】 cos245°-tan 30°sin 60°=12?33×32=12?12=0.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
5.[2020上海虹口区一模]计算:2cos230°?sin?30°tan260°?4cos?45°.
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答案
5.【解析】 2cos230°?sin?30°tan260°?4cos?45° = 2×(32)2?12(3)2?4×22 = 2×34?123?22 = 13?22 = 3+22.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
有关特殊角的三角函数值化简计算的策略
当题目中涉及特殊角的三角函数值的计算时,一般步骤为:①正确代入特殊角的三角函数值;②根据运算顺序(先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的)进行化简计算.
归纳总结
6.[2019湖南怀化中考]已知∠α为锐角,且sin α=12,则∠α= ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
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答案
6.A
知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
7.在△ABC中,tan A=3,则cosA的值为 ( )
A.12 B.22 C.32 D.33
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答案
7.A 【解析】 在△ABC中,tan A=3,则∠A=60°,所以cosA=12.故选A.
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知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
8.[2020辽宁抚顺模拟]在△ABC中,若tan A=1,sin B=22,则下列你认为最确切的判断是 ( )
A.△ABC是等腰三角形
B.△ABC是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是一般锐角三角形
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答案
8.C 【解析】 在△ABC中,由tan A=1,sin B=22,可得∠A=45°,∠B=45°,所以∠A=∠B,∠C=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.故选C.
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知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
9.[2020山东淄博期末]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,若BC=32AC,则tan A= .?
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答案
9.3 【解析】 ∵BC=32AC,∠B=90°,∴sin A=????????????????=32,∴∠A=60°,∴tan A=3.
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知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
10.若锐角α满足tan(α+15°)=1,则cos α= .?
答案
10.32 【解析】 由α为锐角,tan(α+15°)=1,可得α+15°=45°,所以α=30°,所以cosα=cos 30°=32.
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知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
11.[2020湖南长沙中考]从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距离是 ( )
A.423米 B.143米
C.21米 D.42米
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答案
11.A 【解析】 设船离灯塔的水平距离为s米,依题意,得tan 30°=42????,所以s=42tan?30°=423.故选A.
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知识点3 特殊角的三角函数值的应用
12.[2020江西赣州模拟]如图,平地上一棵树高为6米,两次观察其在地面上的影子,第一次观察是当光线与地面成60°角时,第二次观察是当光线与地面成30°角时,则第二次观察到的影子比第一次长 米.?
答案
12.43 【解析】 第一次观察到的影子长为6tan?60°=23(米),第二次观察到的影子长为6tan?30°=63(米),所以第二次观察到的影子比第一次长63-23=43(米).
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知识点3 特殊角的三角函数值的应用
13.如图,在△ABC中,∠B=60°,sin C=45,AC=10,求AB的长.
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答案
13.【解析】 如图,过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ACD中,sin C=????????????????=45,
∵AC=10,∴AD=8.
在Rt△ABD中,∠B=60°,sin B=????????????????,
∴sin 60°=8????????=32,
∴AB=1633.
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知识点3 特殊角的三角函数值的应用
14.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内滑梯的倾斜角由45°降为30°,已知原滑梯AB的长为5米,点D,B,C在同一水平线上.求改造后滑梯会加长多少米.(结果精确到0.01米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732,6≈2.449)
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答案
14.【解析】 在Rt△ABC中,AB=5米,∠ABC=45°,
∴AC=ABsin 45°=5×22=522(米).
在Rt△ADC中,∠ADC=30°,∴AD=2AC=52(米),
∴AD-AB=52-5≈5×1.414-5=2.07(米).
故改造后滑梯会加长约2.07米.
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知识点3 特殊角的三角函数值的应用
1.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若|sin A-12|+(cosB-12)2=0,则∠C的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
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答案
1.D 【解析】 由题意,知|sin A-12|=0,(cosB-12)2=0,所以sin A=12,cosB=12,所以∠A=30°,∠B=60°,所以∠C=180°-∠A-∠B=90°.故选D.
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(1)若几个非负数的和为0,则这几个非负数同时为0;(2)由三角函数值反过来求角的度数时,一定要注意求的角是否为锐角.
名师点睛
2.[2020 浙江绍兴一模]按如图所示的运算程序,能使输出的y值为12的是 ( )
A.α=60°,β=45°
B.α=30°,β=45°
C.α=30°,β=30°
D.α=45°,β=30°
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答案
2.C 【解析】 A项,α=60°,β=45°,α>β,则y=sin α=sin 60°=32;B项,α=30°,β=45°,α<β,则y=cosβ=cos 45°=22;C项,α=30°, β=30°,α=β,则y=sin α=sin 30°=12;D项,α=45°,β=30°,α>β,则y=sin α=sin 45°=22.故选C.
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3.[2020福建福州期末]如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B=32,AC=23,则AB=( )
A.3+3
B.2+23
C.5
D.92
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答案
3.C 【解析】 过点C作CD⊥AB于点D,∴∠ADC=∠CDB=90°.在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=23,∴CD=3,AD=3.在Rt△BCD中,tan B=????????????????=32,∴BD=2,∴AB=AD+BD=3+2=5.故选C.
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4.在△ABC中,若sin B=cos(90°-∠C)=12,则∠A的度数为 .?
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答案
4.120° 【解析】 在△ABC中,sin B=cos(90°-∠C)=12,所以90°-∠C=60°,∠B=30°,所以∠C=30°,所以∠A的度数为180°-30°-30°=120°.
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5.已知cos2α-cosα+14=0,则锐角α的度数为 .?
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答案
5.60° 【解析】 cos2α-cosα+14=(cosα-12)2=0,所以cosα=12,所以锐角α的度数为60°.
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6.已知α为锐角,当21?tan?????无意义时,tan(α+15°)-tan(α-15°)的值是 .?
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答案
6.233 【解析】 当21?tan?????无意义时,tan α=1,因为α为锐角,所以 α=45°,所以tan(α+15°)-tan(α-15°)=tan 60°-tan 30°=3?33=233.
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本题的突破点在于根据分式无意义的条件,可以得出tan α=1,从而确定锐角α的度数,然后利用特殊角的正切值来进行计算.
名师点睛
7.[2020山东潍坊潍城区期中]在△ABC中,AB=63,AC=6,cos B=32,则BC的长为 .?
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答案
7.12或6 【解析】 过点A作AD⊥BC于点D.如图1,当AD在△ABC的内部时,∵cosB=32,∴∠B=30°.在Rt△ABD中, AD=ABsin30°=33,BD=ABcos 30°=63×32=9.在Rt△ADC中,CD=62?(33)2=3,∴BC=BD+CD=9+3=12.同理,如图2,当AD在△ABC的外部时,BC=BD-CD=9-3=6.综上所述,BC的长为12或6.
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8.[2020上海青浦区一模]计算:3tan 30°-1cos?60°+22cos 45°+(1?tan?60°)2.
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答案
8.【解析】 3tan 30°-1cos?60°+22cos 45°+(1?tan?60°)2
=3×33?112+22×22+(1?3)2
=3-2+2+3-1
=23-1.
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9.[2020河南焦作期末]如图,小巷左右两侧是竖直的墙,梯子AC斜靠在右墙时,测得梯子与地面的夹角为45°,梯子底端与墙的距离CB=2米,若梯子底端C的位置不变,将梯子斜靠在左墙,测得梯子与地面的夹角为60°,则此时梯子的顶端与地面的距离A'D是多少米?
答案
9.【解析】 在Rt△ABC中,∠BCA=45°,∴AB=BC=2米,
∴AC=????????2+????????2=22+22=22(米),
∴A'C=AC=22米.
在Rt△A'DC中,A'D=A'C·sin 60°=22×32=6(米),
∴此时梯子的顶端与地面的距离A'D是6米.
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10.如图,在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30 m,BC=70 m, ∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离.
答案
10.【解析】 如图,过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D.
在Rt△CDA中,AC=30 m,∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°,
∴CD=ACsin∠CAD=30sin 60°=153(m),AD=ACcos∠CAD=30cos 60°=15(m).
在Rt△CDB中,BC=70 m,BD2=BC2-CD2,
∴BD=702?(153)2=65(m),
∴AB=BD-AD=65-15=50(m).
故A,B两个凉亭之间的距离为50 m.
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11.要求tan 30°的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=3,∠ABC=30°,tan 30°=????????????????=13=33.在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan 15°的值.请你写出添加辅助线的方法,并求出tan 15°的值.
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答案
11.【解析】 如图,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,则∠D=15°.
因为BD=AB=2,所以DC=BD+BC=2+3,
所以tan 15°=????????????????=12+3=2-3.
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3 三角函数的计算
1.计算器的按键顺序是 ,实际上它是求一个角的正弦值,则这个角的度数为 ( )
A.75°38'25″ B.25°38'57″
C.38°25'75″ D.57°25'38″
答案
1.A 【解析】 明确按键顺序,虽然按了三次 ,但它会按顺序自动生成度、分、秒,所以这个角的度数是75°38'25″.故选A.
知识点1 用计算器求锐角的三角函数值
2.利用计算器求cos 26.5°的值约为 ( )
A.0.845 2
B.0.707 0
C.0.894 9
D.0.898 8
答案
2.C
知识点1 用计算器求锐角的三角函数值
3.利用计算器求下列各式的值.(结果保留小数点后三位)
(1)sin 35°; (2)cos 62°18'; (3)tan 15°24'36″.
答案
3.【解析】 (1)sin 35°≈0.574.
(2)cos 62°18'≈0.465.
(3)tan 15°24'36″≈0.276.
知识点1 用计算器求锐角的三角函数值
4.已知sin A=0.234 5,则锐角∠A的度数约为 ( )
A.13.56° B.13°56' C.31°16' D.31.56°
答案
4.A 【解析】 已知角的三角函数值,求角的度数,就要先按计算器的SHIFT,后面的按键顺序为sin0·2345=,结果是13.56°.故选A.
知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数
5.[2020山东烟台莱山区一模]如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=3,若用科学计算器计算∠A的度数,且计算结果以“度、分、秒”为单位,则下列按键顺序正确的是 ( )
答案
5.D 【解析】 由题意,得tan A=????????????????=23,所以按键顺序为SHIFTtan(2÷3)°'″= .故选D.
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知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数
6.已知cos A=0.576 9,则∠A≈ .(精确到1')?
答案
6.54°46'
知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数
7.[2019山东德州中考]如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,那么梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,则AC的长度约为 米.(精确到0.01米.sin 70°≈0.94, sin 50°≈0.77,cos 70°≈0.34,cos 50°≈0.64) ?
答案
7.1.02 【解析】 在Rt△ABO中,∠ABO=70°,AB=6米,∴sin 70°=????????????????=????????6,∴AO≈5.64米.在Rt△CDO中,∠CDO=50°, DC=6米,∴sin 50°=????????????????=????????6,∴CO≈4.62 米,∴AC≈5.64-4.62=1.02(米).
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知识点3 利用三角函数解决实际问题
8.[2019浙江台州中考]图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图.已知车杆AB长92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位.参考数据:sin 70°≈0.94, cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
答案
8.【解析】 如图,过点A作AD⊥BC于点D,延长AD交地面于点E,
在Rt△ABD中,sin∠ABD=????????????????,
∴AD=AB·sin∠ABD=92×sin 70°≈92×0.94=86.48(cm).
∵DE=6 cm,∴AE=AD+DE≈92.5 cm,
∴把手A离地面的高度约为92.5 cm.
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知识点3 利用三角函数解决实际问题
9.如图,小山岗的斜坡AC的坡度是tan α=34,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6°,求小山岗的高AB.(结果取整数.参考数据:sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50)
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答案
9.【解析】 设AB=x米,
在Rt△ABC中,tan α=????????????????=????????????=34,∴BC=43x米.
在Rt△ABD中,tan 26.6°=????????????????=????????????????+200=????43????+200,
∴x≈300,
∴小山岗的高AB约为300米.
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知识点3 利用三角函数解决实际问题
4 解直角三角形
1.在Rt△ABC中,BC=3,AC=3,∠C=90°,则∠A的度数是 ( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
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答案
1.D 【解析】 在Rt△ABC中,BC=3,AC=3,∠C=90°,所以tan A=????????????????=33=3,所以∠A=60°.故选D.
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知识点1 已知两边解直角三角形
2.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°,a=5,c=52,则∠B= ,b= .?
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答案
2. 45° 5 【解析】 因为sin A=????????=552=22,所以∠A=45°,所以∠B=90°-∠A=45°,所以∠B=∠A,所以b=a=5.
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知识点1 已知两边解直角三角形
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=26,AC=62,求这个三角形的其他元素.
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答案
3.【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=26,AC=62,
∴tan A=????????????????=2662=33,∴∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=60°,AB=2BC=46.
故∠A=30°,∠B=60°,AB=46.
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知识点1 已知两边解直角三角形
(1)解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素,即3个角和3条边.(2)解直角三角形时要注意发现已知和未知之间的联系,充分利用三角函数的定义来列式求值,正弦、余弦、正切三种函数都涉及两边一角,要正确选择,不能将它们弄混.(3)每个直角三角形,均有一个直角,且两锐角互余,三边满足勾股定理.
归纳总结
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,则AC=( )
A.53 B.103 C.5 D.1033
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答案
4.A 【解析】 根据题意,得cosA=????????????????=32,因为AB=10,所以AC=53.故选A.
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知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
5.[2020 四川成都成华区模拟]如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,∠B=36°,D为BC的中点,连接AD,则AD的长是 ( )
A.5sin 36°
B.5cos 36°
C.5tan 36°
D.10tan 36°
答案
5.C 【解析】 ∵AB=AC,D为BC的中点,∴BD=12BC=5,AD⊥BC.在Rt△ABD中,tan B=????????????????,∴AD=BD·tanB=5tan 36°.故选C.
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知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
6.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°.根据下列条件,求这个三角形的其他元素.
(1)a=8,∠B=60°;
(2)∠A=45°,b=6.
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答案
6.【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,a=8,
∴∠A=90°-∠B=30°,b=atanB=83,
∴c=????sin?????=16.
故∠A=30°,b=83,c=16.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,b=6,
∴∠B=90°-∠A=45°,a=btanA=6,c=????cos?????=23.
故∠B=45°,a=6,c=23.
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知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
答案
已知一边及一锐角解直角三角形的方法
(1)已知一直角边和一锐角:通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角,再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时,利用这个角的正弦求斜边;当已知直角边是已知锐角的邻边时,利用这个角的余弦求斜边(求出两条边后也可利用勾股定理求第三条边).(2)已知一锐角和斜边:通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角,再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边.
知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
归纳总结
7.[2019湖南常德鼎城区期中]如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,∠ACD=45°,∠DCB=60°,CD=40,求AB的长.
答案
7.【解析】 ∵CD⊥AB,∠ACD=45°,
∴∠CDA=∠CDB=90°,∴∠A=45°,∴AD=CD=40.
在Rt△BCD中,∠DCB=60°,
∴BD=CDtan∠DCB=403,
∴AB=AD+BD=40+403.
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知识点3 解直角三角形的综合应用
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,CD=5 cm,求AB的长.
答案
8.【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.
∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD=30°.
在Rt△BCD中,CD=5 cm,∠CBD=30°,tan∠CBD=????????????????,
∴BC=????????tan∠????????????=53cm,∴AB=2BC=103 cm.
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知识点3 解直角三角形的综合应用
9.数学拓展课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等.于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B,C,E在同一直线上,若BC=2,求AF的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
答案
9.【解析】 在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30°,∴AC=????????tan????=23,
∴EF=AC=23.
∵∠E=45°,∴FC=EF·sinE=6,
∴AF=AC-FC=23?6.
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知识点3 解直角三角形的综合应用
1.[2020安徽中考]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cos A=45,则BD的长度为 ( )
A.94 B.125
C.154 D.4
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答案
1.C 【解析】 在Rt△ABC中,cosA=????????????????=45,则AB=54AC=5,∴BC=????????2?????????2=3.∵∠DBC=∠A,∴cos∠DBC=????????????????= cos A=45,∴BD=54BC=54×3=154.
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2.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,∠B=∠D=90°,BC=1,CD=2,则对角线AC= ( )
A.21 B.213
C.2213 D.5213
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答案
2.C 【解析】 如图,延长AB,DC相交于点K,则∠K=30°,CK=2BC=2, DK=CD+ CK=4.在Rt△ADK中,AD=DKtan 30°=433, 在Rt△ADC中,AC=????????2+????????2=2213.故选C.
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3.在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,AC=2,则BC= .?
答案
3.6 【解析】 过点C作CD⊥AB于点D.因为∠B=45°,∠ACB=75°,所以∠A=180°-45°-75°=60°.在Rt△ACD中,∠A= 60°, AC=2,所以CD=ACsin 60°=3.在Rt△BCD中,∠B=45°,所以BC=????????sin?????=3sin?45°=6.
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4.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是BC上一点,若tan∠DAB=15,则AD的长为 .?
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答案
4.213 【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E,则tan∠DAB=????????????????=15,∴AE=5DE.∵△ABC是等腰直角三角形, ∠C= 90°,∴∠B=45°,∴DE=BE,∴AB=AE+BE=6DE.∵AC=6,∴AB=62,∴AE=52,DE=2,∴AD=????????2+????????2=(52)2+(2)2=213.
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5.[2020黑龙江哈尔滨二模]若某等腰三角形的腰长为6,面积为9,则它的顶角的度数为 .
答案
5.30°或150° 【解析】 如图,由题意可知,AB=AC=6,?S△ABC =9,过点C作△ABC的高CD,则S△ABC =12AB·CD=12× 6×CD=9,可得CD=3.分两种情况:①当等腰三角形为钝角三角形时,如图1,∵sin∠CAD=????????????????=36=12,∴∠CAD=30°, ∴∠BAC= 150°;②当等腰三角形为锐角三角形时,如图2,∵sin A=????????????????=36=12,∴∠A=30°.综上,顶角的度数为30°或150°.
?
6.[2019江苏盐城中考]如图,在△ABC中,BC=6+2,∠C=45°,AB=2AC,则AC的长为 .?
?
