1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
选题明细表
知识点、方法
题号
空间直角坐标系及点的坐标
2,6,7,8,9,11,12
空间中点的对称问题
1,3,4,5
基础巩固
1.已知A(-1,2,7),B(-3,-10,-9),则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是( D )
(A)(4,8,2)
(B)(4,2,8)
(C)(4,2,1)
(D)(2,4,1)
解析:由题意,得AB中点坐标为(-2,-4,-1),
所以关于原点对称的点的坐标为(2,4,1).
2.(多选题)下列叙述正确的有( BCD )
(A)在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,c)
(B)在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标是(0,b,c)
(C)在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0,c)
(D)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a,0,c)
3.已知P(1,3,-1)关于xOz面的对称点为P′,P′关于y轴对称的点为P″,则P″的坐标为( B )
(A)(1,-3,-1)
(B)(-1,-3,1)
(C)(1,-3,1)
(D)(-1,3,1)
解析:由题意,得P′(1,-3,-1),P″(-1,-3,1).
4.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( A )
(A)(-2,1,-4)
(B)(-2,-1,-4)
(C)(2,-1,4)
(D)(2,1,-4)
解析:过点P向xOy平面作垂线,垂足为N,则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点,又N(-2,1,0),所以对称点为P′(-2,
1,-4),故选A.
5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则CC1中点N的坐标为 .?
解析:由题意C(0,2,0),C1(0,2,2),
所以N(0,2,1).
答案:(0,2,1)
6.点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 , ,
.?
解析:P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0),在y轴上的射影为(0,3,0),在z轴上的射影为(0,0,4).
答案:(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)
综合运用
7.点A(0,-2,3)在空间直角坐标系中的位置是( C )
(A)在x轴上
(B)在xOy平面内
(C)在yOz平面内
(D)在xOz平面内
解析:因为A点横坐标为0,所以点A在yOz平面内.
8.已知{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,且a=-2i+2j-2k,b=i+4j-
6k,c=xi-8j+8k,若向量a,b,c共面,则向量c的坐标为( A )
(A)(8,-8,8)
(B)(-8,8,8)
(C)(-8,-8,-8)
(D)(-8,8,-8)
解析:因为a,b,c共面,所以可设c=λa+μb,
所以xi-8j+8k=λ(-2i+2j-2k)+μ(i+4j-6k),由此可得
解得x=8.故向量c的坐标为(8,-8,8).
9.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( A )
(A)(,,)
(B)(,,)
(C)(,,)
(D)(,,)
解析:如图,由已知=
=(+)
=[+(+)]
=+[(-)+(-)]
=++,
从而x=y=z=.故选A.
10.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′点,则M′关于原点对称的点的坐标是 .?
解析:点M在xOz上的射影为(-2,0,-3),其关于原点对称的坐标为(2,0,3).
答案:(2,0,3)
素养培优
11.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,试建立适当的直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.
解:以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
因为点E在z轴上,且为D1D的中点,
故点E坐标为(0,0,).
过F作FM⊥AD,FN⊥DC,
则FM=FN=,
故点F坐标为(,,0).
因为点G在y轴上,
又GD=,
故点G坐标为(0,,0).
过H作HK⊥CG于点K,
由于H为C1G的中点,
故HK=,GK=.
所以DK=.
故点H的坐标为(0,,).
12.依次连接四点A,B,C,D构成平行四边形ABCD,且已知A(4,1,3),
B(2,-5,1),C(3,7,-5),求顶点D的坐标.
解:设线段AC与BD的交点为M,设点M的坐标为M(x1,y1,z1),点D的坐标为D(x2,y2,z2),由M既是线段AC的中点,也是线段BD的中点,得x1=,y1=4,z1=-1,
又=,=4,=-1,
所以x2=5,y2=13,z2=-3.
