1.3.1函数单调性与最值知识讲解(含答案)

中小学教育资源及组卷应用平台
10.1日
单调性与最大（小）值
一、知识梳理
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1，那么就说f(x)在区间上是
；
如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1，那么就说f(x)在区间上是
.
要点诠释：
（1）属于定义域A内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是
的，减函数的图象从左向右是
的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有
，称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在
上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过
与
方向是否一致来描述函数性质的；
③
合并两个单调区间；
④有的函数不具有
.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有
；
(2)
存在，使得
，那么，我们称是函数的
.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即
一个自变量，使
等于最值；
②对于定义域内的任意元素，都有
，“任意”两字
；
③使函数取得最值的自变量的值有时
；
④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的
；最小值的几何意义是图象上最低点的
.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值：
(2)变形：
(3)定号：
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；(2)图象法；
(3)对于复合函数，若在区间上是
，则在区间或者上是
；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为
；若与单调性相反，则为
．
要点二、基本初等函数的单调性
1.正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是
；当k<0时，函数在定义域R是
.
2.一次函数
当k>0时，函数在定义域R是
；当k<0时，函数在定义域R是
.
（2）反比例函数
当时，函数在区间上是
；
当时，函数在区间上是
.
4.二次函数
若a>0，在区间，函数是
；在区间，函数是
；
若a<0，在区间，函数是
；在区间，函数是
．
要点三、一些常见结论
(1)若是增函数，则为
；若是减函数，则为增函数；
(2)若和均为
，则在和的公共定义域上为
；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为
；
若且为减函数，则函数为
，为
.
二、典型例题
类型一、函数的单调性的证明
例1.已知函数．
（Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（Ⅱ）若，求函数在上的值域．
类型二、求函数的单调区间
例2.
求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|；
(2)　　　　(3)
；（4）y=|x2-2x-3|.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例3.
已知函数是定义域为的单调增函数．
（1）比较与的大小；
（2）若，求实数的取值范围．
例4.
求下列函数的值域：
(1)；
1)x∈[5，10]；
2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)；
(3)；
(4).
例5．已知函数，x∈[―5，5]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数．
一、知识梳理
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
f(x1)f(x2)，减函数
要点诠释：上升，下降
2.单调性与单调区间
（1）单调性，某个区间
要点诠释：
②函数值变化，自变量的变化
③不能随意
④单调性
3．函数的最大（小）值
（1）（或）
（2），最大值（或最小值）
要点诠释：
①存在，
②（或），不可省
③可能不止一个
④纵坐标，纵坐标
4.证明函数单调性的步骤
（1）设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形.
（3）判断差的正负或商与1的大小关系
5.函数单调性的判断方法
（3）单调函数，单调函数，增函数，减函数
要点二、基本初等函数的单调性
正比例函数，增函数，减函数
一次函数增函数，减函数
反比例函数，减函数，增函数
二次函数，减函数，增函数，增函数，减函数
要点三、一些常见结论
减函数，增函数
增（或减）函数，增（或减)函数
增函数，减函数，减函数，增函数
典型例题
例1
【解析】（Ⅰ）当时，任取，
因为，，，
所以，得，故函数在上是减函数；
（Ⅱ）当时，由（1）得在上是减函数,
从而函数在上也是减函数，
,.
由此可得，函数在上的值域为．
例2
.(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；
（4）先画出y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.
例3
（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以．
（2）因为是单调增函数，且，所以，解得或．
例4
(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2)；
(2)
；
(3)经观察知，，；
(4)令.
例5
1），
其对称轴为x=―a，当a=1时，，
所以当x=―1时，f（x）min=f（―1）=1―2+2=1；
当x=5时，即当a=1时，f（x）的最大值是37，最小值是1．
（2）当区间[―5，5]在对称轴的一侧时，
函数y=f（x）是单调函数．所以－a≤―5或―a≥5，
即a≥5或a≤―5，即实数a的取值范围是（―∞，－5]∪[5，+∞）时，
函数在区间[－5，5]上为单调函数．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)