答案
6.2 【解析】 如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.设AC=x(x>0),则AB=2x.在Rt△ACD中,AD=AC·sinC=AC·sin 45°=22x,CD=AC·cosC=AC·cos 45°=22x.在Rt△ABD中,AB=2x,AD=22x,∴BD=????????2?????????2=62x,∴BC=BD+CD=62x+22x=6+2,∴x=2,即AC=2.
?
7.[2019 江苏宿迁中考]如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是 .?
答案
7.3?
8.如图,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接AE,求sin∠AED的值.
答案
8.【解析】 如图,连接AC.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠2=45°.
∵△CDE是等腰直角三角形,DE=CE,
∴∠CED=90°,∠3=45°,
∴∠ACE=∠2+∠3=90°,
∴AC∥DE,∴∠AED=∠1.
设正方形ABCD的边长为a(a>0),则AC=2a,CE=22a,
∴AE=????????2+????????2=(2????)2+(22????)2=102a,
∴sin∠AED=sin∠1= ????????????????=22????102????=55.
?
9.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=2,BE=22.求CD的长和四边形ABCD的面积.
?
答案
9.【解析】 如图,过点D作DH⊥AC于点H.
∵∠CED=45°,DH⊥AC,DE=2,
∴DH=EH=DEcos 45°=2×22=1,
又∵∠DCE=30°,∴HC=????????tan?30°=3,CD=2DH=2.
∵∠AEB=∠CED=45°,∠BAC=90°,BE=22,
∴AB=AE=2,∴AC=AE+EH+HC=2+1+3=3+3,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AB·AC+12DH·AC=12×2×(3+3)+12×1×(3+3)=33+92.
?
专项1 锐角三角函数的
相关计算
1.[2020北京朝阳区期末]如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则cos∠BAC的值为 ( )
A.12 B.1010
C.55 D.255
?
答案
1.C 【解析】 如图,连接BE.易知△ABE是直角三角形.由勾股定理,得AB=10, AE=2,∴cos∠BAC=????????????????=210=55.故选C.
?
类型1 网格中的三角函数
2.在如图所示的网格中,小正方形的边长均相等,点A,B,C,D都在格点上,AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值是 ( )
A.32 B.1
C.32 D.2
?
答案
2.D 【解析】 如图,连接BE,AE.易知DC∥BE,∠AEB=90°,∴∠APD=∠ABE.设小正方形的边长为1,由勾股定理得,AE=22,BE=2,∴tan∠APD=tan∠ABE=????????????????=2.故选D.
?
类型1 网格中的三角函数
3.如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在格点上,则sin A的值为 .?
答案
3.35 【解析】 过点C作CE⊥AB于点E,连接AD,如图所示.∵AC=AB=42+22= 25,点D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵BC=22,∴AD=????????2?????????2=32,∴S△ABC=12AB·CE=12BC·AD,∴CE=????????·????????????????=655,∴sin∠BAC=????????????????=65525=35.
?
类型1 网格中的三角函数
4.把两个相同的含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置(点D,C,B在同一直线上).若AD=66,请求出三角尺各边的长.
?
答案
4.【解析】 由题意,得AC=CD,
∴△ACD为等腰直角三角形,
∴∠ADC=45°,
∴AC=ADsin 45°=66×22=63.
∵∠BAC=30°,
∴BC=ACtan 30°=63×33=6,
∴AB=????????sin?30°=612=12.
故AC=63,BC=6,AB=12.
?
类型2 解直角三角形
5.[2020吉林长春一模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,连接CD,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E.已知AC=30,cos A=35.
(1)求线段CD的长;
(2)求sin∠DBE的值.
?
答案
5.【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=30,
cosA=????????????????=35,∴AB=50.
∵D是AB的中点,
∴CD=12AB=25.
?
类型2 解直角三角形
答案
(2)如图,过点C作CF⊥AB于点F.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=30,AB=50,
∴BC=????????2?????????2=40.
由面积公式,得12AC·BC=12AB·CF,
∴CF=????????·????????????????=24,
∴DF=????????2?????????2=252?242=7,
∴sin∠DCF=????????????????=725.
∵∠DCF+∠CDF=∠DBE+∠BDE=90°,∠CDF=∠BDE,
∴∠DBE=∠DCF,
∴sin∠DBE=sin∠DCF=725.
?
类型2 解直角三角形
6.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,∠BCD是钝角,AB=AD,BD平分∠ABC,若 CD=3,BD=26,sin∠DBC=33,求对角线AC的长.
?
类型2 解直角三角形
答案
6.【解析】 如图,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,则∠E=90°.
∵sin∠DBC=????????????????=33,BD=26,∴DE=22.
在Rt△CDE中,CD=3,DE=22,∴CE=????????2?????????2=1.
在Rt△BDE中,BD=26,DE=22,∴BE=????????2?????????2=4,
∴BC=3,∴BC=CD,∴∠CBD=∠CDB.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC,∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=12BD=6,
∴OC=????????2?????????2=32?(6)2=3,∴AC=23.
?
类型2 解直角三角形
易错疑难集训
集训
1.[2019北京密云区期末]在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=35,AB=10,则AC的长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
?
答案
1.B 【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=35,∴????????????????=35,∵AB=10,∴BC=6,∴AC=????????2?????????2=102?62=8.故选B.
?
易错点1 解直角三角形时没有找准边、角的对应关系
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A,tan A的值.
答案
2.【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,
∴AB=????????2+????????2=12+22=5(cm),
∴sin A=????????????????=25=255,tan A=????????????????=21=2.
?
易错点1 解直角三角形时没有找准边、角的对应关系
本题易由AC=1 cm,BC=2 cm,错误得到∠B=30°, ∠A=60°,进而得出sin A,tan A的值.避免该错误的有效方法是画出图形,分清斜边和直角边,利用“数形结合”进行解答.
易错分析
答案
易错点1 解直角三角形时没有找准边、角的对应关系
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, sin A=∠????的对边斜边=????????, cosA=∠????的邻边斜边=????????,tan A=∠????的对边∠????的邻边=????????.注意把握以下两点: (1)正弦、余弦、正切只能在直角三角形中运用,杜绝在非直角三角形中直接套用;(2)锐角三角函数的值是随着角度的变化而变化的,只与锐角的大小有关,与边的长短无关,锐角三角函数的值是两条线段的比,没有单位.
?
名师点睛
3.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=13,b=12,c=5,求sin B的值.
答案
3.【解析】 由a=13,b=12,c=5,得a2=b2+c2,
所以△ABC为直角三角形,且∠A为直角,
所以sin B=????????=1213.
?
易错点1 解直角三角形时没有找准边、角的对应关系
本题的易错点有两处:一是想当然地直接把△ABC当作直角三角形,而不利用勾股定理的逆定理加以说明;二是没有找准边、角的对应关系,而得出sin B=????????=125的错误答案.防止出错的关键是画出图形,对照图形准确地找到边、角的对应关系.
?
易错分析
4.已知∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角,且满足|cosA-12|+1?tan?????=0,则∠C的大小为 ( )
A.30° B.60° C.75° D.105°
?
答案
4.C 【解析】 由题可知,cosA=12,tan B=1,所以∠A=60°,∠B=45°,所以∠C=180°-∠A-∠B=75°.故选C.
?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
5.2cos 30°-tan 45°-(1?tan?60°)2的值为 ( )
A.23-2 B.0 C.23 D.2
?
答案
5.B 【解析】 2cos 30°-tan 45°-(1?tan?60°)2=2×32-1-(3-1)=3-1-3+1=0.故选B.
?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
本题的易错之处:(1)对特殊角的三角函数值不熟悉,相互混淆;(2)对(1?tan?60°)2化简时忽视算术平方根的非负性,直接化简成1-3.
?
易错分析
6.若锐角α满足12A.30°<α<45° B.60°<α<90°
C.45°<α<60° D.α<30°
?
答案
6.C 【解析】 ∵cos 60°=12,cos 45°=22,12?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
本题的易错之处是没有准确掌握特殊角的三角函数值,将特殊角的三角函数值“张冠李戴”,同时也易混淆锐角的正弦值、余弦值的变化规律.
易错分析
答案
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
根据三角函数的定义和直角三角形的知识推算出来的,由于它们的应用较为广泛,因而作为常数记忆.为了防止记忆混淆,可结合如图所示的两个特殊直角三角形进行辅助记忆.本题涉及特殊角的三角函数值和实数的综合运算,是各地中考题中常见的题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值、与特殊角三角函数值有关的运算,先写出每个锐角函数值,然后转化成具体的实数运算,需要注意运算的顺序和计算的方法.
名师点睛
7.[2020江苏连云港一模]计算:
(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°;
(2)cos230°1+sin?30°+tan260°.
?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
答案
7.【解析】 (1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°
=2×12+3×12-4×1
=1+32-4
=-32.
(2)cos230°1+sin?30°+tan260°
=(32)21+12+(3)2
=3432+3
=72.
?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
8.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a=4,cos B=13,则c= .?
?
答案
8.12或43 【解析】 由题意易知,∠B≠90°,若∠C=90°,则c=????cos?????=12;若∠A=90°,则c=acosB=43.综上,c=12或43.
?
易错点3 忽略直角三角形中的分类讨论
本题的易错之处是忽略分类讨论.题中虽然已指明△ABC是直角三角形,但并未指明哪个角是直角,所以应分两种情况考虑:①∠C=90°;②∠A=90°.
易错分析
9.在△ABC中,已知AD是△ABC的高,CD=1,AD=BD=3,求∠BAC的度数.
?
答案
9.【解析】 ①当垂足D在线段BC上时,如图所示.
在Rt△ABD中,tan∠BAD=????????????????=1,∴∠BAD=45°.
在Rt△ACD中,tan∠CAD=????????????????=33,∴∠CAD=30°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+30°=75°.
?
易错点3 忽略直角三角形中的分类讨论
答案
②当垂足D在线段BC的延长线上时,如图所示.
在Rt△ABD中,tan∠BAD=????????????????=1,∴∠BAD=45°.
在Rt△CAD中,tan∠CAD=????????????????=33,∴∠CAD=30°,
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=45°-30°=15°.
综上,∠BAC的度数为75°或15°.
?
易错点3 忽略直角三角形中的分类讨论
本题的易错之处是忽略高在△ABC外部的情况.涉及三角形的高(或面积),而没有给出图形时,常要考虑两种情况:高在三角形内和高在三角形外.
易错分析
1.如图,有两个全等的正方形ABCD和BEFC,则tan(∠BAF+∠AFB)= ( )
A.1 B.56
C.23 D.2
?
答案
1.A 【解析】 根据三角形外角的性质,得∠BAF+∠AFB=∠FBE.根据正方形的性质,得∠FBE=45°,所以tan(∠BAF+ ∠AFB)=tan 45°=1.故选A.
疑难点1 等角代换法解锐角三角函数问题
本题∠BAF+∠AFB形式上不简单,但是利用等角代换把求tan(∠BAF+∠AFB)的问题转化为求 tan 45° 的问题后,则能够轻松、顺利解决.解题的关键在于观察图形、联想相关性质,寻求等角代换.
名师点睛
2.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,OE⊥AC交BC于点E,连接AE.若AB=1,BC=3,则1tan∠????????????= .?
?
答案
2.3 【解析】 根据题意,可知OE是AC的垂直平分线,所以EA=EC,则∠EAO=∠ACB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=????????????????=13,所以1tan∠????????????=1tan∠????????????=3.
?
疑难点1 等角代换法解锐角三角函数问题
善于发现∠EAO=∠ACB,并且将∠ACB归结到Rt△ABC中是解决本题的关键,也是解决类似问题的常用方法.
名师点睛
3.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=12∠BAC,则tan∠BPC的值为 .?
?
答案
3.43 【解析】 过点A作AE⊥BC于点E.∵AB=AC=5,∴BE=12BC=12×8=4,∠BAE=12∠BAC.∵∠BPC=12∠BAC, ∴∠BPC= ∠BAE.在Rt△BAE中,由勾股定理得AE=????????2?????????2=52?42=3,∴tan∠BPC=tan∠BAE=????????????????=43.
?
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
4.已知:如图,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足.求AD的长.
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
答案
4.【解析】 如图,过点C作AB边上的高CE,交BA延长线于点E,则∠CAE=180°-120°=60°.
在Rt△ACE中,∠E=90°,
∵sin∠CAE=????????????????,cos∠CAE=????????????????,
∴CE=AC·sin 60°=2×32=3,AE=AC·cos 60°=2×12=1,
∴BE=AB+AE=5.
在Rt△CBE中,由勾股定理,得BC=????????2+????????2=27.
∵AD⊥BC,∴sinB=????????????????=????????????????,
∴AD=????????·????????????????=4×327=2217.
?
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
5.[2019广西梧州中考]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tan B=34.
(1)求AD的长;
(2)求sin α的值.
?
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
答案
5.【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=????????????????=34,
设AC=3x(x>0),则BC=4x,
由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即 (3x)2+(4x)2=52,
∴x=1,
∴AC=3,BC=4.
∵BD=1,∴CD=3,
∴AD=????????2+????????2=32+32=32.
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E,
sin B=????????????????=????????????????,即35=????????1,∴DE=35,
∴sin α=????????????????=3532=210.
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疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
6.[2019安徽阜阳模拟]某公园内有一如图所示的地块,已知∠A=30°,∠ABC=75°,AB=BC=8 m,求点C到人行道AD的距离.(结果保留根号)
答案
6.【解析】 如图,过点B作BE⊥AD于点E,作BF∥AD,过点C作CF⊥BF于点F.
在Rt△ABE中,∠A=30°,AB=8 m,
∴BE=4 m.
∵BF∥AD,∴∠ABF=30°.
∵∠ABC=75°,∴∠CBF=45°.
在Rt△BCF中,BC=8 m,
∴CF=42 m,
∴点C到人行道AD的距离为CF+BE=(4+42)m.
?
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
5 三角函数的应用
课时1 三角函数的应用(一)
课时1
1.如图,从山顶A望地面C,D两点,测得俯角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C在BD上,则山高AB为 米.?
答案
1.50(3+1) 【解析】 由题可得,∠ACB=45°,∠D=30°,所以BC=AB,BD=????????tan?30°=3AB,设AB=x米,则BC=x米,BD=3x米,因为CD=BD-BC,所以3x-x=100,解得x=50(3+1),所以AB=50(3+1)米.
?
知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
2.[2019河南中考]数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m 的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.
(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34°≈0.67,3≈1.73)
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知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
答案
2.【解析】 在Rt△ACE中,∠A=34°,EC=55 m,
∴AC=????????tan?34°≈550.67≈82.1(m),
∴BC=AC-AB≈82.1-21=61.1(m).
在Rt△BCD中,∠CBD=60°,
∴CD=BCtan 60°≈61.1×1.73≈105.7(m),
∴DE=CD-CE≈105.7-55≈51(m).
故炎帝塑像DE的高度约为51 m.
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知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
3.[2019 四川成都中考]2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°,底部D的俯角为45°,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米.参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)
答案
3.【解析】 解法一 过点A作AE⊥DC,交DC的延长线于点E,
由题意可知DE=AB=20米,△ADE为等腰直角三角形,
∴AE=DE=20米.
在Rt△ACE中,tan∠EAC=????????????????,
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知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
答案
∴CE=AE·tan∠EAC=20·tan 35°≈14(米),
∴CD=DE-CE=20-14=6(米).
故起点拱门CD的高度约为6米.
解法二 如图,过点C作CE⊥AB于点E,易知四边形CDBE为矩形,
∴CE=DB,CD=BE.
∵∠ABD=90°,∠ADB=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,∴AB=DB=20米,
∴CE=20米.
在Rt△ACE中,∠ACE=35°,tan∠ACE=????????????????,
∴AE=CE·tan∠ACE≈20×0.70=14(米),
∴CD=BE=AB-AE=6米.
答:起点拱门CD的高度约为6米.
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知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
4.[2019浙江宁波中考]如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为 米.(精确到1米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)?
?
答案
4.566 【解析】 如图,在Rt△OAC中,∠AOC=45°,OC=OAcos 45°= 400×22=2002(米).在Rt△OBC中,∠COB=60°,OB=????????cos?60°=200212=
4002≈566(米).
?
知识点2 解决与方向角有关的问题
5.原创题2019年12月17日,中国第一艘国产航空母舰山东舰在海南三亚某军港交付海军.如图,B地在A地的正东方向80 km处,某日14:00时,山东舰在A地的南偏西30°方向上的点O处,且点O在B地的南偏西53°方向上,此时山东舰开始沿着OB方向以29.4 km/h的速度航行,请你计算一下山东舰大约何时到达B地.(结果保留整数.参考数据:3≈1.73,sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)
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知识点2 解决与方向角有关的问题
答案
5.【解析】 如图,过点B作AB的垂线,过点O作AB的平行线,两线交于点C,过点A作AD⊥OC于点D.
设OD=x km,由题意知AB=80 km,∠OBC=53°,∠OAD=30°,
∴AD=3x km.
易知四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=80 km,BC=AD=3x km.
∵tan∠OBC=????????????????,
∴OC=BC·tan∠OBC≈3x·43=433x(km),
又∵OC=OD+DC=(x+80)km,
∴x+80=43????3,
解得x=24043?3≈61.22,
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知识点2 解决与方向角有关的问题
答案
∴OC=80+61.22=141.22(km),
∴OB=????????sin?53°≈141.22×54≈176.53(km),
∴t=176.5329.4≈6(h),
14+6=20.
答:山东舰大约20:00到达B地.
?
知识点2 解决与方向角有关的问题
6.[2019湖北随州中考]在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船P的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°的方向,在救助船B的西南方向,且事故渔船P与救助船A相距120海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离;
(2)若救助船A,B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.
知识点2 解决与方向角有关的问题
答案
6.【解析】 (1)如图,过点P作PC⊥AB于点C,则∠PCA=∠PCB=90°,
由题意,得PA=120海里,∠A=30°,∠PBC=45°,
∴PC=12PA=60海里,△BCP是等腰直角三角形,
∴BC=PC=60海里,PB=????????sin∠????????????=602海里.
故收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里.
(2)∵PA=120海里,PB=602海里,
救助船A,B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发,
∴救助船A所用的时间为12040=3(时),
救助船B所用的时间为60230=22(时),
∵3>22,∴救助船B先到达.
