1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
选题明细表
知识点、方法
题号
直线的方向向量和平面的法向量
1,2,3,4,5,7,8,9
利用空间向量解决平行、垂直问题
6,10,11,12
基础巩固
1.下列各结论中,正确的有( C )
①同一平面的不同的法向量是共线向量;②若a是平面α的法向量,b是平面α内的向量,则a·b=0;③设非零向量b,c均在平面α内,若a·b=0,a·c=0,则a是平面α的法向量.
(A)0个
(B)1个
(C)2个
(D)3个
解析:①垂直于同一平面的直线平行,正确;②若一直线垂直于这个平面,则这条直线垂直于平面内任一条直线,正确;③若b∥c,则不正确.
2.已知直线l1的一个方向向量a=(2,4,x),直线l2的一个方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( A )
(A)-3或1
(B)3或-1
(C)-3
(D)1
解析:因为|a|==6,所以x=±4.
又a⊥b,
所以a·b=2×2+4y+2x=0,
所以y=-1-x.
当x=4时,y=-3;当x=-4时,y=1,
所以x+y=-3或1.
3.下面各组向量为直线l1与l2的方向向量,则l1与l2一定不平行的是( D )
(A)a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)
(B)a=(1,0,0),b=(-3,0,0)
(C)a=(2,3,0),b=(4,6,0)
(D)a=(-2,3,5),b=(-4,6,8)
解析:l1与l2不平行则其方向向量一定不共线.
A中,b=-2a;B中,b=-3a;C中,b=2a.故选D.
4.已知平面α∥平面β,n=(1,-1,1)为平面α的一个法向量,则下列向量是平面β的法向量的是( B )
(A)(1,1,1)
(B)(-1,1,-1)
(C)(-1,-1,-1)
(D)(1,1,-1)
解析:因为(-1,1,-1)=-n,
所以(-1,1,-1)是平面β的一个法向量.
5.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,
-x),若直线l∥平面α,则x的值为( D )
(A)-2
(B)-
(C)
(D)±
解析:因为l∥平面α,
所以s⊥n,即s·n=0.
所以(-1,1,1)·(2,x2+x,-x)=0,
即-2+x2+x-x=0,
所以x=±.
6.已知A,B,C三点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,-1,1),C(3,λ,λ),若⊥,则λ等于 .?
解析:=(1,-3,-2),=(2,λ-2,λ-3),
因为⊥,即·=0,
所以2-3(λ-2)-2(λ-3)=0,解得λ=.
答案:
综合运用
7.已知A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,x),若AD?平面ABC,则实数x的值是( B )
(A)-1
(B)0
(C)1
(D)2
解析:易求得平面ABC的一个法向量u=(0,0,1),
而=(1,1,x),所以当AD?平面ABC时,·u=0.
所以1×0+1×0+x=0.所以x=0.
8.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则( B )
(A)l∥α
(B)l⊥α
(C)l?α
(D)l与α斜交
解析:因为u=-2a,所以u∥a,所以l⊥α.故选B.
9.在如图所示的坐标系中,ABCDA1B1C1D1为正方体,给出下列结论:
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);
③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的个数为( C )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
解析:DD1∥AA1,=(0,0,1);BC1∥AD1,=(0,1,1);直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,
所以④错误.故选C.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( B )
(A)相交
(B)平行
(C)垂直
(D)不能确定
解析:建系如图,
设正方体的棱长为2,则点A(2,2,2),A1(2,2,0),C(0,0,2),B(2,0,2).
所以M(2,1,1),N(1,1,2).
所以=(-1,0,1).
又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0),
因为-1×0+0×1+1×0=0,所以⊥n.
所以MN∥平面BB1C1C.故选B.
素养培优
11.空间直角坐标系中,已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),P(x,y,z)是平面ABC内任意一点,试求x,y,z满足的方程.
解:由题设可知=(-3,4,0),=(-3,0,2)不共线.
设n=(a,b,c),且n垂直于平面ABC,则n⊥且n⊥,
故
于是==,可取n=(4,3,6).
P(x,y,z)∈平面ABC?⊥n?·n=0?4(x-3)+3y+6z=0?4x+3y+6z-12=0.
12.已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求平面ABC的一个法向量;
(2)证明:向量a=(3,-4,1)与平面ABC平行.
(1)解:因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
所以=(-2,-1,3),=(1,-3,2).
设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,
则
所以
解得
令y=1,则x=1,z=1,
所以平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1).
(2)证明:法一 若存在实数m,n使a=m·+n·,
即(3,-4,1)=m(-2,-1,3)+n(1,-3,2),
所以解得
所以a=-+,
所以向量a与平面ABC平行.
法二 因为a·n=(3,-4,1)·(1,1,1)=3-4+1=0,
所以a⊥n,所以向量a与平面ABC平行.1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
选题明细表
知识点、方法
题号
利用空间向量求角
1,4,5,6,7
利用空间向量求距离
2,3,6
基础巩固
1.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( A )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:不妨设CB=1,
则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).
所以=(0,2,-1),=(-2,2,1).
cos
<,>===,故选A.
2.如图,在空间直角坐标系中有长方体
ABCDA1B1C1D1,AB=1,BC=2,
AA1=3,则点B到直线A1C的距离为( B )
(A)
(B)
(C)
(D)1
解析:过点B作BE垂直A1C,垂足为E,
设点E的坐标为(x,y,z),
则A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),
=(1,2,-3),
=(x,y,z-3),
=(x-1,y,z).