所以顶点D的坐标为(5,13,-3).1.3.2 空间向量运算的坐标表示
选题明细表
知识点、方法
题号
空间向量的坐标运算
5,9,10,12
平行、垂直问题
2,4
夹角、距离问题
1,3,6,7,8,11
基础巩固
1.已知向量a=(0,1,1),b=(-1,-1,0),则两向量的夹角为( B )
(A)60°
(B)120°
(C)-60°
(D)240°
解析:cos
===-,
所以=120°.
2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则( C )
(A)x=1,y=1
(B)x=,y=-
(C)x=,y=-
(D)x=-,y=
解析:因为a与b共线,
所以==,
所以x=,y=-.
3.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( C )
(A)等腰三角形
(B)等边三角形
(C)直角三角形
(D)等腰直角三角形
解析:=(3,4,-8),=(5,1,-7),
=(2,-3,1),
所以||==,
||==,
||==,
所以||2+||2=75+14=89=||2.
所以△ABC为直角三角形.
4.在空间直角坐标系中,若向量a=(-2,1,3),b=(1,-1,1),
c=(1,-,-),则它们之间的关系是( A )
(A)a⊥b且a∥c
(B)a⊥b且a⊥c
(C)a∥b且a⊥c
(D)a∥b且a∥c
解析:因为a=-2c,b·a=1×(-2)+(-1)×1+1×3=0,
所以a∥c且a⊥b.故选A.
5.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),a=(x,y,1),若向量a分别与,垂直,则向量a的坐标为 .?
解析:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
由a⊥,a⊥,
得解得
故a=(1,1,1).
答案:(1,1,1)
综合运用
6.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ与的夹角为120°,则λ的值为( C )
(A)±
(B)
(C)-
(D)±
解析:因为=(1,0,0),=(0,-1,1),
所以+λ=(1,-λ,λ),
所以(+λ)·=λ+λ=2λ,
|+λ|==,||=.
所以cos
120°==-,
所以λ2=.
又<0,
所以λ=-.
7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t).则|b-a|的最小值是 .?
解析:由已知,得
b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0).
所以|b-a|=
=
=.
所以当t=时,|b-a|的最小值为.
答案:
8.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 .?
解析:a·b=2x-2×3+2×5=2x+4,
设a,b的夹角为θ,因为θ为钝角,
所以cos
θ=<0,
又|a|>0,|b|>0,
所以a·b<0,即2x+4<0,
所以x<-2,
又a,b不会反向,
所以实数x的取值范围是(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
9.已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4),(2,-1,-2),设p=,q=.
求:(1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)·(p+q).
解析:因为A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),
所以p==(2,1,3),q==(2,0,-6).
(1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)
=(2,1,3)+(4,0,-12)
=(6,1,-9).
(2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)
=(6,3,9)-(2,0,-6)
=(4,3,15).
(3)(p-q)·(p+q)=p2-q2
=|p|2-|q|2
=(22+12+32)-(22+02+62)
=-26.
10.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若∥,∥,求点D的坐标;
(2)问是否存在实数α,β使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
解:(1)设D(x,y,z),
则=(-x,1-y,-z),
=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),
=(-1,1,0).
因为∥,∥,
所以
解得即D(-1,1,2).
(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).
假设存在实数α,β,使得=α+β成立,
则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)
=(-α,α-β,2β),
所以
故存在α=β=1,
使得=α+β成立.
素养培优
11.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值等于( A )
(A)
(B)-
(C)19
(D)
解析:=(1-x,2x-3,-3x+3),
||2=(x-1)2+(2x-3)2+9(x-1)2
=14x2-32x+19.
当x=时,||2最小,||也最小.
故选A.
12.已知棱长为a的正四面体ABCD,如图,建立空间直角坐标系,O为A在底面上的射影,M,N分别为线段AB,AD的中点,则M的坐标是 ,
CN与DM所成角的余弦值为 .?