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知识点2 解决与方向角有关的问题
1.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 2 km至B港,然后沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为 ( )
A.(30+30 3)km
B.(30+10 3)km
C.(10+30 3)km
D.30 3 km
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答案
1.B 【解析】 根据题意,得∠CAB=65°-20°=45°,∠ACB=40°+20°=60°,AB=302 km.如图,过点B作BE⊥AC于点E,则∠AEB=∠CEB=90°.在Rt△ABE中,∠BAE=45°,AB=302 km, ∴AE=BE=ABcos 45°=30 km.在Rt△CBE中,∠ECB=60°,∴CE=????????tan?60°=103km,∴AC= AE+ CE=(30+103)km,∴A,C两港之间的距离为(30+103)km.故选B.
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2.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80 m,DE=10 m,则障碍物B,C两点间的距离约为
.(结果精确到0.1 m.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)?
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答案
2.52.7 m 【解析】 如图,过点D作DF⊥AB于点F,则四边形FBED是矩形. ∴FD=BE,BF=DE=10 m,FD∥BE.根据题意,得∠FDC=30°,∠ADF= 45°.∵FD∥ BE,∴∠DCE=∠FDC=30°.在Rt△DEC中,∠DEC=90°,DE= 10 m, ∠DCE=30°,tan∠DCE=????????????????,∴CE=????????tan?30°=1033=103(m).在Rt△AFD中, ∠AFD=90°,∠ADF=∠FAD=45°,∴FD=AF.∵AB=80 m,BF=10 m, ∴FD=AF=AB-BF=80-10=70(m),∴BC=BE-CE=FD-CE=70-103≈52.7(m).
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3.[2019内蒙古鄂尔多斯中考]某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动,澄澄老师在网上查得,A和B分别位于学校D的正北和正东方向,B位于A南偏东37°方向,校车从D出发,沿正北方向前往A地,行驶到15千米的E处时,导航显示,在E处北偏东45°方向有一服务区C,且C位于A,B两地中点处.
(1)求E,A两地之间的距离;
(2)校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地,若这段路程限速100千米/时,计算校车是否超速.
(参考数据:sin 37°≈35,cos 37°≈45,tan 37°≈34)
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答案
3.【解析】 (1)如图,过点C作CH⊥AD于点H.
由题意得∠HEC=45°,∴CH=EH.
设CH=EH=x千米,
由点C是AB的中点,CH∥BD,
易得AH=HD=(x+15)千米.
在Rt△ACH中,∠A=37°,则tan 37°=????????????????=????????+15,∴x≈45,
∴CH=EH≈45千米,AH=HD≈60千米,
∴EA=EH+AH≈45+60=105(千米).
答:E,A两地之间的距离为约105千米.
(2)在Rt△ACH中,AC=????????2+????????2≈452+602=75(千米),
∴AB=2AC≈150千米,
1小时40分钟=53小时,
∵150÷53=90<100,∴校车没有超速.
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4.在一个阳光明媚的周末,小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后,将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线(线段AC)长20 m,风筝B的引线(线段BC)长24 m,在C处测得风筝A的仰角为60°,风筝B的仰角为45°.
(1)试通过计算,比较风筝A与风筝B谁离地面更高;
(2)求风筝A与风筝B的水平距离.
(结果精确到0.01 m.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
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答案
4.【解析】 (1)如图,分别过A,B作地面的垂线,垂足分别为D,E.
在Rt△ADC中,AC=20 m,∠ACD=60°,
∴AD=20sin 60°=103≈17.32(m).
在Rt△BEC中,BC=24 m,∠BCE=45°,
∴BE=24sin 45°=122≈16.97(m).
∵17.32>16.97,∴风筝A比风筝B离地面更高.
(2)在Rt△ADC中,AC=20 m,∠ACD=60°,
∴DC=20cos 60°=10(m).
在Rt△BEC中,BE≈16.97 m, ∠BCE=45°,
∴EC=BE≈16.97 m,∴ED=EC-DC≈6.97 m,
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97 m.
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5.[2019四川巴中中考]某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中,在C处测得点D位于西北方向,又在A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC=414 m,AB= 300 m,求出点D到AB的距离.(参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
答案
5.【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,
则四边形EBFD是矩形.
设DE=x m.
在Rt△ADE中,∠AED=90°,AE=????????tan∠????????????≈????2.14 m,
∴BE≈(300-????2.14)m.
∵BF=DE=xm,∴CF=(414-x)m.
在Rt△CDF中,∠DFC=90°,∠DCF=45°,∴DF=CF,
又∵BE=DF,∴BE=CF,即300-????2.14=414-x,解得x=214.
∴点D到AB的距离约是214 m.
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课时2 三角函数的应用(二)
课时2
1.[2019重庆中考A卷]为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面内,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为(参考数据:sin 48°≈0.74,cos 48°≈0.67,tan 48°≈1.11) ( )
A.17.0米
B.21.9米
C.23.3米
D.33.3米
知识点1 解决与坡度、坡角有关的问题
答案
1.C 【解析】 如图,延长DC交直线EA于点F,则DF⊥AF.由题意得CF∶AF=1∶2.4,设CF=x(x>0)米,则AF=2.4x米.在Rt△ACF中,AC=????????2+????????2=2.6x米,∴2.6x=26,解得x=10,故CF=10米,AF=24米,则EF=AE+AF=30米.在Rt△DEF中,tan E=????????????????,∴DF=tan 48°×EF≈1.11×30=33.3(米),∴DC=DF-CF≈33.3-10=23.3(米).
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知识点1 解决与坡度、坡角有关的问题
2.[2020四川乐山期末]水务部门为加强防汛工作,决定对马边河上某电站大坝进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD,如图所示,已知迎水面AB的长为20米,∠B=60°,背水面DC的长为203米,加固后大坝的横断面为梯形ABED,CE的长为5米.
(1)已知需加固的大坝长为100米,求需要填方多少立方米;
(2)求新大坝背水面DE的坡度.(计算结果保留根号).
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知识点1 解决与坡度、坡角有关的问题
答案
2.【解析】 (1)如图,分别过A,D作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G,则四边形AFGD为矩形.
在Rt△ABF中,AB=20米,∠B=60°,sin B=????????????????,
∴AF=20×32=103(米),∴DG=AF=103米.
∴S△DCE=12CE·DG=12×5×103=253(米2).
100×253=2 5003(米3).
答:需要填方2 500 3立方米.
(2)在Rt△DGC中,DC=203米,
∴GC=????????2?????????2=(203)2?(103)2=30(米).
∴GE=GC+CE=35米.
新大坝背水面DE的坡度i=tan E=????????????????=10335=237.
答:新大坝背水坡坡度为237.
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知识点1 解决与坡度、坡角有关的问题
3.[2019湖南邵阳中考]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O,且OB=OE,支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm,∠ADE=30°,DE=190 cm,另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°,求OB的长度.(结果精确到1 cm.参考数据: sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42, tan 65°≈2.14)
知识点2 解决其他实际问题
答案
3.【解析】 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,AC=40 cm,
∴BC=AC·tan A=40·tan 65°≈85.6(cm).
设OB=OE=x cm,则OD=(190+x)cm,OC=(85.6+x)cm.
在Rt△OCD中,∠OCD=90°,∠D=30°,
∴OD=2OC,
∴190+x=2(85.6+x),
解得x=18.8≈19.
故OB的长度约为19 cm.
知识点2 解决其他实际问题
4.[2020江西中考]如图1是一种手机支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位)
(1)若∠DCB=80°,∠CDE=60°,求点A到直线DE的距离;
(2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10°后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直线DE上即可,求CD旋转的角度.
(参考数据:sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,tan 40°≈0.839,sin 26.6°≈0.448,cos 26.6°≈0.894,tan 26.6°≈0.500,3≈1.732)
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知识点2 解决其他实际问题
答案
4.【解析】 (1)如图1,过点C作CH⊥DE于点H.
∵CD=80,∠CDE=60°,
∴sin 60°=????????????????=????????80=32,
∴CH=403≈40×1.732=69.28.
过点A作AM⊥DE交ED的延长线于点M,过点C作CN⊥AM于点N,则四边形CNMH为矩形,
∴MN=CH,∠NCD=∠CDE=60°.
∵∠DCB=80°,
∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.
∵sin∠ACN=????????????????,AC=AB-BC=80,
∴AN=80sin 40°≈80×0.643=51.44,
∴AM=AN+NM=51.44+69.28≈120.7.
答:点A到直线DE的距离约为120.7 mm.
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知识点2 解决其他实际问题
答案
(2)解法一 ∵AB绕着点C逆时针旋转了10°,
∴∠DCB=90°.
如图2,连接BD.
∵DC=80,CB=40,
∴tan∠CDB=????????????????=4080=0.5,
∴∠CDB≈26.6°.
∴∠BDE=60°-26.6°=33.4°.
答:CD旋转的度数约为33.4°.
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知识点2 解决其他实际问题
答案
解法二 当点B落在DE上时,如图3.
∵AB绕着点C逆时针旋转了10°,
∴∠DCB=90°.
在Rt△BCD中,BC=40,CD=80,
∴tan∠BDC=????????????????=4080=0.5,
∴∠BDC≈26.6°,
60°- 26.6°=33.4°.
答:CD旋转的度数约为33.4°.
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知识点2 解决其他实际问题
1.[2020山东德州期末]如图,某测量小组为了测量山BC的高度,在地面A处测得山顶B的仰角为45°,然后沿着坡度为1∶3的坡面AD走了200米达到D处,此时在D处测得山顶B的仰角为60°,则山BC= 米.(结果保留根号)?
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答案
1.(100+1003) 【解析】 如图,过点D作DF⊥AC于点F.由题意知tan∠DAF=????????????????=13=33,AD=200米,∴∠DAF=30°, ∴DF=12AD=12×200=100(米).∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°,∴四边形DECF是矩形,∴EC=DF=100米.∵∠BAC=45°, BC⊥AC, ∴∠ABC=45°.∵∠BDE=60°,DE⊥BC,∴∠DBE=90°-∠BDE=90°-60°=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°,∠BAD=∠BAC-∠DAF=45°-30°=15°,∴∠ABD=∠BAD, ∴BD=AD=200米.在Rt△BDE中,sin∠BDE=????????????????,∴BE= BD·sin∠BDE=200×32=1003(米),∴BC=BE+EC=(100+1003)米.
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2.[2020重庆一中三模]如图是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面AC的倾斜角∠CAB=45°,在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角∠CDB=30°,若新坡面下端D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,则该建筑物是否需要拆除?(结果精确到0.1米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
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答案
2.【解析】 由题意,得AH=10米,BC=10米,
在Rt△ABC中,∠CAB=45°,∴AB=BC=10米.
在Rt△DBC中,∠CDB=30°,tan∠CDB=????????????????,
∴DB=????????tan∠???????????? =1033=103(米),
∴DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-10 3+10≈2.7(米),
∵2.7<3,∴该建筑物需要拆除.
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3.[2019湖南娄底中考]如图,某建筑物CD高96米,它的前面有一座小山,其斜坡AB的坡度i=1∶1.为了测量山顶A的高度,在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α,β.已知tan α=2,tan β=4,求山顶A的高度AE(C,B,E在同一水平面上).
答案
3.【解析】 如图,过点A作AF⊥CD于F.设AE=x米.
∵斜坡AB的坡度i=1∶1,∴BE=AE=x米.
在Rt△BDC中,∠C=90°,CD=96米,∠DBC=β,
∴BC=????????tan?????=964=24(米),
∴EC=BE+BC=(x+24)米,
∴AF=EC=(x+24)米.
在Rt△ADF中,∠AFD=90°,∠DAF=α,
∴DF=AF·tanα=2(x+24)米,
又∵DF=DC-CF=DC-AE=(96-x)米,
∴2(x+24)=96-x,解得x=16.
故山顶A的高度AE为16米.
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4.[2019山东威海中考]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2米,货厢底面距地面的高度BH=0.6米,坡面与地面的夹角∠BAH=α,木箱的长(FC)为2米,高(EF)和宽都是1.6米.通过计算判断:当sin α=35,木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时,木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部?
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答案
4.【解析】 ∵BH=0.6米,sin α=35,
∴AB=????????sin?????=0.635=1(米),
∴AH=0.8米.
∵AF=FC=2米,∴FB=AF-AB=1米.
如图,过点F作FJ⊥BG于点J,过点E作EK⊥FJ交FJ的延长线于点K,则∠EKF=∠FJB=∠AHB=90°,∠EFK=∠FBJ=∠ABH,BF=AB,
∴△EFK∽△ABH,△FBJ≌△ABH,
∴????????????????=????????????????,BJ=BH=0.6米,
∴EK=????????·????????????????=1.28米,
∴BJ+EK=0.6+1.28=1.88(米),1.88<2,
因此木箱上部顶点E不会触碰到汽车货箱顶部.
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6 利用三角函数测高
1.[2019浙江金华中考]如图,在量角器的圆心O处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪,量角器的0刻度线AB对准楼顶时,铅垂线对应的读数是50°,则此时观察楼顶的仰角度数是 .?
答案
1.40° 【解析】 如图,过点O作一水平线OM,则∠MON=90°.由题意可知∠AON=50°,又∵∠AON+∠MON+∠BOM=180°,∴∠BOM=40°,故此时观察楼顶的仰角度数为40°.
知识点1 测量倾斜角
2.[2019江苏苏州中考]如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183 m的地面上,若测角仪的高度是1.5 m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是 ( )
A.55.5 m B.54 m
C.19.5 m D.18 m
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答案
2.C 【解析】 过点D作DE⊥AB于点E,则DE=BC=183m,∴AE=DE·tan∠ADE=183×33=18(m),∴AB=18+ 1.5= 19.5(m).
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知识点2 测量底部可以到达的物体的高度
在解决此类实际问题时,要结合实际图形理解题意,根据仰角、俯角、坡度、方向角等找到相应的直角三角形,把实际问题转化为直角三角形中边角关系问题.若图形中没有直角三角形,则要通过作垂线构造直角三角形.
归纳总结
3.如图,两建筑物的水平距离是36 m,从A点测得D点的俯角α=36°,C点的俯角β=45°,求两个建筑物的高度.(精确到0.1 m.参考数据:tan 36°≈0.73,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81)
知识点2 测量底部可以到达的物体的高度
答案
3.【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E.
在Rt△ABC中,∠ACB=β=45°,
所以AB=BC=36 m.
在Rt△ADE中,∠ADE=α=36°,DE=BC=36 m,
所以AE=DEtan 36°=36tan 36°≈26.28(m),
所以DC=BE=AB-AE≈9.7 m.
答:这两个建筑物的高度分别约为36.0 m和9.7 m.
知识点2 测量底部可以到达的物体的高度
4.[2019广西北部湾经济区中考]小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为 ( )
(已知sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
A.3.2米 B.3.9米 C.4.7米 D.5.4米
答案
4.C 【解析】 过点O作OE⊥AC于点E,延长BD交OE于点F,则∠OBF=35°,∠ODF=65°.设DF=x(x>0)米,则BF= (3+x)米.在Rt△OBF中,tan∠OBF=????????????????,∴OF=(3+x)·tan 35°≈0.7×(3+x)=(0.7x+2.1)(米).在Rt△ODF中,tan∠ODF=????????????????, ∴0.7????+2.1????≈ 2.1, ∴x≈1.5,∴OF≈0.7×1.5+2.1=3.15(米),又∵EF=AB=1.5米,∴OE=OF+FE≈3.15+1.5≈4.7(米).故路灯顶端O到地面的距离约为4.7米.
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
5.[2020河南洛阳一模]如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高为2 m的影子CE;当光线与地面的夹角是45°时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13 m的距离(B,F,C在一条直线上).
(1)求教学楼AB的高度;
(2)学校要在A,E之间挂一些彩旗,请你求出A,E之间的距离.
(结果保留整数.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
答案
5.【解析】 (1)如图,过点E作EM⊥AB,垂足为M,易知四边形MBCE是矩形,ME=BC,BM=CE.设AB=x m.
在Rt△ABF中,∠AFB=45°,
∴BF=AB=xm,∴ME=BC=BF+FC=(x+13)m.
在Rt△AEM中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=(x-2)m,
tan∠AEM=????????????????,∴?????2????+13≈0.40,解得x≈12,
∴教学楼AB的高度约为12 m.
(2)由(1)可得ME=BC=x+13≈12+13=25(m).
在Rt△AME中,AE=????????cos?22°≈27 m,
∴A,E之间的距离约为27 m.
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
6.[2020山东泰安期末]如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度.(结果精确到1 m.参考数据:3≈1.7,2≈1.4)
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
答案
6.【解析】 延长PQ交直线AB于点C.
(1)在Rt△PBC中,∠PBC=60°,
∴∠BPQ=90°-∠PBC=90°-60°=30°.
(2)设PC=x m.
在Rt△APC中,∠PAB=45°,则AC=PC=x m.
在Rt△BPC中,∠PBC=60°,tan∠PBC=????????????????,
∴BC=????????tan?60°=33PC=33x m.
∵AB=AC-BC,∴x-33x=6,解得x=9+33,
∴BC=33x=33×(9+33)=(33+3)(m).
在Rt△BCQ中,∠QBC=30°,tan∠QBC=????????????????,
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
答案
∴QC=BCtan 30°=33×(33+3)=(3+3)(m),
∴PQ=PC-QC=9+33-(3+3)=6+23≈9(m).
答:电线杆PQ的高度约为9 m.
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
解决此类问题的关键是在一个直角三角形中设边长为未知数,通过公共边转移到另一个直角三角形中,由等量关系列出方程求解.
归纳总结
1.如图,某校数学综合实践活动小组的同学欲测量校园内的一棵松树DE的高度,他们在这棵树的正前方的台阶上的点A处测得树顶端D的仰角为27°,再到台阶下的点B处测得树顶端D的仰角为56°,已知台阶的高度AC为2 m,台阶AB的坡度i=1∶2,则大树DE的高度约为 ( )
(结果保留整数.参考数据:sin 27°≈0.5,tan 27°≈0.5,sin 56°≈0.8,tan 56°≈1.5)
A.5 m B.6 m
C.7 m D.8 m
答案
1.B 【解析】 过点A作AF⊥DE,垂足为F,则四边形ACEF为矩形,所以EF=AC=2 m,AF=CE,设DE=x m,则在Rt△BDE中,BE=????????tan∠????????????≈????1.5=23x(m),在Rt△ABC中,BC=2AC=4 m,在Rt△ADF中,tan∠DAF=tan 27°=????????????????=?????????????????????????+????????≈?????24+23????≈0.5,解得x≈6,所以大树DE的高度约为6 m.故选B.
