1.1
空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
选题明细表
知识点、方法
题号
空间向量的概念
1,2
空间向量的加减运算
3,4,5,6,7,8,9,10
基础巩固
1.下列说法中正确的是( )
(A)任意两个空间向量都可以比较大小
(B)方向不同的空间向量不能比较大小,但同向的空间向量可以比较大小
(C)空间向量的大小与方向有关
(D)空间向量的模可以比较大小
2.下列说法中正确的是( )
(A)若|a|=|b|,则a,b的长度相等,方向相同或相反
(B)若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
(C)空间向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c
(D)在四边形ABCD中,一定有+=
3.已知空间向量,,,,则下列结论正确的是( )
(A)=+
(B)-+=
(C)=++
(D)=-
4.已知正方形ABCD的边长为1,设=a,=b,=c,则|a+b+c|等于( )
(A)0
(B)3
(C)2+
(D)2
5.在长方体ABCDA1B1C1D中,++与向量之间的关系是 .?
综合运用
6.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量的是( )
①(-)-;
②(+)-;
③(-)-;
④(-)+.
(A)①②
(B)②③
(C)③④
(D)①④
7.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则=
(用a,b,c表示).?
8.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,
CD,DB的中点,请化简下式,并在图中标出化简结果的向量.
(1)++;(2)++.
9.如图所示,几何体ABCDEF-A′B′C′D′E′F′为正六棱柱,在顶点连接的向量中,
(1)与相等的向量有哪些?
(2)与,,相等吗?
素养培优
10.如图,在四面体ABCD中,E,F,H分别为棱CD,AD,BC的中点,连接BE,DH,交于点G,则G为△BCD的重心,连接AG,HF,化简下列各式.
(1)++;
(2)(+-).1.1
空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
选题明细表
知识点、方法
题号
空间向量的概念
1,2
空间向量的加减运算
3,4,5,6,7,8,9,10
基础巩固
1.下列说法中正确的是( D )
(A)任意两个空间向量都可以比较大小
(B)方向不同的空间向量不能比较大小,但同向的空间向量可以比较大小
(C)空间向量的大小与方向有关
(D)空间向量的模可以比较大小
解析:由向量概念可知只有D正确.
2.下列说法中正确的是( B )
(A)若|a|=|b|,则a,b的长度相等,方向相同或相反
(B)若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
(C)空间向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c
(D)在四边形ABCD中,一定有+=
解析:|a|=|b|,只是说明a,b模相等,但方向不确定,所以A错;相反向量方向相反,模相等,则B正确;C显然不对;四边形ABCD若为平行四边形,则满足+=,有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错.
3.已知空间向量,,,,则下列结论正确的是( B )
(A)=+
(B)-+=
(C)=++
(D)=-
解析:-+=++=+=.
4.已知正方形ABCD的边长为1,设=a,=b,=c,则|a+b+c|等于( D )
(A)0
(B)3
(C)2+
(D)2
解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,
|a+b+c|=2||=2.
5.在长方体ABCDA1B1C1D中,++与向量之间的关系是 .?
解析:因为=++,
=+,=+,=+,
所以++=2.
答案:++=2
综合运用
6.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量的是( A )
①(-)-;
②(+)-;
③(-)-;④(-)+.
(A)①②
(B)②③
(C)③④
(D)①④
7.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则=
(用a,b,c表示).?
解析:=-=-(+)=-a+b-c.
答案:-a+b-c
8.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,
CD,DB的中点,请化简下式,并在图中标出化简结果的向量.
(1)++;
(2)++.
解:(1)++=.
(2)++=++=.
作出向量如图所示.
9.如图所示,几何体ABCDEF-A′B′C′D′E′F′为正六棱柱,在顶点连接的向量中,
(1)与相等的向量有哪些?
(2)与,,相等吗?
解:(1)与相等的向量有,,.
(2)由正六棱柱的性质可知,BD与B′D′,AE,A′E′分别平行且
相等,
所以===.
素养培优
10.如图,在四面体ABCD中,E,F,H分别为棱CD,AD,BC的中点,连接BE,DH,交于点G,则G为△BCD的重心,连接AG,HF,化简下列各式.
(1)++;
(2)(+-).
解:(1)如图,连接EF,因为G是△BCD的重心,
所以||=||.
又因为=.
所以由向量加法的三角形法则可知
++=++=+=.即++=.