因为
所以
解得所以=(-,,),
所以点B到直线A1C的距离||=.
故选B.
3.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点
A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( D )
(A)10
(B)3
(C)
(D)
解析:点P到平面α的距离d===.故选D.
4.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( B )
(A)120°
(B)45°
(C)135°
(D)60°
解析:以A为原点,分别以AB,AD,AE所在直线为
x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,1,-1).
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),
则即
可取n=(1,0,1).
又平面EAD的法向量为=(1,0,0),
所以cos
==,
故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
故选B.
综合运用
5.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( A )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:设AB=1,则AA1=2,以D1为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示:
则D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),
所以=(1,1,0),=(0,1,-2),=(0,1,0),
设n=(x,y,z)为平面BDC1的法向量,则
即取n=(-2,2,1),
设CD与平面BDC1所成角为θ,
则sin
θ===.故选A.
素养培优
6.在三棱锥SABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点.
(1)证明:AC⊥SB;
(2)求二面角NCMB的余弦值;
(3)求点B到平面CMN的距离.
(1)证明:取AC的中点O,连接OS,OB.
因为SA=SC,AB=BC,
所以AC⊥SO且AC⊥BO.
因为平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
所以SO⊥平面ABC,
所以SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.
则点A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),
N(0,,).
所以=(-4,0,0),=(0,2,-2).
因为·=(-4,0,0)·(0,2,-2)=0,
所以AC⊥SB.
(2)解:由(1)得=(3,,0),=(-1,0,).
设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
则
取z=1,则x=,y=-.
所以n=(,-,1).
又=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量,
所以cos
==.
所以二面角NCMB的余弦值为.
(3)解:由(1)(2)得=(-1,,0),n=(,-,1)为平面CMN的一个法向量,
所以点B到平面CMN的距离d==.
7.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=.
(1)证明:D′H⊥平面ABCD;
(2)求二面角BD′AC的正弦值.
(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得=,故AC∥EF.
因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H.
由AB=5,AC=6得
DO=BO==4.
由EF∥AC得==.
所以OH=1,D′H=DH=3,
于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D′H⊥平面ABCD.
(2)解:如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Hxyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),
D′(0,0,3),
=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).
设m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量,
则即
所以可取m=(4,3,-5).
设n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量,则
即
所以可取n=(0,-3,1).
于是cos===-.
sin=.
因此二面角BD′AC的正弦值是.1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
选题明细表
知识点、方法
题号
直线的方向向量和平面的法向量
1,2,3,4,5,7,8,9
利用空间向量解决平行、垂直问题
6,10,11,12
基础巩固
1.下列各结论中,正确的有( )
①同一平面的不同的法向量是共线向量;②若a是平面α的法向量,b是平面α内的向量,则a·b=0;③设非零向量b,c均在平面α内,若a·b=0,a·c=0,则a是平面α的法向量.
(A)0个
(B)1个
(C)2个
(D)3个
2.已知直线l1的一个方向向量a=(2,4,x),直线l2的一个方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )
(A)-3或1
(B)3或-1
(C)-3
(D)1
3.下面各组向量为直线l1与l2的方向向量,则l1与l2一定不平行的是( )
(A)a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)
(B)a=(1,0,0),b=(-3,0,0)
(C)a=(2,3,0),b=(4,6,0)
(D)a=(-2,3,5),b=(-4,6,8)
4.已知平面α∥平面β,n=(1,-1,1)为平面α的一个法向量,则下列向量是平面β的法向量的是( )
(A)(1,1,1)
(B)(-1,1,-1)
(C)(-1,-1,-1)
(D)(1,1,-1)
5.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,
-x),若直线l∥平面α,则x的值为( )
(A)-2
(B)-
(C)
(D)±
6.已知A,B,C三点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,-1,1),C(3,λ,λ),若⊥,则λ等于 .?
综合运用
7.已知A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,x),若AD?平面ABC,则实数x的值是( )
(A)-1
(B)0
(C)1
(D)2
8.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则( )
(A)l∥α
(B)l⊥α
(C)l?α
(D)l与α斜交
9.在如图所示的坐标系中,ABCDA1B1C1D1为正方体,给出下列结论:
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);
③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的个数为( )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
(A)相交
(B)平行
(C)垂直
(D)不能确定
素养培优
11.空间直角坐标系中,已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),P(x,y,z)是平面ABC内任意一点,试求x,y,z满足的方程.
12.已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求平面ABC的一个法向量;
(2)证明:向量a=(3,-4,1)与平面ABC平行.1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
选题明细表
知识点、方法
题号
利用空间向量求角
1,4,5,6,7
利用空间向量求距离
2,3,6
基础巩固
1.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
(B)
(C)
(D)
2.如图,在空间直角坐标系中有长方体
ABCDA1B1C1D1,AB=1,BC=2,
AA1=3,则点B到直线A1C的距离为( )
(B)
(C)
(D)1
3.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点
A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )
(A)10
(B)3
(C)
(D)
4.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )
(A)120°
(B)45°
(C)135°
(D)60°
综合运用
5.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
(A)
(B)
(C)
(D)
素养培优
6.在三棱锥SABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点.
(1)证明:AC⊥SB;
(2)求二面角NCMB的余弦值;
(3)求点B到平面CMN的距离.
7.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=.
(1)证明:D′H⊥平面ABCD;
(2)求二面角BD′AC的正弦值.