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2.[2019天津中考]如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD.(结果取整数.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
答案
2.【解析】 根据题意,得∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30.
在Rt△ACD中,tan∠CAD=????????????????,
∴AD=????????tan?31°.
在Rt△BCD中,tan∠CBD=????????????????,
∴BD=????????tan?45°=CD.
又∵AD=AB+BD,
∴????????tan?31°=30+CD,
∴CD=30×tan?31°1?tan?31°≈30×0.601?0.60=45.
答:这座灯塔的高度CD约为45 m.
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3.[2019湖南岳阳中考]慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D,B,F在同一水平线上,参考数据:sin 62.3°≈0.89,cos 62.3°≈0.46,tan 62.3°≈1.9)
(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)
(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.
答案
3.【解析】 (1)由题意知,HE=BF=a,HB=EF=1.5,BG=CD=1.7.
在Rt△AHE中,tan∠AEH=????????????????,
∴AH=HE·tan 62.3°≈1.9a,
∴AB=AH+HB=1.9a+1.5,
∴AG=AB-BG=1.9a+1.5-1.7=1.9a-0.2.
∵∠ACG=45°,∠AGC=90°,
∴CG=AG=1.9a-0.2,
∴BD=CG=1.9a-0.2.
答:小亮与塔底中心的距离BD为(1.9a-0.2)米.
(2)由题意得,DF=BD+BF=1.9a-0.2+a=2.9a-0.2=52,
∴a=18,
∴AB=1.9a+1.5=1.9×18+1.5=35.7.
答:慈氏塔的高度AB约为35.7米.
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4.学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,其测量步骤如下(如图所示):
(1)在中心广场观测点C处安置测倾器,测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°;
(2)在观测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C,D与B在同一直线上,且C,D之间的距离可以直接测得),测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°;
(3)测得测倾器的高度CF=DG=1.5米,并测得C,D之间的距离为288米.
已知红军亭的高度为12米,请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(3取1.732,结果保留整数)
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答案
4.【解析】 设AH=x米.
在Rt△EHG中,∠EGH=45°,
∴GH=EH=AE+AH=(x+12)米.
∵GF=CD=288米,
∴HF=GH+GF=x+12+288=(x+300)(米).
在Rt△AHF中,∠AFH=30°,
∴AH=HFtan∠AFH,即x=33(x+300),
解得x=150(3+1),
∴AB=AH+BH≈409.8+1.5≈411(米).
答:凤凰山与中心广场的相对高度AB约为411米.
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专项2 三角函数的
实际应用
1.[2020山东烟台期中]“五一”期间,小华和妈妈到某景区游玩,小明想利用所学的数学知识,估测景区里的观景塔DE的高度.他从点D处走到点A处,然后沿着斜坡AB从点A又走了8米到达点B处,在点B处测得观景塔顶端的仰角为45°,再往前走到点C处,测得观景塔顶端的仰角为30°,已知AB⊥BE,AD,BC均为水平线,BC=10米,则观景塔的高度DE约为 ( )
(结果精确到1 m.参考数据:2≈1.41,3≈1.73)
A.14米 B.15米 C.19米 D.25米
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答案
1.C 【解析】 如图,过点B作BF⊥DE于点F,过点A作AH⊥BF于点H.∵∠EBF=45°,AB⊥BE, ∴∠ABH=45°, ∴AH= BH=8×sin 45°=42(米).在Rt△ECF中,CF=????????tan∠????????????=????????tan?30°=3EF.在Rt△EBF中,∠EBF=45°,∴BF=EF.∵BC=CF-BF,∴3EF-EF=10,所以EF=(53+5)米,∴DE=EF+DF=53+5+42≈19(米). 故选C.
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2.[2019辽宁鞍山中考]如图为某海域示意图,其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20 n mile的速度向正东方向航行,到达A处时测得灯塔D在东北方向上,继续航行0.3 h,到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上,同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上,此时快艇与岛屿C的距离是多少?(结果精确到1 n mile.参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
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答案
2.【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,
则四边形CDEF为矩形,∴CF=DE.
根据题意,得∠DAB=45°,∠DBE=60°,∠CBF=45°.
设DE=x n mile,则AE=DE=x n mile.
在Rt△DEB中,tan∠DBE=????????????????,
∴BE=????tan?60°=33x(n mile).
∵AB=20×0.3=6(n mile),AE-BE=AB,
∴x-33x=6,解得x=9+33,
∴CF=DE=(9+33)n mile.
在Rt△CBF中,sin∠CBF=????????????????,∴BC=????????sin?45°=9+3322=92+36≈20(n mile).
答:此时快艇与岛屿C的距离约是20 n mile.
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3.[2020四川成都期中]如图,小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,然后走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角为60°,再向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知点A离地面的高度AB=2米,∠BCA=30°,且B,C,D三点在同一直线上.
(1)求树DE的高度;
(2)求食堂MN的高度.
答案
3.【解析】 (1)如图,过点A作AF⊥DE,交DE于F,设DE=x米,
∵DF=AB=2 米,∴EF=DE-DF=(x-2)米.
在Rt△AEF中,∠EFA=90°,∠EAF=30°,
∴AF=????????tan∠????????????=?????233=3(x-2)(米).
在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∠DCE=60°,
∴CD=????????tan∠????????????=????3=33x(米).
?
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,
∴BC=????????tan∠????????????=233=23(米),
∴BD=BC+CD=(23+33x)米.
?
答案
由AF=BD,可得3(x-2)=23+33x,解得x=6.
故树DE的高度为6米.
(2)如图,延长NM交直线DB于点P,则BP=AM=3 米.
由(1)知CD=33x=23米,BC=23米,
∴PD=BP+BC+CD=3+23+23=(3+43)(米).
∵∠NDP=45°,∴NP=PD·tan 45°=(3+43)米.
∵MP=AB=2米,∴NM=NP-MP=3+43-2=(1+43)(米).
故食堂MN的高度为(1+43)米.
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4.祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制定了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.
(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点C到AB的距离(参考数据:sin 38°≈0.6,cos 38°≈0.8,tan 38°≈0.8, sin 28°≈0.5,cos 28°≈0.9,tan 28°≈0.5);
(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).
项目
内容
课题
测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示
意图
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说明:两侧最长斜拉索AC,BC相交于点C,分别与桥面交于A,B两点,且点A,B,C在同一竖直平面内.
测量
数据
∠A的度数
∠B的度数
AB的长度
38°
28°
234 m
?
?
答案
4.【分析】 (1)过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x m,分别在Rt△ADC和Rt△BDC中用含x的式子表示出AD,BD的长,再利用方程思想,求出x的值,即可得解.(2)根据实际操作中需要的条件补充即可.
【解析】 (1)如图,过点C作CD⊥AB于点D.
设CD=x m,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=38°,
∴tan A=tan 38°=????????????????,∴AD=????????tan?38°≈????0.8=54x.
在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠B=28°,
∴tan B=tan 28°=????????????????,∴BD=????????tan?28°≈????0.5=2x.
∵AD+BD=AB=234,
∴54x+2x=234.
解得x=72.
答:斜拉索顶端点C到AB的距离约为72 m.
(2)答案不唯一,还需要补充的项目有测量工具,计算过
数学·九年级下册·北师
1 锐角三角函数
课时1 正切
课时1
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为 ( )
A.3 B.13 C.1010 D.31010
?
答案
1.A 【解析】 由题意可知,∠A的正切值为????????????????=31=3.故选A.
?
知识点1 正切的定义
2.[2020黑龙江哈尔滨期中]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,则tan B的值为 ( )
A.35 B.45
C.43 D.34
?
答案
2.D 【解析】 在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=????????2?????????2=4,∴tan B=????????????????=34.故选D.
?
知识点1 正切的定义
直角三角形中求锐角的正切值的方法
(1)若已知两直角边长,直接利用正切的定义求解;(2)若已知一直角边长及斜边长,可先利用勾股定理求出另一直角边长,再利用正切的定义求解.
名师点睛
3.如图,已知点A(t,3)在第一象限,OA与x轴的夹角为α,且tan α=32,则t的值是 ( )
A.1 B.32
C.2 D.3
?
答案
3.C 【解析】 过点A作AB⊥x轴于点B,则由题意,知OB=t,AB=3,在Rt△AOB中,tan α=????????????????=3????=32,所以t=2.故选C.
?
知识点1 正切的定义
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的14,那么∠A的正切值( )
A.缩小为原来的14 B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的12 D.没有变化
?
答案
4.D 【解析】 由题意,知Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的14,根据相似三角形的性质可得,∠A的对边与邻边的比值不变,所以∠A的正切值不变.故选D.
?
知识点1 正切的定义
5.原创题一块正方形场地ABCD如图所示,已知该场地的对角线长为40 m,CE是场地中的一条小路,且测得tan∠BCE=24,则小路CE的长为( )
A.40 m
B.30 m
C.20 m
D.10 m
?
答案
5.B 【解析】 连接AC.由题意,知AC=40 m,∴BC=202m.在Rt△BEC中,tan∠BCE=????????????????=24,∴BE=24BC=10 m,根据勾股定理,得CE=????????2+????????2=30 m.
?
知识点1 正切的定义
6.[2020福建宁德期末]在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan A=25,则tan B= .?
?
答案
6. 52 【解析】 由题意,知tan A=????????????????=25,所以tan B=????????????????=52.
?
知识点1 正切的定义
7.[2020陕西宝鸡期末]在5×5的正方形网格中,∠AOB如图所示,则tan∠AOB= .?
答案
7.2 【解析】 如图,连接CD,则tan∠AOB=tan∠COD=????????????????=21=2.
?
知识点1 正切的定义
在网格中求锐角的正切值的方法
在网格中求某一锐角的正切值时,要借助网格的特点,将涉及的锐角放在某格点直角三角形中,利用网格的单位长度求出直角三角形的各边长,再利用正切的定义求出锐角的正切值.
归纳总结
8.如图,梯子与地面所成的锐角为∠BAC.关于∠BAC的正切值与梯子倾斜程度的关系,下列叙述正确的是 ( )
A.tan∠BAC的值越大,梯子越缓
B.tan∠BAC的值越小,梯子越陡
C.tan∠BAC的值越大,梯子越陡
D.梯子的陡缓程度与∠BAC的正切值无关
答案
8.C
知识点2 梯子的倾斜程度与正切的关系
9.如图,梯子AB和EF中,更陡的是 ( )
A.一样陡
B.梯子AB
C.梯子EF
D.不能确定
答案
9.C 【解析】 tan B=41.5=83,tan F=3.51.2=3512,3512>83,故梯子EF更陡.故选C.
?
知识点2 梯子的倾斜程度与正切的关系
10.如图所示是一水库大坝的横截面的一部分,坝高h=6 m,迎水坡AB=10 m,斜坡的坡角为α,则该斜坡的坡度是 ( )
A.35 B.45
C.43 D.34
?
答案
10.D 【解析】 斜坡的坡度实际上是坡角的正切值,因此过点A作AH垂直坝底于点H,则AH=6 m.在Rt△AHB中, ∠AHB=90°,由勾股定理可得,HB=????????2?????????2=102?62=8(m),所以tan α=????????????????=68=34.故选D.
?
知识点3 坡度(或坡比)与坡角
11.[2020山东泰安期末]一辆小车沿某斜坡向上行驶,斜坡的坡度为1∶2.4,若小车上升的高度为5米,则小车行驶的距离为 ( )
A.10米 B.12米 C.13米 D.15米
答案
11.C 【解析】 如图,由题意知,tan B=????????????????=12.4,AC=5米,所以BC=12 米.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=122+52= 13(米),所以小车行驶的距离为13米.故选C.
?
知识点3 坡度(或坡比)与坡角
12.[2020辽宁鞍山二模]如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为20 cm,宽为30 cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起始点为A,斜坡的起始点为C,若设计斜坡的坡度i=15,则AC的长度是 cm.?
?
答案
12.240 【解析】 过点B作BD⊥AC于点D,则BD=60 cm,AD=60 cm.在Rt△BCD中,tan∠BCD=i=????????????????=15,所以CD=300 cm,所以AC=CD-AD=240 cm.
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知识点3 坡度(或坡比)与坡角
将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,即可把条件和问题放到直角三角形中进行求解.
名师点睛
1.[2020安徽阜阳一模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,则∠ACD的正切值是 ( )
A.43 B.35
C.53 D.34
?
答案
1.D 【解析】 由题意知,CD=AD,∴∠A=∠ACD.∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,∴tan A=????????????????=68=34,∴tan∠ACD=34.故选D.
?
2.[2019辽宁葫芦岛连山区一模]如图,在△ABC中,∠C=90°,tan A=125,△ABC的周长为60,则△ABC的面积为 ( )
A.60
B.30
C.240
D.120
?
答案
2.D 【解析】 在△ABC中,∠C=90°,则tan A=????????????????=125,设BC=12x(x>0),则AC=5x,根据勾股定理,得AB=13x.由题意,得12x+5x+13x=60,解得x=2,所以BC=24,AC=10,所以△ABC的面积为12×BC×AC=120.故选D.
?
3.[2020山东泰安期末]在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,△ABC的顶点都在格点上,则tan∠BAC的值为 ( )
A.3510 B.255
C.12 D.55
?
答案
3.C 【解析】 如图,连接格点D,C,易得CD⊥AB,AD=2DC, ∴tan∠BAC=????????????????=12.故选C.
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4.[2020广东深圳中考]如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P,Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70°方向,则河宽(PT的长)可以表示为 米.?
答案
4.200tan?70° 【解析】 在Rt△PQT中,∠QPT=90°,∠PTQ=70°,∴tan 70°=????????????????,∴PT=????????tan?70°=200tan?70°,即河宽为200tan?70°米.
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5.[2020吉林长春期中]如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tan C= .?
答案
5.43 【解析】 如图,连接BD.由E,F分别是AB,AD的中点,易知BD=2EF=4.∵BD2+CD2=42+32=BC2,∴△BCD是直角三角形,∴tan C=????????????????=43.
?
6.如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC,若tan B=53,则tan∠CAD的值为 .?
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答案
6.15 【解析】 如图,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,则易证△CDE∽ △BDA,所以????????????????=????????????????=????????????????=12.设AD=5a(a>0),结合tan B=????????????????=53,则AB=3a, DE= 2.5a,CE=1.5a,所以AE=7.5a,所以tan∠CAD=????????????????=1.5????7.5????=15.
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7.[2020上海杨浦区一模]如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tan A=43,则CD= .?
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答案
7.65 【解析】 如图,延长AD交BC的延长线于点E.在Rt△ABE中,tan A=????????????????=43, AB=3,∴BE= 4,∴EC=BE-BC=4-2=2.在△ABE和△CDE中,∠B=∠EDC= 90°,∠E= ∠E,∴∠DCE= ∠A, ∴tan∠DCE= tan A=????????????????=43.设DE=4x(x>0),则CD=3x,在Rt△DCE中,由勾股定理得4=16x2+9x2,∴x=25,∴CD=65.
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8.如图,已知钝角三角形ABC,点D在BC的延长线上,连接AD,若∠ACB=2∠D,AD=2,AC=32,求tan D的值.
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答案
8.【解析】 如图,过点C作CH⊥AD于点H,
∵∠ACB=2∠D,∠ACB=∠D+∠CAD,
∴∠D=∠CAD,∴CD=AC=32,
∴AH=HD=12AD=1.
在Rt△CHD中,∠CHD=90°,由勾股定理,
得CH=????????2?????????2=(32)2?12=52,
∴tan D=????????????????=52.
?
9.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE折叠,使点D恰好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE的值.
答案
9.【解析】 在矩形ABCD中,∠B=∠D=90°,CD=AB=10,
根据折叠的性质,得∠EFC=∠D=90°,CF=CD=10,
∴∠AFE+∠BFC=180°-∠EFC=90°.
∵∠BCF+∠BFC=90°,∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BCF中,BC=8,CF=10,
由勾股定理易得BF=6,∴tan∠BCF=????????????????=68=34,
∴tan∠AFE=34.
?
对于折叠问题,折叠前后会出现相等的边和角,利用这一特性,可以实现边和角的转化.
名师点睛
10.如图是一水坝的横截面,AD∥BC,斜坡AB的坡度i=1∶3,坝顶宽BC=3 m,坝高为4 m,斜坡CD=5 m.
(1)比较斜坡AB和CD哪个更陡;
(2)求坝底宽AD的长.
答案
10.【解析】 (1)如图,过B,C两点分别作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,由题可知BE=CF=4 m.
在Rt△CDF中,∠CFD=90°,CF=4 m,CD=5 m,
∴DF=????????2?????????2=3 m,∴tanD=????????????????=43.
∵斜坡AB的坡度i=13<43,∴斜坡CD更陡.
(2)∵tan A=????????????????=13,BE=4 m,∴AE=12 m.
∵BE,CF分别垂直于AD,∴BE∥CF,
又∵BC∥AD,∴四边形BCFE是平行四边形,
∴EF=BC=3 m,
∴AD=AE+EF+DF=12+3+3=18(m).
?
1 锐角三角函数
课时2 正弦和余弦
课时2
1.[2020广西河池中考]在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sin B的值是 ( )
A.512 B.125 C.513 D.1213
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答案
1.D 【解析】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,由勾股定理,得AB=52+122=13,∴sin B=????????????????=1213.故选D.
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知识点1 正弦的定义
2.[2020四川雅安中考]如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,sin B=0.5,若AC=6,则BC的长为 ( )
A.8 B.12
C.63 D.123
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答案
2.C 【解析】 在Rt△ACB中,sin B=????????????????=6????????=0.5,∴AB=12,∴BC=????????2?????????2=144?36=63.故选C.