(2)如图,分别取AB,AC的中点P,Q,连接PH,QH,AH,则四边形APHQ为平行四边形.因为=,=,+=,=,
所以(+-)=+-=+-=-=.1.1.2 空间向量的数量积运算
选题明细表
知识点、方法
题号
求数量积
2,3,8,9
利用数量积求角
1,6,7,11
利用数量积求距离
4,5,10,12
基础巩固
1.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线的夹角为( )
(A)30°
(B)60°
(C)120°
(D)150°
2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( )
(A)a2
(B)a2
(C)a2
(D)a2
3.(多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于-a2的是( )
(A)2·
(B)2·
(C)2·
(D)2·
4.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于( )
(A)6
(B)6
(C)12
(D)144
5.如图,在120°的二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC?α,BD?β且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,已知AC=AB=BD=6,则线段CD的长为 .?
6.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 .?
综合运用
7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:
①(++)2=3;
②·(-)=0;
③与的夹角为60°;
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
8.如图,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,
∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则
·= .?
9.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.
求下列向量的数量积.
(1)·;(2)·.
10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
素养培优
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是C1D1,D1D的中点,若正方体的棱长为1.求直线CE与AF所成角的余弦值.
12.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长都为.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.1.1.2 空间向量的数量积运算
选题明细表
知识点、方法
题号
求数量积
2,3,8,9
利用数量积求角
1,6,7,11
利用数量积求距离
4,5,10,12
基础巩固
1.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线的夹角为( B )
(A)30°
(B)60°
(C)120°
(D)150°
解析:设向量a,b的夹角为θ,则cos
θ==-,
所以θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.
2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( C )
(A)a2
(B)a2
(C)a2
(D)a2
解析:·=(+)·=(·+·)
=(a×a×+a×a×)=a2.
3.(多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于-a2的是( AC )
(A)2·
(B)2·
(C)2·
(D)2·
解析:2·=2a2cos
120°=-a2,2·=2·=2a2cos
60°=a2,2·=·=-a2,2·=·=-·=-a2,故选AC.
4.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于( C )
(A)6
(B)6
(C)12
(D)144
解析:因为=++,
所以=+++2·+2·+2·
=36+36+36+2×36cos
60°=144,
所以PC=12.
5.如图,在120°的二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC?α,BD?β且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,已知AC=AB=BD=6,则线段CD的长为 .?
解析:因为AC⊥AB,BD⊥AB,
所以·=0,·=0,
又因为二面角αlβ的平面角为120°,
所以<,>=60°,
所以CD2=||2=(++)2
=+++2(·+·+·)
=3×62+2×62×cos
60°
=144,
所以CD=12.
答案:12
6.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 .?
解析:不妨设棱长为2,则=-,=+,
cos
<,>=
==0,
所以<,>=90°.
答案:90°
综合运用
7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:
①(++)2=3;
②·(-)=0;
③与的夹角为60°;
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( B )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
解析:如图所示,(++)2=(++)2==3;
·(-)=·=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°;正方体的体积为
||||||,综上可知,①②正确.
8.如图,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,
∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则
·= .?
解析:=++,
·=·+·+
=4×3×cos
60°+0+×42
=14.
答案:14
9.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.
求下列向量的数量积.
(1)·;(2)·.
解:如图所示,
设=a,=b,=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
(1)·=·(+)
=b·[(c-a)+b]
=|b|2=42
=16.
(2)·=(+)·(+)
=(c-a+b)·(a+c)
=|c|2-|a|2
=22-22=0.
10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
解:(1)=++
=++
=(c-a)+a+(b-a)
=a+b+c.
(2)因为(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c
=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×
=5,
所以|a+b+c|=,
所以||=|a+b+c|=,
即MN=.
素养培优
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是C1D1,D1D的中点,若正方体的棱长为1.求直线CE与AF所成角的余弦值.
解:=+=+,=+=+=-.
因为·=0,·=0,·=0,
所以·=|(-)·(+)
=·+||2-·-·
=||2=,
又||=||=,
所以cos
<,>===.
12.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长都为.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.
(1)证明:=+,=+.
因为BB1⊥平面ABC,
所以·=0,·=0.
又△ABC为正三角形,
所以<,>=π-<,>=π-=.
因为·=(+)·(+)
=·+·++·
=||·||·cos
<,>+||2
=-1+1
=0,
所以AB1⊥BC1.
(2)解:由(1)知·
=||·||·cos
<,>+
=-1.
又||===||.
所以cos
<,>==,
所以||=2,
即侧棱长为2.
