2.1
直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
选题明细表
知识点、方法
题号
求倾斜角
1,9
求斜率
2,3,5,7,11,12,13
倾斜角与斜率的应用
4,6,8,10,14
基础巩固
1.(2020·宁夏平罗县月考)过点A(-3,2)与B(-2,3)的直线的倾斜角为( A )
(A)45°
(B)135°
(C)45°或135°
(D)60°
解析:设过点A(-3,2)与B(-2,3)的直线的倾斜角为α,则tan
α==1,故倾斜角α=45°.
2.过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的方向向量为(1,1),则a的值为( A )
(A)1
(B)4
(C)1或3
(D)1或4
解析:由题意得=,得a=1.
3.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则有( C )
(A)k1(B)k2(C)k1(D)k2解析:设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,由题图可知α3<
α2<90°<α1,故相应斜率的关系为k1<04.(多选题)下列各组中的三点共线的是( BCD )
(A)(1,4),(-1,2),(3,5)
(B)(3,5),(7,6),(-5,3)
(C)(1,0),(0,-),(7,2)
(D)(0,0),(2,4),(-1,-2)
解析:对于A,因为≠,故三点不共线;
对于B,因为=,故三点共线;
对于C,因为=,故三点共线;
对于D,因为=,故三点共线.
5.在y轴上有一点M,它与点(-,1)连成的直线的倾斜角为60°,则点M的坐标为 .?
解析:设点M的坐标为(0,y),
则tan
60°=,
解得y=4.
答案:(0,4)
6.已知点A(1,0),B(2,),C(m,2m),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则实数m的值为
,直线AC的一个方向向量为 .?
解析:设直线AB的倾斜角为α,
则直线AC的倾斜角为2α,
又tan
α==,
又0°≤α<180°,
所以α=60°,2α=120°,
所以kAC==tan
120°=-,
得m=2-3,
直线AC的一个方向向量为(1,-).
答案:2-3 (1,-)(答案不唯一)
综合运用
7.已知M(1,),N(,3),若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的一半,则直线l的斜率为( B )
(A)
(B)
(C)1
(D)
解析:设直线MN的倾斜角为α,
则tan
α===,α=60°,
所以直线l的倾斜角为30°,斜率为,
故选B.
8.(多选题)以下四个命题错误的是( BD )
(A)若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应
(B)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应
(C)坐标平面上所有的直线都有倾斜角
(D)坐标平面上所有直线都有斜率
解析:k=tan
α有意义,则倾斜角α必存在,所以A正确,若α=90°,则k=tan
α不存在,所以B错,C正确,D错.
9.已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的取值范围是 .?
解析:直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角的范围是(90°,180°).
答案:(90°,180°)
10.(2019·福州市期末)若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三点共线，则m的值为 .?
解析:A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三点共线,
所以kAB=kBC,
即=,
所以m=-3.
答案:-3
11.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)求直线AB,BC和AC的斜率;
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化
范围.
解:(1)由斜率公式得kAB==0,
kBC==,
kAC==.
(2)如图所示.
设直线CD的斜率为k,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为[,].
12.(1)直线l过A(-a,8),B(2,2a)两点且kAB=12,求实数a的值;
(2)已知经过两点A(5,m),B(m,8)的直线的斜率大于1,求实数m的取值范围.
解:(1)kAB=12=,
所以a=-.
(2)由题意得,>1,化为(m-5)(m-)<0,
解得5所以实数m的取值范围是(5,).
素养培优
13.已知直线l的倾斜角为α,且α∈[0°,90°)∪(90°,135°],则直线l的斜率的取值范围是( D )
(A)[0,+∞)
(B)(-∞,+∞)
(C)[-1,+∞)
(D)(-∞,-1]∪[0,+∞)
解析:当0°≤α<90°时,tan
α≥0;
当90°<α≤135°时,tan
α≤-1.
14.(2019·丹东市期末)在直角坐标系xOy中,A(-1,4),B(-4,1),点C在直线x=1上.
(1)若A,B,C三点共线,求点C的坐标;
(2)若∠BAC=90°,求点C的坐标.
解:设点C(1,y),则=(-3,-3),=(2,y-4).
(1)因为A,B,C三点共线,
所以∥,
所以-3(y-4)=-3×2,
求得y=6,可得C(1,6).