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知识点1 正弦的定义
3.[2020山东青岛期中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,如果BC=3,AC=4,那么sin∠BCD= .?
答案
3. 35 【解析】 ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°,∴∠BCD=∠A.在Rt△ABC中,BC=3, AC=4,由勾股定理,得AB=????????2+????????2=5,∴sin∠BCD=sin A=????????????????=35.
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知识点1 正弦的定义
4.如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则cosA的值是 ( )
A.2 B.1
C.22 D.12
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答案
4.C 【解析】 如图,过点B作BD⊥AB交AC于点D,所以∠ABD=90°.在Rt△ABD中,AB= BD=2,由勾股定理可知,AD=????????2+????????2=22,所以cosA=????????????????=222=22.故选C.
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知识点2 余弦的定义
正切、正弦和余弦的概念易混淆,需仔细区分,可以简记为“正切对比邻,正弦对比斜,余弦邻比斜”.
归纳总结
5.[2020广西北海期末]在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=34,则cosB= ( )
A.35 B.45 C.34 D.43
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答案
5.C 【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=????????????????=34,所以cosB=????????????????=34.故选C.
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知识点2 余弦的定义
6.[2020四川成都成华区模拟]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2AC,则cosA= ( )
A.12 B.52
C.255 D.55
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答案
6.D 【解析】 设AC=a(a>0),则BC=2a.在Rt△ABC中,AB=????????2+????????2=5a,∴cosA=????????????????=????5????=55.故选D.
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知识点2 余弦的定义
7.如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC,AC于点D,E,连接BE.若BE=9,BC=12,则cos C= .?
答案
7.23 【解析】 因为DE是BC的垂直平分线,所以EC=BE=9,BD=DC=6,∠EDC=90°,所以cosC=????????????????=69=23.
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知识点2 余弦的定义
8.[2019浙江金华中考]如图,矩形ABCD的对角线交于点O.已知AB=m,∠BAC=∠α,则下列结论错误的是 ( )
A.∠BDC=∠α
B.BC=m·tanα
C.AO=????2sin?????
D.BD=????cos?????
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答案
8.C 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°,AO=OB=CO=DO,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠BDC= ∠BAC= ∠α, 故A选项结论正确;在Rt△ABC中,tan α=????????????????=????????????,cosα=????????????????=????????????,∴BC=m·tanα,AC=????cos?????,∴BD=AC=????cos?????, AO=????2cos?????,故B,D选项结论正确,C选项结论错误.故选C.
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知识点3 锐角三角函数
9.[2020黑龙江哈尔滨道外区期末]如图,在△ABC中,∠C=90°,sin A=37,点D为边AC上一点,若∠BDC=45°,DC=6 cm,则△ABC的面积为 cm2.?
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答案
9.1210 【解析】 在Rt△BCD中,∠BDC=45°,DC=6 cm,∴BC=6 cm.在Rt△ABC中,sin A=????????????????,∴AB=637=14(cm), ∴AC=142?62=410(cm),∴△ABC的面积为12×6×410=1210(cm2).
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知识点3 锐角三角函数
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,求sin A及cos A的值.
答案
10.【解析】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∵tan A=2,∴????????????????=2,即BC=2AC,
∴AB=????????2+????????2=(2????????)2+????????2=5AC,
∴sin A=????????????????=2????????5????????=255,cosA=????????????????=????????5????????=55.
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知识点3 锐角三角函数
11.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,OB=5,sin∠BOA=35.
(1)求点B的坐标;
(2)求cos∠BAO的值.
?
知识点3 锐角三角函数
答案
11.【解析】 (1)过点B作BC⊥OA于点C.
∵OB=5,sin∠BOA=35,∴BC=3,
∴OC=????????2?????????2=52?32=4,
又∵点B在第一象限内,
∴点B的坐标为(4,3).
(2)∵A(10,0),OC=4,∴AC=6,
∴AB=????????2+????????2=62+32=35,
∴cos∠BAO=ACAB=635=255.
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知识点3 锐角三角函数
1.已知甲、乙两坡的坡角分别为α,β,若甲坡比乙坡更陡些,则下列结论正确的是 ( )
A.tan α
1.C 【解析】 甲坡比乙坡更陡,意味着坡角α>β,而角度越大,其正弦值、正切值越大,余弦值越小.故选C.
2.[2019浙江杭州中考]如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b, ∠BCO=x,则点A到OC的距离等于 ( )
A.asin x+bsin x
B.acos x+bcos x
C.asin x+bcos x
D.acos x+bsin x
答案
2.D 【解析】 过点A作AE⊥OB于点E. ∵∠ABC=90°,∴∠ABE+∠OBC=90°.∵∠BOC=90°,∴∠OBC+ ∠BCO=90°, ∴∠ABE=∠BCO=x.在Rt△ABE中,BE=AB·cos∠ABE=acos x.在Rt△BCO中,BO=BC·sin x=AD·sin x=bsin x,故点A到OC的距离等于BE+BO=acos x+bsin x.故选D.
3.[2020山东枣庄期末]定义:在等腰三角形中,底边与腰的比叫做顶角的正对,顶角A的正对记作sad A,即sad A=底边∶腰.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,则cosB·sadA= ( )
A.1 B.32
C.32 D.34
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答案
3.B 【解析】 ∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠BAC=4∠B,∠BAC+∠B+∠C=180°,∴6∠B=180°,解得∠B=30°.如图,过点A作AD⊥BC于点D,设AD=a(a>0),则AB=2a,BD=3a.∵BC=2BD,∴BC=23a,∴sad∠BAC=????????????????=3.在Rt△ABD中, cosB=????????????????=32,∴cosB·sad∠BAC=32×3=32.故选B.
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4.原创题民间流传一谚语“山上多栽树,等于修水库”.如图,某村准备在坡角为α的山坡上栽树,如果要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么为了达到要求,村民只需保证相邻两树在坡面上的距离(AB)为 米.?
答案
4.5cos????? 【解析】 由题意可得cosα=5????????,所以AB=5cos?????米.
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5.易错题在△ABC中,AB=AC=5,BD是高,且cos∠ABD=35,则CD= .?
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答案
5.1或9 【解析】 分两种情况:①若△ABC是锐角三角形,如图1,∵BD是AC边上的高,∴∠BDA=90°,在Rt△ABD中, AB=5,cos∠ABD=????????????????=35,∴BD=3,∴AD=????????2?????????2=4,∴CD=AC-AD=5-4=1;②若△ABC是钝角三角形,如图2, ∵BD是AC边上的高,∴∠BDA=90°,在Rt△ABD中,AB=5,cos∠ABD=????????????????=35,∴BD=3,∴AD=????????2?????????2=4,∴CD=AC+AD= 5+4=9. 综上,CD=1或9.
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6.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tan A=32,求sin B+cosB的值.
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答案
6.【解析】 ∵CD⊥AB,∴△ACD和△BCD均为直角三角形.
在Rt△ACD中,tan A=????????????????=32,CD=6,
∴AD=2????????3=4,∴BD=AB-AD=12-4=8.
在Rt△BCD中,由勾股定理可得BC=????????2+????????2=10,
∴sin B=????????????????=610=35,cosB=????????????????=810=45,
∴sin B+cosB=35+45=75.
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7.[2019贵州贵阳中考]如图,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD,CE.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形.
(2)若DA=DB=2,cos A=14,求点B到点E的距离.
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答案
7.【解析】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵DE=AD,∴DE=BC,
∴四边形BCED是平行四边形.
(2)如图,连接BE.
∵DA=DB=2,DE=AD,∴AD=BD=DE=2,
又由(1)知四边形BCED是平行四边形,
∴四边形BCED是菱形,
∴BE⊥DC,∴AB⊥BE,∴∠ABE=90°.
∵cosA=????????????????=14,AE=4,∴AB=1,
∴BE=????????2?????????2=15,
即点B到点E的距离为15.
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8.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,将△BCE沿BE折叠得到△BFE,点F落在边AD上.
(1)求证:△ABF∽△DFE.
(2)若sin∠DFE=13,求tan∠EBC的值.
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答案
8.【解析】 (1)由题意可得,∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°,
又∵∠AFB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DFE,
∴△ABF∽△DFE.
(2)由折叠可得FB=BC,EF=EC.
∵sin∠DFE=13,∴????????????????=13,即EF=3DE,
∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF=????????2?????????2=22DE.
∵△ABF∽△DFE,∴????????????????=????????????????,
∴FB=????????·????????????????=3????????·4????????22????????=32DE,
又∵FB=BC,EF=EC,
∴tan∠EBC=????????????????=3????????32????????=22.
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9.如图,根据提供的数据回答下列问题:
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?
(1)在图1中,tan A= ,sin?????cos?????= ;?
在图2中,tan A1= ,sin?????1cos?????1= .?
通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律?用一个一般式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.
(2)根据(1),请完成下列问题.
已知tan α=2,求sin?????+3cos?????2sin??????cos?????的值.
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答案
9.【解析】 (1)43 43 125 125
规律:对于任意锐角α,有tan α=sin?????cos?????.
证明:如图,在Rt△A2B2C2中,tan α=????????,sin?????cos?????=????????????????=????????,
∴tan α=sin?????cos?????.
(2)sin?????+3cos?????2sin??????cos?????
=sin?????cos?????+3cos?????cos?????2sin?????cos??????cos?????cos?????
=tan?????+32tan??????1.
∵tan α=2,
∴原式=2+34?1=53.
?
2 30°,45°,60°角的
三角函数值
1.2cos 60°= ( )
A.1 B.3 C.2 D.12
?
答案
1.A 【解析】 2cos 60°=2×12=1.故选A.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
2.计算2sin 45°-tan2 60°的值是 ( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1
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答案
2.C 【解析】 2sin 45°-tan260°=2×22-(3)2=-2.故选C.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
3.[2020安徽淮北相山区期末]下列计算错误的有 ( )
①sin 60°-sin 30°=sin 30°; ②sin245°+cos245°=1;
③tan2 45°=12; ④tan 30°=cos?30°sin?30°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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答案
3.C 【解析】 sin 60°-sin 30°=32?12,sin 30°=12,故①错误;sin245°+cos245°=(22)2+(22)2=12+12=1,故②正确;tan2 45°= 12= 1, 故③错误;tan 30°=33,cos?30°sin?30°=3212=3,故④错误.所以错误的共有3个.故选C.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
4.[2019浙江杭州期末]计算:cos245°-tan 30°sin 60°= .?
答案
4.0 【解析】 cos245°-tan 30°sin 60°=12?33×32=12?12=0.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
5.[2020上海虹口区一模]计算:2cos230°?sin?30°tan260°?4cos?45°.
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答案
5.【解析】 2cos230°?sin?30°tan260°?4cos?45° = 2×(32)2?12(3)2?4×22 = 2×34?123?22 = 13?22 = 3+22.
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知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
有关特殊角的三角函数值化简计算的策略
当题目中涉及特殊角的三角函数值的计算时,一般步骤为:①正确代入特殊角的三角函数值;②根据运算顺序(先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的)进行化简计算.
归纳总结
6.[2019湖南怀化中考]已知∠α为锐角,且sin α=12,则∠α= ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
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答案
6.A
知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
7.在△ABC中,tan A=3,则cosA的值为 ( )
A.12 B.22 C.32 D.33
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答案
7.A 【解析】 在△ABC中,tan A=3,则∠A=60°,所以cosA=12.故选A.
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知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
8.[2020辽宁抚顺模拟]在△ABC中,若tan A=1,sin B=22,则下列你认为最确切的判断是 ( )
A.△ABC是等腰三角形
B.△ABC是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是一般锐角三角形
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答案
8.C 【解析】 在△ABC中,由tan A=1,sin B=22,可得∠A=45°,∠B=45°,所以∠A=∠B,∠C=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.故选C.
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知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
9.[2020山东淄博期末]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,若BC=32AC,则tan A= .?
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答案
9.3 【解析】 ∵BC=32AC,∠B=90°,∴sin A=????????????????=32,∴∠A=60°,∴tan A=3.
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知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
10.若锐角α满足tan(α+15°)=1,则cos α= .?
答案
10.32 【解析】 由α为锐角,tan(α+15°)=1,可得α+15°=45°,所以α=30°,所以cosα=cos 30°=32.
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知识点2 已知特殊角的三角函数值求角
11.[2020湖南长沙中考]从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距离是 ( )
A.423米 B.143米
C.21米 D.42米
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答案
11.A 【解析】 设船离灯塔的水平距离为s米,依题意,得tan 30°=42????,所以s=42tan?30°=423.故选A.
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知识点3 特殊角的三角函数值的应用
12.[2020江西赣州模拟]如图,平地上一棵树高为6米,两次观察其在地面上的影子,第一次观察是当光线与地面成60°角时,第二次观察是当光线与地面成30°角时,则第二次观察到的影子比第一次长 米.?
答案
12.43 【解析】 第一次观察到的影子长为6tan?60°=23(米),第二次观察到的影子长为6tan?30°=63(米),所以第二次观察到的影子比第一次长63-23=43(米).
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知识点3 特殊角的三角函数值的应用
13.如图,在△ABC中,∠B=60°,sin C=45,AC=10,求AB的长.
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答案
13.【解析】 如图,过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ACD中,sin C=????????????????=45,
∵AC=10,∴AD=8.
在Rt△ABD中,∠B=60°,sin B=????????????????,
∴sin 60°=8????????=32,
∴AB=1633.
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知识点3 特殊角的三角函数值的应用
14.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内滑梯的倾斜角由45°降为30°,已知原滑梯AB的长为5米,点D,B,C在同一水平线上.求改造后滑梯会加长多少米.(结果精确到0.01米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732,6≈2.449)
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答案
14.【解析】 在Rt△ABC中,AB=5米,∠ABC=45°,
∴AC=ABsin 45°=5×22=522(米).
在Rt△ADC中,∠ADC=30°,∴AD=2AC=52(米),
∴AD-AB=52-5≈5×1.414-5=2.07(米).
故改造后滑梯会加长约2.07米.
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知识点3 特殊角的三角函数值的应用
1.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若|sin A-12|+(cosB-12)2=0,则∠C的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
?
答案
1.D 【解析】 由题意,知|sin A-12|=0,(cosB-12)2=0,所以sin A=12,cosB=12,所以∠A=30°,∠B=60°,所以∠C=180°-∠A-∠B=90°.故选D.
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(1)若几个非负数的和为0,则这几个非负数同时为0;(2)由三角函数值反过来求角的度数时,一定要注意求的角是否为锐角.
名师点睛
2.[2020 浙江绍兴一模]按如图所示的运算程序,能使输出的y值为12的是 ( )
A.α=60°,β=45°
B.α=30°,β=45°
C.α=30°,β=30°
D.α=45°,β=30°
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答案
2.C 【解析】 A项,α=60°,β=45°,α>β,则y=sin α=sin 60°=32;B项,α=30°,β=45°,α<β,则y=cosβ=cos 45°=22;C项,α=30°, β=30°,α=β,则y=sin α=sin 30°=12;D项,α=45°,β=30°,α>β,则y=sin α=sin 45°=22.故选C.
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3.[2020福建福州期末]如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B=32,AC=23,则AB=( )
A.3+3
B.2+23
C.5
D.92
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答案
3.C 【解析】 过点C作CD⊥AB于点D,∴∠ADC=∠CDB=90°.在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=23,∴CD=3,AD=3.在Rt△BCD中,tan B=????????????????=32,∴BD=2,∴AB=AD+BD=3+2=5.故选C.
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4.在△ABC中,若sin B=cos(90°-∠C)=12,则∠A的度数为 .?
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答案
4.120° 【解析】 在△ABC中,sin B=cos(90°-∠C)=12,所以90°-∠C=60°,∠B=30°,所以∠C=30°,所以∠A的度数为180°-30°-30°=120°.
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5.已知cos2α-cosα+14=0,则锐角α的度数为 .?
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答案
5.60° 【解析】 cos2α-cosα+14=(cosα-12)2=0,所以cosα=12,所以锐角α的度数为60°.
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6.已知α为锐角,当21?tan?????无意义时,tan(α+15°)-tan(α-15°)的值是 .?
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答案
6.233 【解析】 当21?tan?????无意义时,tan α=1,因为α为锐角,所以 α=45°,所以tan(α+15°)-tan(α-15°)=tan 60°-tan 30°=3?33=233.
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本题的突破点在于根据分式无意义的条件,可以得出tan α=1,从而确定锐角α的度数,然后利用特殊角的正切值来进行计算.
名师点睛
7.[2020山东潍坊潍城区期中]在△ABC中,AB=63,AC=6,cos B=32,则BC的长为 .?
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答案
7.12或6 【解析】 过点A作AD⊥BC于点D.如图1,当AD在△ABC的内部时,∵cosB=32,∴∠B=30°.在Rt△ABD中, AD=ABsin30°=33,BD=ABcos 30°=63×32=9.在Rt△ADC中,CD=62?(33)2=3,∴BC=BD+CD=9+3=12.同理,如图2,当AD在△ABC的外部时,BC=BD-CD=9-3=6.综上所述,BC的长为12或6.
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8.[2020上海青浦区一模]计算:3tan 30°-1cos?60°+22cos 45°+(1?tan?60°)2.
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答案
8.【解析】 3tan 30°-1cos?60°+22cos 45°+(1?tan?60°)2
=3×33?112+22×22+(1?3)2
=3-2+2+3-1
=23-1.
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9.[2020河南焦作期末]如图,小巷左右两侧是竖直的墙,梯子AC斜靠在右墙时,测得梯子与地面的夹角为45°,梯子底端与墙的距离CB=2米,若梯子底端C的位置不变,将梯子斜靠在左墙,测得梯子与地面的夹角为60°,则此时梯子的顶端与地面的距离A'D是多少米?
答案
9.【解析】 在Rt△ABC中,∠BCA=45°,∴AB=BC=2米,
∴AC=????????2+????????2=22+22=22(米),
∴A'C=AC=22米.
在Rt△A'DC中,A'D=A'C·sin 60°=22×32=6(米),
∴此时梯子的顶端与地面的距离A'D是6米.
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10.如图,在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30 m,BC=70 m, ∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离.
答案
10.【解析】 如图,过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D.
