1.2 空间向量基本定理
选题明细表
知识点、方法
题号
基底的概念
1,2,5,9
用基底表示向量
3,4,6,7,8,10
基础巩固
1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( )
(A)2a
(B)2b
(C)2a+3b
(D)2a+5c
3.已知空间四边形OABC,其对角线为AC,OB,M,N分别是OA,BC的中点,点G是MN的中点,则等于( )
(A)++
(B)(++)
(C)(++)
(D)++
4.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则= (用a,b,c表示).?
综合运用
5.已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使向量,,成为空间的一个基底的是( )
(A)=++
(B)=+
(C)=++
(D)=2-
6.如图所示,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在上,且=2,N为BC的中点,=xa+yb+zc,则x,y,z分别为( )
(A),-,
(B)-,,
(C),,-
(D),,-
7.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为( )
(A)a-b+2c
(B)a-b-2c
(C)-a+b+c
(D)a-b+c
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,则向量可用a,b,c表示为 .?
素养培优
9.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底.给出下列向量组:
①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有 个.?
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥AB1.1.2 空间向量基本定理
选题明细表
知识点、方法
题号
基底的概念
1,2,5,9
用基底表示向量
3,4,6,7,8,10
基础巩固
1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的( B )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底.当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此p
q,
q?p.
2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( D )
(A)2a
(B)2b
(C)2a+3b
(D)2a+5c
解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面,在四个选项中,只有选项D与p,q不共面,因此,2a+5c与p,q能构成基底,
故选D.
3.已知空间四边形OABC,其对角线为AC,OB,M,N分别是OA,BC的中点,点G是MN的中点,则等于( B )
(A)++
(B)(++)
(C)(++)
(D)++
解析:如图,
=(+)=+×(+)
=++=(++).
4.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则= (用a,b,c表示).?
解析:取BC中点为F,连EF,AF,
则EFBB1,
又ADBB1,所以EFAD,
所以四边形ADEF为平行四边形,
所以DEAF,
所以==(+)=a+b.
答案:a+b
综合运用
5.已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使向量,,成为空间的一个基底的是( C )
(A)=++
(B)=+
(C)=++
(D)=2-
解析:对于选项A,由=x+y+z(x+y+z=1)?M,A,B,C四点共面,知,,共面;对于选项B,D,易知,,共面,故选C.
6.如图所示,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在上,且=2,N为BC的中点,=xa+yb+zc,则x,y,z分别为( B )
(A),-,
(B)-,,
(C),,-
(D),,-
解析:=++
=+(-)+
=+(-)+(-)
=-++,
所以x=-,y=,z=,故选B.
7.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为( D )
(A)a-b+2c
(B)a-b-2c
(C)-a+b+c
(D)a-b+c
解析:=+=+
=+(-)
=a-b+c.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,则向量可用a,b,c表示为 .?
解析:如图,连接A1C1,C1D,
则E在A1C1上,F在C1D上,
易知EFA1D,
所以=
=(+)
=-a+c.
答案:-a+c
素养培优
9.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底.给出下列向量组:
①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有 个.?
解析:如图,设a=,b=,c=,则x=,y=,z=,
a+b+c=.
由A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,z也不共面.
同理可知b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,可以作为空间的基底.
因x=a+b,
故a,b,x共面,故不能作为基底.
答案:3
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥AB1.
证明:设=a,=b,=c,
则=+=(+)=(+)
=(+-)
=(-a+b+c),
=+=+=a+b.
所以·=(-a+b+c)·(a+b)
=(|b|2-|a|2)
=0.
所以⊥,即EF⊥AB1.