(2)因为∠BAC=90°,
所以·=-3×2+(-3)(y-4)=0,
解得y=2,
故点C的坐标为(1,2).2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
选题明细表
知识点、方法
题号
直线平行
3,7,10
直线垂直
2,5,8,9,12,13
直线平行与垂直
关系的综合应用
1,4,6,11,14
基础巩固
1.已知直线l的倾斜角为10°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则l1与l2的倾斜角分别为( C )
(A)10°,10°
(B)80°,80°
(C)10°,100°
(D)100°,10°
2.若A(0,1),B(,4)在直线l1上,且直线l1⊥l2,则l2的倾斜角为( C )
(A)-30°
(B)30°
(C)150°
(D)120°
解析:因为==,所以l1的倾斜角为60°.因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.
3.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是( B )
(A)1
(B)-1
(C)2
(D)-2
解析:由题意得==-1,
得m=-1.
4.(多选题)对于两条不重合的直线,下列说法正确的有( ACD )
(A)若两直线斜率相等,则两直线平行
(B)若l1⊥l2,则k1·k2=-1
(C)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交
(D)若两直线斜率都不存在,则两直线平行
解析:当k1=k2时,l1与l2平行,A正确;B中也可能一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,不正确;C,D正确.
5.已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),则第四个顶点D的坐标为 . ?
解析:设点D的坐标为(x,y),
因为kBC==1,
所以得
所以点D(2,3).
答案:(2,3)
6.若l1与l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b= ;若l1∥l2,则b= . ?
解析:当l1⊥l2时,k1k2==-1,得b=2,
当l1∥l2时,k1=k2,Δ=9-4×2×(-b)=0,得b=-.
答案:2 -
综合运用
7.已知直线l1的斜率为2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),若l1∥l2,则lox等于( D )
(A)3
(B)
(C)2
(D)-
解析:由题意得=2,得x=3,
所以lo3=-.
8.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2),B(1,-2),C(-2,4),则BC边上的高的斜率为( C )
(A)2
(B)-2
(C)
(D)-
解析:因为kBC==-2,所以BC边上的高的斜率k=.
9.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C )
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)以A点为直角顶点的直角三角形
(D)以B点为直角顶点的直角三角形
解析:kAB==-,kAC==,所以kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,∠A为直角.
10.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为 .?
解析:设D(x,y),由题意可知,AB∥CD且AD∥BC.所以kAB=kCD且kAD=kBC,
所以解得
所以D点的坐标为(3,-6).
答案:(3,-6)
11.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),
D(-2,a+2).若l1∥l2,则a= ;若l1⊥l2,则a= .?
解析:设直线l2的斜率为k2,则k2==-.
若l1∥l2,设直线l1的斜率为k1,则k1=-.
又k1=,则=-,所以a=1或a=6.
经检验,当a=1或a=6时,l1∥l2.
若l1⊥l2,①当k2=0时,此时a=0,k1=-,不符合题意.
②当k2≠0时,l2的斜率存在,此时k1=.
所以由k2k1=-1,可得a=3或a=-4.
所以,当a=3或a=-4时,l1⊥l2.
答案:1或6 3或-4
12.如图,在?OABC中,O为坐标原点,点C(1,3).
(1)求OC所在直线的斜率;
(2)过C作CD⊥AB于D,求直线CD的斜率.
解:(1)因为点O(0,0),C(1,3),
所以OC所在直线的斜率kOC==3.
(2)在?OABC中,AB∥OC,
因为CD⊥AB,所以CD⊥OC,
所以kOC·kCD=-1,kCD==-.
故直线CD的斜率为-.
素养培优
13.已知点A(0,1),点B的横坐标x与纵坐标y满足x+y=0.若AB⊥OB,则点B的坐标是 .?
解析:设点B的坐标为(x,-x),
因为AB⊥OB,所以x≠0,且·=-1,解得x=-.所以点B的坐标为(-,).
答案:(-,)
14.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t∈(0,+∞),试判断四边形OPQR的形状,并给出证明.
解:四边形OPQR是矩形.
证明如下:
OP边所在直线的斜率kOP=t,
QR边所在直线的斜率kQR==t,
OR边所在直线的斜率kOR=-.
PQ边所在直线的斜率kPQ==-,
因为kOP=kQR,kOR=kPQ,
所以OP∥QR,OR∥PQ,
所以四边形OPQR是平行四边形.