在Rt△CDA中,AC=30 m,∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°,
∴CD=ACsin∠CAD=30sin 60°=153(m),AD=ACcos∠CAD=30cos 60°=15(m).
在Rt△CDB中,BC=70 m,BD2=BC2-CD2,
∴BD=702?(153)2=65(m),
∴AB=BD-AD=65-15=50(m).
故A,B两个凉亭之间的距离为50 m.
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11.要求tan 30°的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=3,∠ABC=30°,tan 30°=????????????????=13=33.在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan 15°的值.请你写出添加辅助线的方法,并求出tan 15°的值.
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答案
11.【解析】 如图,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,则∠D=15°.
因为BD=AB=2,所以DC=BD+BC=2+3,
所以tan 15°=????????????????=12+3=2-3.
?
3 三角函数的计算
1.计算器的按键顺序是 ,实际上它是求一个角的正弦值,则这个角的度数为 ( )
A.75°38'25″ B.25°38'57″
C.38°25'75″ D.57°25'38″
答案
1.A 【解析】 明确按键顺序,虽然按了三次 ,但它会按顺序自动生成度、分、秒,所以这个角的度数是75°38'25″.故选A.
知识点1 用计算器求锐角的三角函数值
2.利用计算器求cos 26.5°的值约为 ( )
A.0.845 2
B.0.707 0
C.0.894 9
D.0.898 8
答案
2.C
知识点1 用计算器求锐角的三角函数值
3.利用计算器求下列各式的值.(结果保留小数点后三位)
(1)sin 35°; (2)cos 62°18'; (3)tan 15°24'36″.
答案
3.【解析】 (1)sin 35°≈0.574.
(2)cos 62°18'≈0.465.
(3)tan 15°24'36″≈0.276.
知识点1 用计算器求锐角的三角函数值
4.已知sin A=0.234 5,则锐角∠A的度数约为 ( )
A.13.56° B.13°56' C.31°16' D.31.56°
答案
4.A 【解析】 已知角的三角函数值,求角的度数,就要先按计算器的SHIFT,后面的按键顺序为sin0·2345=,结果是13.56°.故选A.
知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数
5.[2020山东烟台莱山区一模]如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=3,若用科学计算器计算∠A的度数,且计算结果以“度、分、秒”为单位,则下列按键顺序正确的是 ( )
答案
5.D 【解析】 由题意,得tan A=????????????????=23,所以按键顺序为SHIFTtan(2÷3)°'″= .故选D.
?
知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数
6.已知cos A=0.576 9,则∠A≈ .(精确到1')?
答案
6.54°46'
知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数
7.[2019山东德州中考]如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,那么梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,则AC的长度约为 米.(精确到0.01米.sin 70°≈0.94, sin 50°≈0.77,cos 70°≈0.34,cos 50°≈0.64) ?
答案
7.1.02 【解析】 在Rt△ABO中,∠ABO=70°,AB=6米,∴sin 70°=????????????????=????????6,∴AO≈5.64米.在Rt△CDO中,∠CDO=50°, DC=6米,∴sin 50°=????????????????=????????6,∴CO≈4.62 米,∴AC≈5.64-4.62=1.02(米).
?
知识点3 利用三角函数解决实际问题
8.[2019浙江台州中考]图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图.已知车杆AB长92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位.参考数据:sin 70°≈0.94, cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
答案
8.【解析】 如图,过点A作AD⊥BC于点D,延长AD交地面于点E,
在Rt△ABD中,sin∠ABD=????????????????,
∴AD=AB·sin∠ABD=92×sin 70°≈92×0.94=86.48(cm).
∵DE=6 cm,∴AE=AD+DE≈92.5 cm,
∴把手A离地面的高度约为92.5 cm.
?
知识点3 利用三角函数解决实际问题
9.如图,小山岗的斜坡AC的坡度是tan α=34,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6°,求小山岗的高AB.(结果取整数.参考数据:sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50)
?
答案
9.【解析】 设AB=x米,
在Rt△ABC中,tan α=????????????????=????????????=34,∴BC=43x米.
在Rt△ABD中,tan 26.6°=????????????????=????????????????+200=????43????+200,
∴x≈300,
∴小山岗的高AB约为300米.
?
知识点3 利用三角函数解决实际问题
4 解直角三角形
1.在Rt△ABC中,BC=3,AC=3,∠C=90°,则∠A的度数是 ( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
?
答案
1.D 【解析】 在Rt△ABC中,BC=3,AC=3,∠C=90°,所以tan A=????????????????=33=3,所以∠A=60°.故选D.
?
知识点1 已知两边解直角三角形
2.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°,a=5,c=52,则∠B= ,b= .?
?
答案
2. 45° 5 【解析】 因为sin A=????????=552=22,所以∠A=45°,所以∠B=90°-∠A=45°,所以∠B=∠A,所以b=a=5.
?
知识点1 已知两边解直角三角形
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=26,AC=62,求这个三角形的其他元素.
?
答案
3.【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=26,AC=62,
∴tan A=????????????????=2662=33,∴∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=60°,AB=2BC=46.
故∠A=30°,∠B=60°,AB=46.
?
知识点1 已知两边解直角三角形
(1)解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素,即3个角和3条边.(2)解直角三角形时要注意发现已知和未知之间的联系,充分利用三角函数的定义来列式求值,正弦、余弦、正切三种函数都涉及两边一角,要正确选择,不能将它们弄混.(3)每个直角三角形,均有一个直角,且两锐角互余,三边满足勾股定理.
归纳总结
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,则AC=( )
A.53 B.103 C.5 D.1033
?
答案
4.A 【解析】 根据题意,得cosA=????????????????=32,因为AB=10,所以AC=53.故选A.
?
知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
5.[2020 四川成都成华区模拟]如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,∠B=36°,D为BC的中点,连接AD,则AD的长是 ( )
A.5sin 36°
B.5cos 36°
C.5tan 36°
D.10tan 36°
答案
5.C 【解析】 ∵AB=AC,D为BC的中点,∴BD=12BC=5,AD⊥BC.在Rt△ABD中,tan B=????????????????,∴AD=BD·tanB=5tan 36°.故选C.
?
知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
6.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°.根据下列条件,求这个三角形的其他元素.
(1)a=8,∠B=60°;
(2)∠A=45°,b=6.
?
答案
6.【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,a=8,
∴∠A=90°-∠B=30°,b=atanB=83,
∴c=????sin?????=16.
故∠A=30°,b=83,c=16.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,b=6,
∴∠B=90°-∠A=45°,a=btanA=6,c=????cos?????=23.
故∠B=45°,a=6,c=23.
?
知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
答案
已知一边及一锐角解直角三角形的方法
(1)已知一直角边和一锐角:通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角,再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时,利用这个角的正弦求斜边;当已知直角边是已知锐角的邻边时,利用这个角的余弦求斜边(求出两条边后也可利用勾股定理求第三条边).(2)已知一锐角和斜边:通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角,再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边.
知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形
归纳总结
7.[2019湖南常德鼎城区期中]如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,∠ACD=45°,∠DCB=60°,CD=40,求AB的长.
答案
7.【解析】 ∵CD⊥AB,∠ACD=45°,
∴∠CDA=∠CDB=90°,∴∠A=45°,∴AD=CD=40.
在Rt△BCD中,∠DCB=60°,
∴BD=CDtan∠DCB=403,
∴AB=AD+BD=40+403.
?
知识点3 解直角三角形的综合应用
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,CD=5 cm,求AB的长.
答案
8.【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.
∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD=30°.
在Rt△BCD中,CD=5 cm,∠CBD=30°,tan∠CBD=????????????????,
∴BC=????????tan∠????????????=53cm,∴AB=2BC=103 cm.
?
知识点3 解直角三角形的综合应用
9.数学拓展课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等.于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B,C,E在同一直线上,若BC=2,求AF的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
答案
9.【解析】 在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30°,∴AC=????????tan????=23,
∴EF=AC=23.
∵∠E=45°,∴FC=EF·sinE=6,
∴AF=AC-FC=23?6.
?
知识点3 解直角三角形的综合应用
1.[2020安徽中考]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cos A=45,则BD的长度为 ( )
A.94 B.125
C.154 D.4
?
答案
1.C 【解析】 在Rt△ABC中,cosA=????????????????=45,则AB=54AC=5,∴BC=????????2?????????2=3.∵∠DBC=∠A,∴cos∠DBC=????????????????= cos A=45,∴BD=54BC=54×3=154.
?
2.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,∠B=∠D=90°,BC=1,CD=2,则对角线AC= ( )
A.21 B.213
C.2213 D.5213
?
答案
2.C 【解析】 如图,延长AB,DC相交于点K,则∠K=30°,CK=2BC=2, DK=CD+ CK=4.在Rt△ADK中,AD=DKtan 30°=433, 在Rt△ADC中,AC=????????2+????????2=2213.故选C.
?
3.在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,AC=2,则BC= .?
答案
3.6 【解析】 过点C作CD⊥AB于点D.因为∠B=45°,∠ACB=75°,所以∠A=180°-45°-75°=60°.在Rt△ACD中,∠A= 60°, AC=2,所以CD=ACsin 60°=3.在Rt△BCD中,∠B=45°,所以BC=????????sin?????=3sin?45°=6.
?
4.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是BC上一点,若tan∠DAB=15,则AD的长为 .?
?
答案
4.213 【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E,则tan∠DAB=????????????????=15,∴AE=5DE.∵△ABC是等腰直角三角形, ∠C= 90°,∴∠B=45°,∴DE=BE,∴AB=AE+BE=6DE.∵AC=6,∴AB=62,∴AE=52,DE=2,∴AD=????????2+????????2=(52)2+(2)2=213.
?
5.[2020黑龙江哈尔滨二模]若某等腰三角形的腰长为6,面积为9,则它的顶角的度数为 .
答案
5.30°或150° 【解析】 如图,由题意可知,AB=AC=6,?S△ABC =9,过点C作△ABC的高CD,则S△ABC =12AB·CD=12× 6×CD=9,可得CD=3.分两种情况:①当等腰三角形为钝角三角形时,如图1,∵sin∠CAD=????????????????=36=12,∴∠CAD=30°, ∴∠BAC= 150°;②当等腰三角形为锐角三角形时,如图2,∵sin A=????????????????=36=12,∴∠A=30°.综上,顶角的度数为30°或150°.
?
6.[2019江苏盐城中考]如图,在△ABC中,BC=6+2,∠C=45°,AB=2AC,则AC的长为 .?
?
答案
6.2 【解析】 如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.设AC=x(x>0),则AB=2x.在Rt△ACD中,AD=AC·sinC=AC·sin 45°=22x,CD=AC·cosC=AC·cos 45°=22x.在Rt△ABD中,AB=2x,AD=22x,∴BD=????????2?????????2=62x,∴BC=BD+CD=62x+22x=6+2,∴x=2,即AC=2.
?
7.[2019 江苏宿迁中考]如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是 .?
答案
7.3
8.如图,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接AE,求sin∠AED的值.
答案
8.【解析】 如图,连接AC.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠2=45°.
∵△CDE是等腰直角三角形,DE=CE,
∴∠CED=90°,∠3=45°,
∴∠ACE=∠2+∠3=90°,
∴AC∥DE,∴∠AED=∠1.
设正方形ABCD的边长为a(a>0),则AC=2a,CE=22a,
∴AE=????????2+????????2=(2????)2+(22????)2=102a,
∴sin∠AED=sin∠1= ????????????????=22????102????=55.
?
9.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=2,BE=22.求CD的长和四边形ABCD的面积.
?
答案
9.【解析】 如图,过点D作DH⊥AC于点H.
∵∠CED=45°,DH⊥AC,DE=2,
∴DH=EH=DEcos 45°=2×22=1,
又∵∠DCE=30°,∴HC=????????tan?30°=3,CD=2DH=2.
∵∠AEB=∠CED=45°,∠BAC=90°,BE=22,
∴AB=AE=2,∴AC=AE+EH+HC=2+1+3=3+3,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AB·AC+12DH·AC=12×2×(3+3)+12×1×(3+3)=33+92.
?
专项1 锐角三角函数的
相关计算
1.[2020北京朝阳区期末]如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则cos∠BAC的值为 ( )
A.12 B.1010
C.55 D.255
?
答案
1.C 【解析】 如图,连接BE.易知△ABE是直角三角形.由勾股定理,得AB=10, AE=2,∴cos∠BAC=????????????????=210=55.故选C.
?
类型1 网格中的三角函数
2.在如图所示的网格中,小正方形的边长均相等,点A,B,C,D都在格点上,AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值是 ( )
A.32 B.1
C.32 D.2
?
答案
2.D 【解析】 如图,连接BE,AE.易知DC∥BE,∠AEB=90°,∴∠APD=∠ABE.设小正方形的边长为1,由勾股定理得,AE=22,BE=2,∴tan∠APD=tan∠ABE=????????????????=2.故选D.
?
类型1 网格中的三角函数
3.如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在格点上,则sin A的值为 .?
答案
3.35 【解析】 过点C作CE⊥AB于点E,连接AD,如图所示.∵AC=AB=42+22= 25,点D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵BC=22,∴AD=????????2?????????2=32,∴S△ABC=12AB·CE=12BC·AD,∴CE=????????·????????????????=655,∴sin∠BAC=????????????????=65525=35.
?
类型1 网格中的三角函数
4.把两个相同的含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置(点D,C,B在同一直线上).若AD=66,请求出三角尺各边的长.
?
答案
4.【解析】 由题意,得AC=CD,
∴△ACD为等腰直角三角形,
∴∠ADC=45°,
∴AC=ADsin 45°=66×22=63.
∵∠BAC=30°,
∴BC=ACtan 30°=63×33=6,
∴AB=????????sin?30°=612=12.
故AC=63,BC=6,AB=12.
?
类型2 解直角三角形
5.[2020吉林长春一模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,连接CD,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E.已知AC=30,cos A=35.
(1)求线段CD的长;
(2)求sin∠DBE的值.
?
答案
5.【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=30,
cosA=????????????????=35,∴AB=50.
∵D是AB的中点,
∴CD=12AB=25.
?
类型2 解直角三角形
答案
(2)如图,过点C作CF⊥AB于点F.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=30,AB=50,
∴BC=????????2?????????2=40.
由面积公式,得12AC·BC=12AB·CF,
∴CF=????????·????????????????=24,
∴DF=????????2?????????2=252?242=7,
∴sin∠DCF=????????????????=725.
∵∠DCF+∠CDF=∠DBE+∠BDE=90°,∠CDF=∠BDE,
∴∠DBE=∠DCF,
∴sin∠DBE=sin∠DCF=725.
?
类型2 解直角三角形
6.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,∠BCD是钝角,AB=AD,BD平分∠ABC,若 CD=3,BD=26,sin∠DBC=33,求对角线AC的长.
?
类型2 解直角三角形
答案
6.【解析】 如图,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,则∠E=90°.
∵sin∠DBC=????????????????=33,BD=26,∴DE=22.
在Rt△CDE中,CD=3,DE=22,∴CE=????????2?????????2=1.
在Rt△BDE中,BD=26,DE=22,∴BE=????????2?????????2=4,
∴BC=3,∴BC=CD,∴∠CBD=∠CDB.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC,∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=12BD=6,
∴OC=????????2?????????2=32?(6)2=3,∴AC=23.
?
类型2 解直角三角形
易错疑难集训
集训
1.[2019北京密云区期末]在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=35,AB=10,则AC的长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
?
答案
1.B 【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=35,∴????????????????=35,∵AB=10,∴BC=6,∴AC=????????2?????????2=102?62=8.故选B.
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易错点1 解直角三角形时没有找准边、角的对应关系
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A,tan A的值.
答案
2.【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,
∴AB=????????2+????????2=12+22=5(cm),
∴sin A=????????????????=25=255,tan A=????????????????=21=2.
?
易错点1 解直角三角形时没有找准边、角的对应关系
本题易由AC=1 cm,BC=2 cm,错误得到∠B=30°, ∠A=60°,进而得出sin A,tan A的值.避免该错误的有效方法是画出图形,分清斜边和直角边,利用“数形结合”进行解答.
易错分析
答案
易错点1 解直角三角形时没有找准边、角的对应关系
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, sin A=∠????的对边斜边=????????, cosA=∠????的邻边斜边=????????,tan A=∠????的对边∠????的邻边=????????.注意把握以下两点: (1)正弦、余弦、正切只能在直角三角形中运用,杜绝在非直角三角形中直接套用;(2)锐角三角函数的值是随着角度的变化而变化的,只与锐角的大小有关,与边的长短无关,锐角三角函数的值是两条线段的比,没有单位.
?
名师点睛
3.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=13,b=12,c=5,求sin B的值.
答案
3.【解析】 由a=13,b=12,c=5,得a2=b2+c2,
所以△ABC为直角三角形,且∠A为直角,
所以sin B=????????=1213.
?
易错点1 解直角三角形时没有找准边、角的对应关系
本题的易错点有两处:一是想当然地直接把△ABC当作直角三角形,而不利用勾股定理的逆定理加以说明;二是没有找准边、角的对应关系,而得出sin B=????????=125的错误答案.防止出错的关键是画出图形,对照图形准确地找到边、角的对应关系.
?
易错分析
4.已知∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角,且满足|cosA-12|+1?tan?????=0,则∠C的大小为 ( )
A.30° B.60° C.75° D.105°
?
答案
4.C 【解析】 由题可知,cosA=12,tan B=1,所以∠A=60°,∠B=45°,所以∠C=180°-∠A-∠B=75°.故选C.
?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
5.2cos 30°-tan 45°-(1?tan?60°)2的值为 ( )
A.23-2 B.0 C.23 D.2
?
答案
5.B 【解析】 2cos 30°-tan 45°-(1?tan?60°)2=2×32-1-(3-1)=3-1-3+1=0.故选B.
?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
本题的易错之处:(1)对特殊角的三角函数值不熟悉,相互混淆;(2)对(1?tan?60°)2化简时忽视算术平方根的非负性,直接化简成1-3.
?
易错分析
6.若锐角α满足12
C.45°<α<60° D.α<30°
?