解析:由正四面体棱长为a,知△BCD的外接圆半径为a,
所以B(-a,-a,0),
又正四面体的高为=a,
所以A(0,0,a),
所以AB的中点M的坐标为(-a,-a,a).
又D(0,a,0),
所以=(-a,-a,a),
同理可得=(-a,a,a).
所以与夹角的余弦值为cos
<,>==-.
所以异面直线CN与DM所成角的余弦值为.
答案:(-a,-a,a) 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
选题明细表
知识点、方法
题号
空间向量的坐标运算
5,9,10,12
平行、垂直问题
2,4
夹角、距离问题
1,3,6,7,8,11
基础巩固
1.已知向量a=(0,1,1),b=(-1,-1,0),则两向量的夹角为( )
(A)60°
(B)120°
(C)-60°
(D)240°
2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则( )
(A)x=1,y=1
(B)x=,y=-
(C)x=,y=-
(D)x=-,y=
3.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )
(A)等腰三角形
(B)等边三角形
(C)直角三角形
(D)等腰直角三角形
4.在空间直角坐标系中,若向量a=(-2,1,3),b=(1,-1,1),
c=(1,-,-),则它们之间的关系是( )
(A)a⊥b且a∥c
(B)a⊥b且a⊥c
(C)a∥b且a⊥c
(D)a∥b且a∥c
5.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),a=(x,y,1),若向量a分别与,垂直,则向量a的坐标为 .?
综合运用
6.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ与的夹角为120°,则λ的值为( C )
(A)±
(B)
(C)-
(D)±
7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t).则|b-a|的最小值是 .?
8.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 .?
9.已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4),(2,-1,-2),设p=,q=.
求:(1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)·(p+q).
10.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若∥,∥,求点D的坐标;
(2)问是否存在实数α,β使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
素养培优
11.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值等于( A )
(A)
(B)-
(C)19
(D)
12.已知棱长为a的正四面体ABCD,如图,建立空间直角坐标系,O为A在底面上的射影,M,N分别为线段AB,AD的中点,则M的坐标是 ,
CN与DM所成角的余弦值为 .?1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
选题明细表
知识点、方法
题号
空间直角坐标系及点的坐标
2,6,7,8,9,11,12
空间中点的对称问题
1,3,4,5
基础巩固
1.已知A(-1,2,7),B(-3,-10,-9),则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是( )
(A)(4,8,2)
(B)(4,2,8)
(C)(4,2,1)
(D)(2,4,1)
2.(多选题)下列叙述正确的有( )
(A)在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,c)
(B)在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标是(0,b,c)
(C)在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0,c)
(D)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a,0,c)
3.已知P(1,3,-1)关于xOz面的对称点为P′,P′关于y轴对称的点为P″,则P″的坐标为( )
(A)(1,-3,-1)
(B)(-1,-3,1)
(C)(1,-3,1)
(D)(-1,3,1)
4.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( A )
(A)(-2,1,-4)
(B)(-2,-1,-4)
(C)(2,-1,4)
(D)(2,1,-4)
5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则CC1中点N的坐标为 .?
6.点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 , ,
.?
综合运用
7.点A(0,-2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
(A)在x轴上
(B)在xOy平面内
(C)在yOz平面内
(D)在xOz平面内
8.已知{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,且a=-2i+2j-2k,b=i+4j-
6k,c=xi-8j+8k,若向量a,b,c共面,则向量c的坐标为( )
(A)(8,-8,8)
(B)(-8,8,8)
(C)(-8,-8,-8)
(D)(-8,8,-8)
9.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )
(A)(,,)
(B)(,,)
(C)(,,)
(D)(,,)
10.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′点,则M′关于原点对称的点的坐标是 .?
素养培优
11.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,试建立适当的直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.
12.依次连接四点A,B,C,D构成平行四边形ABCD,且已知A(4,1,3),
B(2,-5,1),C(3,7,-5),求顶点D的坐标.