又kQR·kOR=t×(-)=-1,
所以QR⊥OR.
所以四边形OPQR是矩形.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
选题明细表
知识点、方法
题号
直线平行
3,7,10
直线垂直
2,5,8,9,12,13
直线平行与垂直
关系的综合应用
1,4,6,11,14
基础巩固
1.已知直线l的倾斜角为10°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则l1与l2的倾斜角分别为( )
(A)10°,10°
(B)80°,80°
(C)10°,100°
(D)100°,10°
2.若A(0,1),B(,4)在直线l1上,且直线l1⊥l2,则l2的倾斜角为( )
(A)-30°
(B)30°
(C)150°
(D)120°
3.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是( )
(A)1
(B)-1
(C)2
(D)-2
4.(多选题)对于两条不重合的直线,下列说法正确的有( )
(A)若两直线斜率相等,则两直线平行
(B)若l1⊥l2,则k1·k2=-1
(C)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交
(D)若两直线斜率都不存在,则两直线平行
5.已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),则第四个顶点D的坐标为 . ?
6.若l1与l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b= ;若l1∥l2,则b= . ?
综合运用
7.已知直线l1的斜率为2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),若l1∥l2,则lox等于( )
(A)3
(B)
(C)2
(D)-
8.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2),B(1,-2),C(-2,4),则BC边上的高的斜率为( )
(A)2
(B)-2
(C)
(D)-
9.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)以A点为直角顶点的直角三角形
(D)以B点为直角顶点的直角三角形
10.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为 .?
11.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),
D(-2,a+2).若l1∥l2,则a= ;若l1⊥l2,则a= .?
12.如图,在?OABC中,O为坐标原点,点C(1,3).
(1)求OC所在直线的斜率;
(2)过C作CD⊥AB于D,求直线CD的斜率.
素养培优
13.已知点A(0,1),点B的横坐标x与纵坐标y满足x+y=0.若AB⊥OB,则点B的坐标是 .?
14.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t∈(0,+∞),试判断四边形OPQR的形状,并给出证明.2.1
直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
选题明细表
知识点、方法
题号
求倾斜角
1,9
求斜率
2,3,5,7,11,12,13
倾斜角与斜率的应用
4,6,8,10,14
基础巩固
1.(2020·宁夏平罗县月考)过点A(-3,2)与B(-2,3)的直线的倾斜角为( )
(A)45°
(B)135°
(C)45°或135°
(D)60°
2.过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的方向向量为(1,1),则a的值为( )
(A)1
(B)4
(C)1或3
(D)1或4
3.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则有( )
(A)k1(B)k2(C)k1(D)k24.(多选题)下列各组中的三点共线的是( )
(A)(1,4),(-1,2),(3,5)
(B)(3,5),(7,6),(-5,3)
(C)(1,0),(0,-),(7,2)
(D)(0,0),(2,4),(-1,-2)
5.在y轴上有一点M,它与点(-,1)连成的直线的倾斜角为60°,则点M的坐标为 .?
6.已知点A(1,0),B(2,),C(m,2m),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则实数m的值为
,直线AC的一个方向向量为 .?
综合运用
7.已知M(1,),N(,3),若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的一半,则直线l的斜率为( )
(A)
(B)
(C)1
(D)
8.(多选题)以下四个命题错误的是( )
(A)若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应
(B)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应
(C)坐标平面上所有的直线都有倾斜角
(D)坐标平面上所有直线都有斜率
已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的取值范围是 .?
10.(2019·福州市期末)若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三点共线，则m的值为 .?
11.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)求直线AB,BC和AC的斜率;
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化
范围.
12.(1)直线l过A(-a,8),B(2,2a)两点且kAB=12,求实数a的值;
(2)已知经过两点A(5,m),B(m,8)的直线的斜率大于1,求实数m的取值范围.
素养培优
13.已知直线l的倾斜角为α,且α∈[0°,90°)∪(90°,135°],则直线l的斜率的取值范围是( )
(A)[0,+∞)
(B)(-∞,+∞)
(C)[-1,+∞)
(D)(-∞,-1]∪[0,+∞)
14.(2019·丹东市期末)在直角坐标系xOy中,A(-1,4),B(-4,1),点C在直线x=1上.
(1)若A,B,C三点共线,求点C的坐标;
(2)若∠BAC=90°,求点C的坐标.