答案
6.C 【解析】 ∵cos 60°=12,cos 45°=22,12
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
本题的易错之处是没有准确掌握特殊角的三角函数值,将特殊角的三角函数值“张冠李戴”,同时也易混淆锐角的正弦值、余弦值的变化规律.
易错分析
答案
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
根据三角函数的定义和直角三角形的知识推算出来的,由于它们的应用较为广泛,因而作为常数记忆.为了防止记忆混淆,可结合如图所示的两个特殊直角三角形进行辅助记忆.本题涉及特殊角的三角函数值和实数的综合运算,是各地中考题中常见的题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值、与特殊角三角函数值有关的运算,先写出每个锐角函数值,然后转化成具体的实数运算,需要注意运算的顺序和计算的方法.
名师点睛
7.[2020江苏连云港一模]计算:
(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°;
(2)cos230°1+sin?30°+tan260°.
?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
答案
7.【解析】 (1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°
=2×12+3×12-4×1
=1+32-4
=-32.
(2)cos230°1+sin?30°+tan260°
=(32)21+12+(3)2
=3432+3
=72.
?
易错点2 混淆特殊角的三角函数值
8.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a=4,cos B=13,则c= .?
?
答案
8.12或43 【解析】 由题意易知,∠B≠90°,若∠C=90°,则c=????cos?????=12;若∠A=90°,则c=acosB=43.综上,c=12或43.
?
易错点3 忽略直角三角形中的分类讨论
本题的易错之处是忽略分类讨论.题中虽然已指明△ABC是直角三角形,但并未指明哪个角是直角,所以应分两种情况考虑:①∠C=90°;②∠A=90°.
易错分析
9.在△ABC中,已知AD是△ABC的高,CD=1,AD=BD=3,求∠BAC的度数.
?
答案
9.【解析】 ①当垂足D在线段BC上时,如图所示.
在Rt△ABD中,tan∠BAD=????????????????=1,∴∠BAD=45°.
在Rt△ACD中,tan∠CAD=????????????????=33,∴∠CAD=30°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+30°=75°.
?
易错点3 忽略直角三角形中的分类讨论
答案
②当垂足D在线段BC的延长线上时,如图所示.
在Rt△ABD中,tan∠BAD=????????????????=1,∴∠BAD=45°.
在Rt△CAD中,tan∠CAD=????????????????=33,∴∠CAD=30°,
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=45°-30°=15°.
综上,∠BAC的度数为75°或15°.
?
易错点3 忽略直角三角形中的分类讨论
本题的易错之处是忽略高在△ABC外部的情况.涉及三角形的高(或面积),而没有给出图形时,常要考虑两种情况:高在三角形内和高在三角形外.
易错分析
1.如图,有两个全等的正方形ABCD和BEFC,则tan(∠BAF+∠AFB)= ( )
A.1 B.56
C.23 D.2
?
答案
1.A 【解析】 根据三角形外角的性质,得∠BAF+∠AFB=∠FBE.根据正方形的性质,得∠FBE=45°,所以tan(∠BAF+ ∠AFB)=tan 45°=1.故选A.
疑难点1 等角代换法解锐角三角函数问题
本题∠BAF+∠AFB形式上不简单,但是利用等角代换把求tan(∠BAF+∠AFB)的问题转化为求 tan 45° 的问题后,则能够轻松、顺利解决.解题的关键在于观察图形、联想相关性质,寻求等角代换.
名师点睛
2.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,OE⊥AC交BC于点E,连接AE.若AB=1,BC=3,则1tan∠????????????= .?
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答案
2.3 【解析】 根据题意,可知OE是AC的垂直平分线,所以EA=EC,则∠EAO=∠ACB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=????????????????=13,所以1tan∠????????????=1tan∠????????????=3.
?
疑难点1 等角代换法解锐角三角函数问题
善于发现∠EAO=∠ACB,并且将∠ACB归结到Rt△ABC中是解决本题的关键,也是解决类似问题的常用方法.
名师点睛
3.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=12∠BAC,则tan∠BPC的值为 .?
?
答案
3.43 【解析】 过点A作AE⊥BC于点E.∵AB=AC=5,∴BE=12BC=12×8=4,∠BAE=12∠BAC.∵∠BPC=12∠BAC, ∴∠BPC= ∠BAE.在Rt△BAE中,由勾股定理得AE=????????2?????????2=52?42=3,∴tan∠BPC=tan∠BAE=????????????????=43.
?
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
4.已知:如图,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足.求AD的长.
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
答案
4.【解析】 如图,过点C作AB边上的高CE,交BA延长线于点E,则∠CAE=180°-120°=60°.
在Rt△ACE中,∠E=90°,
∵sin∠CAE=????????????????,cos∠CAE=????????????????,
∴CE=AC·sin 60°=2×32=3,AE=AC·cos 60°=2×12=1,
∴BE=AB+AE=5.
在Rt△CBE中,由勾股定理,得BC=????????2+????????2=27.
∵AD⊥BC,∴sinB=????????????????=????????????????,
∴AD=????????·????????????????=4×327=2217.
?
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
5.[2019广西梧州中考]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tan B=34.
(1)求AD的长;
(2)求sin α的值.
?
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
答案
5.【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=????????????????=34,
设AC=3x(x>0),则BC=4x,
由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即 (3x)2+(4x)2=52,
∴x=1,
∴AC=3,BC=4.
∵BD=1,∴CD=3,
∴AD=????????2+????????2=32+32=32.
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E,
sin B=????????????????=????????????????,即35=????????1,∴DE=35,
∴sin α=????????????????=3532=210.
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疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
6.[2019安徽阜阳模拟]某公园内有一如图所示的地块,已知∠A=30°,∠ABC=75°,AB=BC=8 m,求点C到人行道AD的距离.(结果保留根号)
答案
6.【解析】 如图,过点B作BE⊥AD于点E,作BF∥AD,过点C作CF⊥BF于点F.
在Rt△ABE中,∠A=30°,AB=8 m,
∴BE=4 m.
∵BF∥AD,∴∠ABF=30°.
∵∠ABC=75°,∴∠CBF=45°.
在Rt△BCF中,BC=8 m,
∴CF=42 m,
∴点C到人行道AD的距离为CF+BE=(4+42)m.
?
疑难点2 添加辅助线解非直角三角形问题
5 三角函数的应用
课时1 三角函数的应用(一)
课时1
1.如图,从山顶A望地面C,D两点,测得俯角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C在BD上,则山高AB为 米.?
答案
1.50(3+1) 【解析】 由题可得,∠ACB=45°,∠D=30°,所以BC=AB,BD=????????tan?30°=3AB,设AB=x米,则BC=x米,BD=3x米,因为CD=BD-BC,所以3x-x=100,解得x=50(3+1),所以AB=50(3+1)米.
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知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
2.[2019河南中考]数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m 的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.
(精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34°≈0.67,3≈1.73)
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知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
答案
2.【解析】 在Rt△ACE中,∠A=34°,EC=55 m,
∴AC=????????tan?34°≈550.67≈82.1(m),
∴BC=AC-AB≈82.1-21=61.1(m).
在Rt△BCD中,∠CBD=60°,
∴CD=BCtan 60°≈61.1×1.73≈105.7(m),
∴DE=CD-CE≈105.7-55≈51(m).
故炎帝塑像DE的高度约为51 m.
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知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
3.[2019 四川成都中考]2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°,底部D的俯角为45°,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米.参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)
答案
3.【解析】 解法一 过点A作AE⊥DC,交DC的延长线于点E,
由题意可知DE=AB=20米,△ADE为等腰直角三角形,
∴AE=DE=20米.
在Rt△ACE中,tan∠EAC=????????????????,
?
知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
答案
∴CE=AE·tan∠EAC=20·tan 35°≈14(米),
∴CD=DE-CE=20-14=6(米).
故起点拱门CD的高度约为6米.
解法二 如图,过点C作CE⊥AB于点E,易知四边形CDBE为矩形,
∴CE=DB,CD=BE.
∵∠ABD=90°,∠ADB=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,∴AB=DB=20米,
∴CE=20米.
在Rt△ACE中,∠ACE=35°,tan∠ACE=????????????????,
∴AE=CE·tan∠ACE≈20×0.70=14(米),
∴CD=BE=AB-AE=6米.
答:起点拱门CD的高度约为6米.
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知识点1 解决与仰角、俯角有关的问题
4.[2019浙江宁波中考]如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为 米.(精确到1米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)?
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答案
4.566 【解析】 如图,在Rt△OAC中,∠AOC=45°,OC=OAcos 45°= 400×22=2002(米).在Rt△OBC中,∠COB=60°,OB=????????cos?60°=200212=
4002≈566(米).
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知识点2 解决与方向角有关的问题
5.原创题2019年12月17日,中国第一艘国产航空母舰山东舰在海南三亚某军港交付海军.如图,B地在A地的正东方向80 km处,某日14:00时,山东舰在A地的南偏西30°方向上的点O处,且点O在B地的南偏西53°方向上,此时山东舰开始沿着OB方向以29.4 km/h的速度航行,请你计算一下山东舰大约何时到达B地.(结果保留整数.参考数据:3≈1.73,sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)
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知识点2 解决与方向角有关的问题
答案
5.【解析】 如图,过点B作AB的垂线,过点O作AB的平行线,两线交于点C,过点A作AD⊥OC于点D.
设OD=x km,由题意知AB=80 km,∠OBC=53°,∠OAD=30°,
∴AD=3x km.
易知四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=80 km,BC=AD=3x km.
∵tan∠OBC=????????????????,
∴OC=BC·tan∠OBC≈3x·43=433x(km),
又∵OC=OD+DC=(x+80)km,
∴x+80=43????3,
解得x=24043?3≈61.22,
?
知识点2 解决与方向角有关的问题
答案
∴OC=80+61.22=141.22(km),
∴OB=????????sin?53°≈141.22×54≈176.53(km),
∴t=176.5329.4≈6(h),
14+6=20.
答:山东舰大约20:00到达B地.
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知识点2 解决与方向角有关的问题
6.[2019湖北随州中考]在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船P的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°的方向,在救助船B的西南方向,且事故渔船P与救助船A相距120海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离;
(2)若救助船A,B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.
知识点2 解决与方向角有关的问题
答案
6.【解析】 (1)如图,过点P作PC⊥AB于点C,则∠PCA=∠PCB=90°,
由题意,得PA=120海里,∠A=30°,∠PBC=45°,
∴PC=12PA=60海里,△BCP是等腰直角三角形,
∴BC=PC=60海里,PB=????????sin∠????????????=602海里.
故收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里.
(2)∵PA=120海里,PB=602海里,
救助船A,B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发,
∴救助船A所用的时间为12040=3(时),
救助船B所用的时间为60230=22(时),
∵3>22,∴救助船B先到达.
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知识点2 解决与方向角有关的问题
1.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 2 km至B港,然后沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为 ( )
A.(30+30 3)km
B.(30+10 3)km
C.(10+30 3)km
D.30 3 km
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答案
1.B 【解析】 根据题意,得∠CAB=65°-20°=45°,∠ACB=40°+20°=60°,AB=302 km.如图,过点B作BE⊥AC于点E,则∠AEB=∠CEB=90°.在Rt△ABE中,∠BAE=45°,AB=302 km, ∴AE=BE=ABcos 45°=30 km.在Rt△CBE中,∠ECB=60°,∴CE=????????tan?60°=103km,∴AC= AE+ CE=(30+103)km,∴A,C两港之间的距离为(30+103)km.故选B.
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2.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80 m,DE=10 m,则障碍物B,C两点间的距离约为
.(结果精确到0.1 m.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)?
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答案
2.52.7 m 【解析】 如图,过点D作DF⊥AB于点F,则四边形FBED是矩形. ∴FD=BE,BF=DE=10 m,FD∥BE.根据题意,得∠FDC=30°,∠ADF= 45°.∵FD∥ BE,∴∠DCE=∠FDC=30°.在Rt△DEC中,∠DEC=90°,DE= 10 m, ∠DCE=30°,tan∠DCE=????????????????,∴CE=????????tan?30°=1033=103(m).在Rt△AFD中, ∠AFD=90°,∠ADF=∠FAD=45°,∴FD=AF.∵AB=80 m,BF=10 m, ∴FD=AF=AB-BF=80-10=70(m),∴BC=BE-CE=FD-CE=70-103≈52.7(m).
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3.[2019内蒙古鄂尔多斯中考]某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动,澄澄老师在网上查得,A和B分别位于学校D的正北和正东方向,B位于A南偏东37°方向,校车从D出发,沿正北方向前往A地,行驶到15千米的E处时,导航显示,在E处北偏东45°方向有一服务区C,且C位于A,B两地中点处.
(1)求E,A两地之间的距离;
(2)校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地,若这段路程限速100千米/时,计算校车是否超速.
(参考数据:sin 37°≈35,cos 37°≈45,tan 37°≈34)
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答案
3.【解析】 (1)如图,过点C作CH⊥AD于点H.
由题意得∠HEC=45°,∴CH=EH.
设CH=EH=x千米,
由点C是AB的中点,CH∥BD,
易得AH=HD=(x+15)千米.
在Rt△ACH中,∠A=37°,则tan 37°=????????????????=????????+15,∴x≈45,
∴CH=EH≈45千米,AH=HD≈60千米,
∴EA=EH+AH≈45+60=105(千米).
答:E,A两地之间的距离为约105千米.
(2)在Rt△ACH中,AC=????????2+????????2≈452+602=75(千米),
∴AB=2AC≈150千米,
1小时40分钟=53小时,
∵150÷53=90<100,∴校车没有超速.
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4.在一个阳光明媚的周末,小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后,将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线(线段AC)长20 m,风筝B的引线(线段BC)长24 m,在C处测得风筝A的仰角为60°,风筝B的仰角为45°.
(1)试通过计算,比较风筝A与风筝B谁离地面更高;
(2)求风筝A与风筝B的水平距离.
(结果精确到0.01 m.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
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答案
4.【解析】 (1)如图,分别过A,B作地面的垂线,垂足分别为D,E.
在Rt△ADC中,AC=20 m,∠ACD=60°,
∴AD=20sin 60°=103≈17.32(m).
在Rt△BEC中,BC=24 m,∠BCE=45°,
∴BE=24sin 45°=122≈16.97(m).
∵17.32>16.97,∴风筝A比风筝B离地面更高.
(2)在Rt△ADC中,AC=20 m,∠ACD=60°,
∴DC=20cos 60°=10(m).
在Rt△BEC中,BE≈16.97 m, ∠BCE=45°,
∴EC=BE≈16.97 m,∴ED=EC-DC≈6.97 m,
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97 m.
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5.[2019四川巴中中考]某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中,在C处测得点D位于西北方向,又在A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC=414 m,AB= 300 m,求出点D到AB的距离.(参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
答案
5.【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,
则四边形EBFD是矩形.
设DE=x m.
在Rt△ADE中,∠AED=90°,AE=????????tan∠????????????≈????2.14 m,
∴BE≈(300-????2.14)m.
∵BF=DE=xm,∴CF=(414-x)m.
在Rt△CDF中,∠DFC=90°,∠DCF=45°,∴DF=CF,
又∵BE=DF,∴BE=CF,即300-????2.14=414-x,解得x=214.
∴点D到AB的距离约是214 m.
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课时2 三角函数的应用(二)
课时2
1.[2019重庆中考A卷]为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面内,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为(参考数据:sin 48°≈0.74,cos 48°≈0.67,tan 48°≈1.11) ( )
A.17.0米
B.21.9米
C.23.3米
D.33.3米
知识点1 解决与坡度、坡角有关的问题
答案
1.C 【解析】 如图,延长DC交直线EA于点F,则DF⊥AF.由题意得CF∶AF=1∶2.4,设CF=x(x>0)米,则AF=2.4x米.在Rt△ACF中,AC=????????2+????????2=2.6x米,∴2.6x=26,解得x=10,故CF=10米,AF=24米,则EF=AE+AF=30米.在Rt△DEF中,tan E=????????????????,∴DF=tan 48°×EF≈1.11×30=33.3(米),∴DC=DF-CF≈33.3-10=23.3(米).
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知识点1 解决与坡度、坡角有关的问题
2.[2020四川乐山期末]水务部门为加强防汛工作,决定对马边河上某电站大坝进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD,如图所示,已知迎水面AB的长为20米,∠B=60°,背水面DC的长为203米,加固后大坝的横断面为梯形ABED,CE的长为5米.
(1)已知需加固的大坝长为100米,求需要填方多少立方米;
(2)求新大坝背水面DE的坡度.(计算结果保留根号).
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知识点1 解决与坡度、坡角有关的问题
答案
2.【解析】 (1)如图,分别过A,D作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G,则四边形AFGD为矩形.
在Rt△ABF中,AB=20米,∠B=60°,sin B=????????????????,
∴AF=20×32=103(米),∴DG=AF=103米.
∴S△DCE=12CE·DG=12×5×103=253(米2).
100×253=2 5003(米3).
答:需要填方2 500 3立方米.
(2)在Rt△DGC中,DC=203米,
∴GC=????????2?????????2=(203)2?(103)2=30(米).
∴GE=GC+CE=35米.
新大坝背水面DE的坡度i=tan E=????????????????=10335=237.
答:新大坝背水坡坡度为237.
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知识点1 解决与坡度、坡角有关的问题
3.[2019湖南邵阳中考]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O,且OB=OE,支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm,∠ADE=30°,DE=190 cm,另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°,求OB的长度.(结果精确到1 cm.参考数据: sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42, tan 65°≈2.14)
知识点2 解决其他实际问题
答案
3.【解析】 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,AC=40 cm,
∴BC=AC·tan A=40·tan 65°≈85.6(cm).
设OB=OE=x cm,则OD=(190+x)cm,OC=(85.6+x)cm.
在Rt△OCD中,∠OCD=90°,∠D=30°,
∴OD=2OC,
∴190+x=2(85.6+x),
解得x=18.8≈19.
故OB的长度约为19 cm.
知识点2 解决其他实际问题
4.[2020江西中考]如图1是一种手机支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位)
(1)若∠DCB=80°,∠CDE=60°,求点A到直线DE的距离;
(2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10°后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直线DE上即可,求CD旋转的角度.
(参考数据:sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,tan 40°≈0.839,sin 26.6°≈0.448,cos 26.6°≈0.894,tan 26.6°≈0.500,3≈1.732)
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知识点2 解决其他实际问题
答案
4.【解析】 (1)如图1,过点C作CH⊥DE于点H.
∵CD=80,∠CDE=60°,
∴sin 60°=????????????????=????????80=32,
∴CH=403≈40×1.732=69.28.
过点A作AM⊥DE交ED的延长线于点M,过点C作CN⊥AM于点N,则四边形CNMH为矩形,
∴MN=CH,∠NCD=∠CDE=60°.
∵∠DCB=80°,
∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.
∵sin∠ACN=????????????????,AC=AB-BC=80,
∴AN=80sin 40°≈80×0.643=51.44,
∴AM=AN+NM=51.44+69.28≈120.7.
答:点A到直线DE的距离约为120.7 mm.
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知识点2 解决其他实际问题
答案
(2)解法一 ∵AB绕着点C逆时针旋转了10°,
∴∠DCB=90°.
如图2,连接BD.
∵DC=80,CB=40,
∴tan∠CDB=????????????????=4080=0.5,
∴∠CDB≈26.6°.
∴∠BDE=60°-26.6°=33.4°.
答:CD旋转的度数约为33.4°.
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知识点2 解决其他实际问题
答案
解法二 当点B落在DE上时,如图3.
∵AB绕着点C逆时针旋转了10°,
∴∠DCB=90°.
在Rt△BCD中,BC=40,CD=80,
∴tan∠BDC=????????????????=4080=0.5,
∴∠BDC≈26.6°,
60°- 26.6°=33.4°.
答:CD旋转的度数约为33.4°.
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知识点2 解决其他实际问题
1.[2020山东德州期末]如图,某测量小组为了测量山BC的高度,在地面A处测得山顶B的仰角为45°,然后沿着坡度为1∶3的坡面AD走了200米达到D处,此时在D处测得山顶B的仰角为60°,则山BC= 米.(结果保留根号)?
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答案
1.(100+1003) 【解析】 如图,过点D作DF⊥AC于点F.由题意知tan∠DAF=????????????????=13=33,AD=200米,∴∠DAF=30°, ∴DF=12AD=12×200=100(米).∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°,∴四边形DECF是矩形,∴EC=DF=100米.∵∠BAC=45°, BC⊥AC, ∴∠ABC=45°.∵∠BDE=60°,DE⊥BC,∴∠DBE=90°-∠BDE=90°-60°=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°,∠BAD=∠BAC-∠DAF=45°-30°=15°,∴∠ABD=∠BAD, ∴BD=AD=200米.在Rt△BDE中,sin∠BDE=????????????????,∴BE= BD·sin∠BDE=200×32=1003(米),∴BC=BE+EC=(100+1003)米.
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2.[2020重庆一中三模]如图是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面AC的倾斜角∠CAB=45°,在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角∠CDB=30°,若新坡面下端D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,则该建筑物是否需要拆除?(结果精确到0.1米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
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答案
2.【解析】 由题意,得AH=10米,BC=10米,
在Rt△ABC中,∠CAB=45°,∴AB=BC=10米.
在Rt△DBC中,∠CDB=30°,tan∠CDB=????????????????,
∴DB=????????tan∠???????????? =1033=103(米),
∴DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-10 3+10≈2.7(米),
∵2.7<3,∴该建筑物需要拆除.
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3.[2019湖南娄底中考]如图,某建筑物CD高96米,它的前面有一座小山,其斜坡AB的坡度i=1∶1.为了测量山顶A的高度,在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α,β.已知tan α=2,tan β=4,求山顶A的高度AE(C,B,E在同一水平面上).
答案
3.【解析】 如图,过点A作AF⊥CD于F.设AE=x米.
∵斜坡AB的坡度i=1∶1,∴BE=AE=x米.
在Rt△BDC中,∠C=90°,CD=96米,∠DBC=β,
∴BC=????????tan?????=964=24(米),
∴EC=BE+BC=(x+24)米,
∴AF=EC=(x+24)米.
在Rt△ADF中,∠AFD=90°,∠DAF=α,
∴DF=AF·tanα=2(x+24)米,
又∵DF=DC-CF=DC-AE=(96-x)米,
∴2(x+24)=96-x,解得x=16.
故山顶A的高度AE为16米.
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4.[2019山东威海中考]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2米,货厢底面距地面的高度BH=0.6米,坡面与地面的夹角∠BAH=α,木箱的长(FC)为2米,高(EF)和宽都是1.6米.通过计算判断:当sin α=35,木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时,木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部?
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答案
4.【解析】 ∵BH=0.6米,sin α=35,
∴AB=????????sin?????=0.635=1(米),
∴AH=0.8米.
∵AF=FC=2米,∴FB=AF-AB=1米.
如图,过点F作FJ⊥BG于点J,过点E作EK⊥FJ交FJ的延长线于点K,则∠EKF=∠FJB=∠AHB=90°,∠EFK=∠FBJ=∠ABH,BF=AB,
∴△EFK∽△ABH,△FBJ≌△ABH,
∴????????????????=????????????????,BJ=BH=0.6米,
∴EK=????????·????????????????=1.28米,
∴BJ+EK=0.6+1.28=1.88(米),1.88<2,
因此木箱上部顶点E不会触碰到汽车货箱顶部.
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6 利用三角函数测高
1.[2019浙江金华中考]如图,在量角器的圆心O处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪,量角器的0刻度线AB对准楼顶时,铅垂线对应的读数是50°,则此时观察楼顶的仰角度数是 .?
答案
1.40° 【解析】 如图,过点O作一水平线OM,则∠MON=90°.由题意可知∠AON=50°,又∵∠AON+∠MON+∠BOM=180°,∴∠BOM=40°,故此时观察楼顶的仰角度数为40°.
知识点1 测量倾斜角
2.[2019江苏苏州中考]如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183 m的地面上,若测角仪的高度是1.5 m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是 ( )
A.55.5 m B.54 m
C.19.5 m D.18 m
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答案
2.C 【解析】 过点D作DE⊥AB于点E,则DE=BC=183m,∴AE=DE·tan∠ADE=183×33=18(m),∴AB=18+ 1.5= 19.5(m).
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知识点2 测量底部可以到达的物体的高度
在解决此类实际问题时,要结合实际图形理解题意,根据仰角、俯角、坡度、方向角等找到相应的直角三角形,把实际问题转化为直角三角形中边角关系问题.若图形中没有直角三角形,则要通过作垂线构造直角三角形.
归纳总结
3.如图,两建筑物的水平距离是36 m,从A点测得D点的俯角α=36°,C点的俯角β=45°,求两个建筑物的高度.(精确到0.1 m.参考数据:tan 36°≈0.73,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81)
知识点2 测量底部可以到达的物体的高度
答案
3.【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E.
在Rt△ABC中,∠ACB=β=45°,
所以AB=BC=36 m.
在Rt△ADE中,∠ADE=α=36°,DE=BC=36 m,
所以AE=DEtan 36°=36tan 36°≈26.28(m),
所以DC=BE=AB-AE≈9.7 m.
答:这两个建筑物的高度分别约为36.0 m和9.7 m.
知识点2 测量底部可以到达的物体的高度
4.[2019广西北部湾经济区中考]小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为 ( )
(已知sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
A.3.2米 B.3.9米 C.4.7米 D.5.4米
答案
4.C 【解析】 过点O作OE⊥AC于点E,延长BD交OE于点F,则∠OBF=35°,∠ODF=65°.设DF=x(x>0)米,则BF= (3+x)米.在Rt△OBF中,tan∠OBF=????????????????,∴OF=(3+x)·tan 35°≈0.7×(3+x)=(0.7x+2.1)(米).在Rt△ODF中,tan∠ODF=????????????????, ∴0.7????+2.1????≈ 2.1, ∴x≈1.5,∴OF≈0.7×1.5+2.1=3.15(米),又∵EF=AB=1.5米,∴OE=OF+FE≈3.15+1.5≈4.7(米).故路灯顶端O到地面的距离约为4.7米.
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
5.[2020河南洛阳一模]如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高为2 m的影子CE;当光线与地面的夹角是45°时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13 m的距离(B,F,C在一条直线上).
(1)求教学楼AB的高度;
(2)学校要在A,E之间挂一些彩旗,请你求出A,E之间的距离.
(结果保留整数.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
答案
5.【解析】 (1)如图,过点E作EM⊥AB,垂足为M,易知四边形MBCE是矩形,ME=BC,BM=CE.设AB=x m.
在Rt△ABF中,∠AFB=45°,
∴BF=AB=xm,∴ME=BC=BF+FC=(x+13)m.
在Rt△AEM中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=(x-2)m,
tan∠AEM=????????????????,∴?????2????+13≈0.40,解得x≈12,
∴教学楼AB的高度约为12 m.
(2)由(1)可得ME=BC=x+13≈12+13=25(m).
在Rt△AME中,AE=????????cos?22°≈27 m,
∴A,E之间的距离约为27 m.
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
6.[2020山东泰安期末]如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度.(结果精确到1 m.参考数据:3≈1.7,2≈1.4)
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
答案
6.【解析】 延长PQ交直线AB于点C.
(1)在Rt△PBC中,∠PBC=60°,
∴∠BPQ=90°-∠PBC=90°-60°=30°.
(2)设PC=x m.
在Rt△APC中,∠PAB=45°,则AC=PC=x m.
在Rt△BPC中,∠PBC=60°,tan∠PBC=????????????????,
∴BC=????????tan?60°=33PC=33x m.
∵AB=AC-BC,∴x-33x=6,解得x=9+33,
∴BC=33x=33×(9+33)=(33+3)(m).
在Rt△BCQ中,∠QBC=30°,tan∠QBC=????????????????,
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
答案
∴QC=BCtan 30°=33×(33+3)=(3+3)(m),
∴PQ=PC-QC=9+33-(3+3)=6+23≈9(m).
答:电线杆PQ的高度约为9 m.
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知识点3 测量底部不可以到达的物体的高度
解决此类问题的关键是在一个直角三角形中设边长为未知数,通过公共边转移到另一个直角三角形中,由等量关系列出方程求解.
归纳总结
1.如图,某校数学综合实践活动小组的同学欲测量校园内的一棵松树DE的高度,他们在这棵树的正前方的台阶上的点A处测得树顶端D的仰角为27°,再到台阶下的点B处测得树顶端D的仰角为56°,已知台阶的高度AC为2 m,台阶AB的坡度i=1∶2,则大树DE的高度约为 ( )
(结果保留整数.参考数据:sin 27°≈0.5,tan 27°≈0.5,sin 56°≈0.8,tan 56°≈1.5)
A.5 m B.6 m
C.7 m D.8 m
答案
1.B 【解析】 过点A作AF⊥DE,垂足为F,则四边形ACEF为矩形,所以EF=AC=2 m,AF=CE,设DE=x m,则在Rt△BDE中,BE=????????tan∠????????????≈????1.5=23x(m),在Rt△ABC中,BC=2AC=4 m,在Rt△ADF中,tan∠DAF=tan 27°=????????????????=?????????????????????????+????????≈?????24+23????≈0.5,解得x≈6,所以大树DE的高度约为6 m.故选B.
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2.[2019天津中考]如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD.(结果取整数.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
答案
2.【解析】 根据题意,得∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30.
在Rt△ACD中,tan∠CAD=????????????????,
∴AD=????????tan?31°.
在Rt△BCD中,tan∠CBD=????????????????,
∴BD=????????tan?45°=CD.
又∵AD=AB+BD,
∴????????tan?31°=30+CD,
∴CD=30×tan?31°1?tan?31°≈30×0.601?0.60=45.
答:这座灯塔的高度CD约为45 m.
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3.[2019湖南岳阳中考]慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D,B,F在同一水平线上,参考数据:sin 62.3°≈0.89,cos 62.3°≈0.46,tan 62.3°≈1.9)
(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)
(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.
答案
3.【解析】 (1)由题意知,HE=BF=a,HB=EF=1.5,BG=CD=1.7.
在Rt△AHE中,tan∠AEH=????????????????,
∴AH=HE·tan 62.3°≈1.9a,
∴AB=AH+HB=1.9a+1.5,
∴AG=AB-BG=1.9a+1.5-1.7=1.9a-0.2.
∵∠ACG=45°,∠AGC=90°,
∴CG=AG=1.9a-0.2,
∴BD=CG=1.9a-0.2.
答:小亮与塔底中心的距离BD为(1.9a-0.2)米.
(2)由题意得,DF=BD+BF=1.9a-0.2+a=2.9a-0.2=52,
∴a=18,
∴AB=1.9a+1.5=1.9×18+1.5=35.7.
答:慈氏塔的高度AB约为35.7米.
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4.学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,其测量步骤如下(如图所示):
(1)在中心广场观测点C处安置测倾器,测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°;
(2)在观测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C,D与B在同一直线上,且C,D之间的距离可以直接测得),测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°;
(3)测得测倾器的高度CF=DG=1.5米,并测得C,D之间的距离为288米.
已知红军亭的高度为12米,请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(3取1.732,结果保留整数)
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答案
4.【解析】 设AH=x米.
在Rt△EHG中,∠EGH=45°,
∴GH=EH=AE+AH=(x+12)米.
∵GF=CD=288米,
∴HF=GH+GF=x+12+288=(x+300)(米).
在Rt△AHF中,∠AFH=30°,
∴AH=HFtan∠AFH,即x=33(x+300),
解得x=150(3+1),
∴AB=AH+BH≈409.8+1.5≈411(米).
答:凤凰山与中心广场的相对高度AB约为411米.
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专项2 三角函数的
实际应用
1.[2020山东烟台期中]“五一”期间,小华和妈妈到某景区游玩,小明想利用所学的数学知识,估测景区里的观景塔DE的高度.他从点D处走到点A处,然后沿着斜坡AB从点A又走了8米到达点B处,在点B处测得观景塔顶端的仰角为45°,再往前走到点C处,测得观景塔顶端的仰角为30°,已知AB⊥BE,AD,BC均为水平线,BC=10米,则观景塔的高度DE约为 ( )
(结果精确到1 m.参考数据:2≈1.41,3≈1.73)
A.14米 B.15米 C.19米 D.25米
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答案
1.C 【解析】 如图,过点B作BF⊥DE于点F,过点A作AH⊥BF于点H.∵∠EBF=45°,AB⊥BE, ∴∠ABH=45°, ∴AH= BH=8×sin 45°=42(米).在Rt△ECF中,CF=????????tan∠????????????=????????tan?30°=3EF.在Rt△EBF中,∠EBF=45°,∴BF=EF.∵BC=CF-BF,∴3EF-EF=10,所以EF=(53+5)米,∴DE=EF+DF=53+5+42≈19(米). 故选C.
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2.[2019辽宁鞍山中考]如图为某海域示意图,其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20 n mile的速度向正东方向航行,到达A处时测得灯塔D在东北方向上,继续航行0.3 h,到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上,同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上,此时快艇与岛屿C的距离是多少?(结果精确到1 n mile.参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
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答案
2.【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,
则四边形CDEF为矩形,∴CF=DE.
根据题意,得∠DAB=45°,∠DBE=60°,∠CBF=45°.
设DE=x n mile,则AE=DE=x n mile.
在Rt△DEB中,tan∠DBE=????????????????,
∴BE=????tan?60°=33x(n mile).
∵AB=20×0.3=6(n mile),AE-BE=AB,
∴x-33x=6,解得x=9+33,
∴CF=DE=(9+33)n mile.
在Rt△CBF中,sin∠CBF=????????????????,∴BC=????????sin?45°=9+3322=92+36≈20(n mile).
答:此时快艇与岛屿C的距离约是20 n mile.
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3.[2020四川成都期中]如图,小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,然后走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角为60°,再向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知点A离地面的高度AB=2米,∠BCA=30°,且B,C,D三点在同一直线上.
(1)求树DE的高度;
(2)求食堂MN的高度.
答案
3.【解析】 (1)如图,过点A作AF⊥DE,交DE于F,设DE=x米,
∵DF=AB=2 米,∴EF=DE-DF=(x-2)米.
在Rt△AEF中,∠EFA=90°,∠EAF=30°,
∴AF=????????tan∠????????????=?????233=3(x-2)(米).
在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∠DCE=60°,
∴CD=????????tan∠????????????=????3=33x(米).
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在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,
∴BC=????????tan∠????????????=233=23(米),
∴BD=BC+CD=(23+33x)米.
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答案
由AF=BD,可得3(x-2)=23+33x,解得x=6.
故树DE的高度为6米.
(2)如图,延长NM交直线DB于点P,则BP=AM=3 米.
由(1)知CD=33x=23米,BC=23米,
∴PD=BP+BC+CD=3+23+23=(3+43)(米).
∵∠NDP=45°,∴NP=PD·tan 45°=(3+43)米.
∵MP=AB=2米,∴NM=NP-MP=3+43-2=(1+43)(米).
故食堂MN的高度为(1+43)米.
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4.祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制定了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.
(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点C到AB的距离(参考数据:sin 38°≈0.6,cos 38°≈0.8,tan 38°≈0.8, sin 28°≈0.5,cos 28°≈0.9,tan 28°≈0.5);
(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).
项目
内容
课题
测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示
意图
?
说明:两侧最长斜拉索AC,BC相交于点C,分别与桥面交于A,B两点,且点A,B,C在同一竖直平面内.
测量
数据
∠A的度数
∠B的度数
AB的长度
38°
28°
234 m
?
?
答案
4.【分析】 (1)过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x m,分别在Rt△ADC和Rt△BDC中用含x的式子表示出AD,BD的长,再利用方程思想,求出x的值,即可得解.(2)根据实际操作中需要的条件补充即可.
【解析】 (1)如图,过点C作CD⊥AB于点D.
设CD=x m,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=38°,
∴tan A=tan 38°=????????????????,∴AD=????????tan?38°≈????0.8=54x.
在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠B=28°,
∴tan B=tan 28°=????????????????,∴BD=????????tan?28°≈????0.5=2x.
∵AD+BD=AB=234,
∴54x+2x=234.
解得x=72.
答:斜拉索顶端点C到AB的距离约为72 m.
(2)答案不唯一,还需要补充的项目有测量工具,计算过